Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 36
Текст из файла (страница 36)
е. нормальные подгруппы. 2. Пусть операторами служат всевозможные автоморфизмы группы б). Допустимыми тогда будут те подгруппы, которые прн каждом автоморфнзме переходят в себя; такие подгруппы называются характеристическими. 3. Пусть О) — некоторое кольцо, рассматриваемое как группа относительно сложения. Пусть областью операторов ьз служит само это кольцо: произведение Ва будем понимать просто как произведение в кольце. Тогда (1) является обычным дистрибутивным законом: г(а+Ь) = га+ гЬ. Допустимыми подгруппами здесь будут левые идеалы, т. е. те подгруппы, которые вместе с каждым а содержат все элементы га. 4.
Из соображений удобства можно операторы 0 записывать справа от групповых элементов, т. е. вместо Оа писать аО. Тогда (1) выглядит так: (аЬ) В = аВ ЬО. В (а+Ь) = Ва+ ВЬ. Как правило, оказывае гя так, что областью мультипликаторов служит некоторое кольцо и (т)+6) а =т)а+Оа, (т10) а = т) (Ва) (2) (соответственно, если мультипликаторы пишутся справа, то а(т10):=(ат1) 6). Тогда (т1 — 0)а.=-т1а — Ва и О а=О (первый нуль— это нулевой элемент кольца, второй нуль — нулевой элемент Если, например, элементы некоторого кольца (рассматриваемого как аддитивная группа) рассматривать как правые операторы, где аВ вновь означает произведение в кольце, то в качестве допустимых подгрупп получатся правые идеалы.
5. Наконец, часть операторов люжно записывать слева, а часть — справа. Например, если в качестве области операторов брать кольцо, действующее на свою аддитивную группу умножением, то его элементы можно рассматривать как левые и как правые мультпттликаторьп в этом случае допустимыми подгруппами будут двусторонние идеалы. 6. В соответствии с традицией, модулем называют всякую адаптивно записанную абелеву группу.
Модуль также может иметь ту или иную область операторов, которая в этом случае называется областью мультипликаторов; сс элементы подчинены условиям: 9 49! ОпеРАТОРные изомОРФизмы и ГОмомОРФизмы 173 модуля). Если о — кольцо мультипликаторов, то говорят об о-модулях или о модулях над кольцом о. Если кольцо обладает единичным элел|ентом г, то очень часто предполагают, что этот единичный элемент одновременно является «единичным оператором», т. е. е а=а для всех а из (Я. 7. Любое (правое или левое) векторное пространство над телом К является К-модулелт. 8, Совокупность всех эндоморфизмов абелевой группы (т. е.
всех гомоморфпых отображений в себя) является областью операторов, которая становится кольцом, если сумму и произведение двух гомоморфизмов определить формулами (2) (где справа знак плюс означает операцию над групповыми элементами). Это кольцо называется кольцом вндомсрфизмов абелевой группы. Из этих примеров становится ясным, насколько широки приложения групп с операторами.
Задач а !. Пересечение всех допустимых подгрупп является допустимой подгруппой. То же верно и для нормальных допустимых подгрупп. 3 а д а ч а 4, Г!ронаведеиие 71|8 двух перестановочных допустимых подгрупп является допустимой подгруппой В частном случае модулей: сумма (И, Е) двух допустимых подмодулей является допустимым подл|одулем, й 49.
Операторные изоморфизмы и гомоморфизмы Если Е и (45 — группы с одной и той же областью операторов лг и задано отображение из Е в Э, при котором каждому элементу а соответствует некоторый элемент а, а произведению аЬ вЂ” произведение аЬ, причем элементу йа соответствует элемент Ва, то отображение называется спграторньин гомоморфизмом. Если элементы-образы составляют всю группу (в, т. е.
каждому элементу из Ж соответствует по крайней мере один элемент из Ол', то налицо гомоморфное отображение группы Сь) на группу (95. Если же каждому а соответствует ровно один а, то имеем оггграторный изоморфизл| и пишем (у —, е. Если Я вЂ” допустимая нормальная подгруппа в (э, то эле. МЕНТЫ аЬ НЕКОтОрОГО СМЕЖНОГО КЛаССа а=ал)7 ПЕрЕХОдят Прн Прнменении оператора Ь в произведения Ьа ЬЬ, т. е.
в элементы смежного класса Ьа Ж. Смежный класс йа мы называем произведением оператора В и смежного класса а. Тем самым факторгруг|па (»585! превращается в группу с той жг областью операторов ла, а отображение а а сказывается опграторным гомоморфизмом. Обратно, если мы будем исходить из операторного гомоморфизма, то, как в 3 1О, получим теорему о гомом орфизме: Если группа б5 отображается на группу |л| посредством операторного гомоморфизма, пю подмножество 54 элементов из С»5, которые пРОдолжение теОРии ГРупп !гл, уи соответствуют единичному элементу из Й, является в О) допустимой нормальной подгруппой, а смгжныг классы по Я взаимно однозначно соответствуют элементам из 9, причем это последнее соответствие — операторный изоморфизм: 9)б! = О>. То, что Я является нормальной подгруппой, мы знаем еще из б )О.
То, что б! — допустимая подгруппа, очевидно: если а отображается на единичный элемент г, то ба отображается на бе =в, т. е, вместе с а элемент ба также принадлежит группе Я. То, что соответствие между смежными классами и элементами из 0»' взаимно однозначно, мы уже знаем; то, что это соответствие — операторный изоморфизм, следует из того, что заданное отображение 0»- И является операторным гомоморфизмом. В случае вддитивпо записанных групп с областью операторов о (о-модулей, идеалов в е и т. д.) операторный гомоморфизм называется гомоморфизмом людулгй.
Заметим, что и в этом случае ба переходит в ба и б остается неизменным. В этом и состоит разница между гомоморфизмом модулей и гомоморфизмом колец, при котором аЬ переходит в аЬ. Рассмотрим пример: два левых идеала из кольца о можно рассматривать как о-модули; произвольный операторный гомоморфизм переводит а в и и произведение га — в произведение га (г из е). Но эти же идеалы можно рассмотреть и как колы(а, а кольцевой гомоморфизм сопоставляет произведению га (г из идеала) не га, а га. Там, где в последующем речь зайдет просто о группах, будут иметься в виду группы с операторами. Под словами «подгруппы» и «нормальные подгруппьм всегда будут молчалино подразумеваться допустимые подгруппы и допустимые нормальные подгруппы; слова «изоморфизло> и «гол«оыорфизм» будут означать «операторный изоморфизм» и «операторный гомоморфизм».
3 а д а ч а 1. Идеалы (!) н (2) и кольце целых чисел изоморфны нан модули, но не нан кольца. Задача 2. В кольце пар чисел (о,, аз) 8 !1, задача !) идеалы, порожденные элементами (1, 0) и (О, 1), изоморфны хан кольца, ао не изоморфны кан модули. $ 50. Две теоремы об нзоморфизме Естественный гомоморфизм, который отображает группу (и' на факторгруппу Я =0>у>)), отображает каждую подгруппу ф из (В) на некоторую подгруппу ар из Е и тоже гомоморфно. Если исходить из $ и найти в (й всю совокупность К элементов„ образы которых (или смежные классы которых) принадлежат ф, то, вообще говоря, в К окажется больше элементов, чем в 4р, ДВЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ 175 потому что вместе с каждым а из а) множество Й содержит весь смежный класс аЯ. Обозначим через 9% группу, которая получае~ся из всевозможных произведений аЬ, где а — элемент нз $ н Ь вЂ” элемент из Я (ср.
задачу 2 из й 48); тогда Й =ф1~ н ад =- =- гмЯ!%. С другой стороны, если ф гомоморфно отображается на (т, то гт изоморфна факторгруппе группы (1 по некоторой нормальной подгруппе в ьу, которая состоит из элементов группы Ьр, соответствующих единичному элементу, т. е, тех элементов из гт, которые одновременно принадлежат и %. Отсюда получается первая теорема об изоморфизме: Если Я вЂ” нормальная подгруппа группы 9 и от — подгруппа в (Ы, то пересечение 18 Ц Я является нормальной подгруппой в () и ') ЕЯ(% = ИЕ() %). Совокупность элементов, отображающихся в а7, тогда и только тогда совпадает с а1, когда группа ф вместе с каждым своим элелеентом а содержит и весь смежный класс аЯ, т. е. тогда, когда фаЯ.
Эти группы ар =-% взаимно однозначно соответствуют описанным группам гэ=г)7% в Оь. Вместе с тем кажда я подгруппа Вд в (и соответствует подгруппе ф ~ Я, состоящей нз всех элементов всех содержащихся в ф сл~ежных классов по подгруппе Я. Наконец, правым и левым смежным классам по подгруппе (7 в (ь) соответствуюч правые и левые смежные классы по йр в Ж. Следовательно, если р — нормальная подгруппа в 6, то йй — нормальная подгруппа в 9, и наоборот.
Аналогичное рассуждение, с некоторыми изменениями, используется при доказательстве второй теоремы об изоморфизме: Если (1)=(1)!Я и ф — нормальная подгруппа в Св), то сооттетспифющая подгруппа оэ в (Е является нормальной и (З)/ф (ь)/4Д, ()) Д о к а з а т е л ь с т в о. Если (5 гомоморфно отображается на (ь), а (й в свою очередь, на %!ф то и (1) гомоморфно отображается на йф. Следовательно, группа (4)(ьр изоморфна факторгруппе группы 9 по нормальной подгруппе, состоящей из тех элементов группы Ж, которые при гомоморфизме (1) — ь-Ф(1) переходят в единичный элемент, т. е. при первом гомоморфизме (ь) — ь.(й эти элементы переходят в группу р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
