Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 34
Текст из файла (страница 34)
«хо к а за тел ь ство. Для т= ! теорема уже была доказана выше. Пред- положим ее справедливой для расширения Х»=Л (сс„..., а,): в некотором т — 1 подходящем расширении Пг есть ровно И пг изоморфизмов поля Х! над Л. 1 т — ! Пусть лг-ь тг — один из этих Ц пг изоморфизмов.
Утверждается, что в под- 1 ходяп!им образом выбранном поле Я он может быть продолжен до изоморфизма 2= 2! (и ) — 2= 21 (ат) не более чем пт способами. Элемент ат удовлетворяет некоторому уравнению 11 (х) =О над 21 с л,'„различными корнями. С помощью изоморфизма Хт ь-ч 21 многочлен й (х) переводится в некоторый многочлев [1(х). но тогда [1(х) в подходящем расширении 1бб СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ $ 441 имеет опять-таки пэс различных корней и не больше. Пусть ат — один из этих корней.
В силу выбора элемента ат изоморфизм Х! — Х, продолжается до изоморфизма Х,(ат) — Хк(ат) с ать-ь ат одним и только одним способом: действительно, это продолжение задается формулой Так как выбор элементз а может быть осуществлен л' способами, существует лэс продолжений такого сорта для выбранного изоморфизма Х, ! ь Х . т — ! Так как в свою очередь этот изоморфизм может быть выбран Ц л! способами, 1 то всего существует (в том поле И, в котором содержзтся все корни всех рассматриваемых уравнений) сл — ! Ц и,' . л' = Ц п,'.
иэоморфизмов расширения Х над полем Л, что и требовалось доказать. Если и! — полная (передуцированная) степень элемента а! над Л (а,, ... ..., аг,), то п! равно степени расширения Л(аг, ..., сс;) поля Л(а„... аг,); следовательно, степень (Х; Л) равна Ц л!.,Если сравнить это чис.чо с числом 1 изоморфизмов Ц л,'., то получится следующее предложение: ! Число иэоморфиэмов расширгния Х=Л(аг, ..., а ) над Л (в н!екотором подходящем расширении ()) равно степени (Х: Л) тогда и только товда, когда каждый элемент а! селарабелен над полем Л(а,..., ас,). Если же котя бы один элемент а! несепарабелен нод соответствующим полем, гпо число изоморфизиов меньше степени расширения. Из этой теоремы сразу получается несколько важных следствий. Прежде всего теорема утверждает, что свойство каждого элемента а! быть сепарабельным нйд предыдущам полем есть свойство самого расширения Х независимо от выбора порождающих элементов а!.
Так как произвольный элемент В поля ьюжст быть взят в качестве первого порождающего, элемент В оказывается сепарабельным, если все а! являются таковыми. Итак: Если к полю Л последовательно присоединяются элементы ак, ..., а, и каждый элемент а! окозьмается сепарабельным над полем, полученным приамдинснием предыдущих элел!ентов сс!. аг ..., аг,, то расширение Х=Л(а„..., а„) селарабсльно над Л.
В частности, сумма, риэность, произведение и часл!ное сепарабельных элеэмнтов селарабельны Далее, если В сепарабелен над Х, а лоле Х сепарабельно над Л, то элегант В сепарабелен над Л. Это объясняется тем, что В удовлетворяет некоторому уравнению с конечным числом коэффициентов ак, ..., а из Х и, следовательно, сепарабелен над Л(а,..., а ).
Тем самым сепарабельно и расширение Л(а,, ..., а В). Наконец, имеет место следующее предложение: число изоморфизмов конечного сепарабельного расширения Х над полем Л равно степени расширения (Х: Л). (64 (гл л ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ Так как в соответствии со сказзнным выше рациональные операции над сепарабельными элементами вновь приводят к сепарабельным элементам (ниутри некоторого расширения й поля Ь), то все сепарабельные над Л элементы из й составляют некоторое поле йз.
Это лоле йз можно описать и как наибольшее сепарабельное расширение паяя а внутри й. Если й алгебранчно над Л, но не обязательно сепарзбельно, то р'-я степень каждого элемента а из й лежит в йз, где е †показате рассматриваемого элемента. Действительно, из рассмотрений начала этого параграфа немедленно следует, что аР удовлетворяет уравнению с попарно различными корнями.
Итак, расширение й получается из расширения йз извлечением корней р'-й сгле. пени из езо элементов. Если, в частности, й конечно над Л, то показзтели е обязательно ограничены. )!аибольший среди них, который мы обозначим вновь через е, называется показателем расгаиреиия й. Степень расширения йз над Ь называется редуцированной сгглзпеиью й над Л. Само собой разумеется, что корни р'-й степени можно получить последова. тельным извлечением корней р-й степени. При извлечении корня р-й степени нз какого-то элемента, не имевшего в исходном ноле этого корня (т.
е. при присоединении корпя неразложимого уравнения зр — р — О), степень расширения умножается на р. Следовательно, в конце коннов посяе 1-кратного повторения операции извлечения корня р-й степени мы получим (й: п)=(йз'. и) ру нли степень =(редуцнрованная степе нь) рб как в простых сепарабелькых расширениях. 3 ад ач а 3. Если для некоторого конечного несепарабельного расширения числа е и 1 определены, как выше, то е«й В случае простого расширения е =1. й 45. Совершенные и несонершенные поля Поле Л называется совершенным, если любой неразложимый в Л(х) многочлеи 1(х) сепарабелен.
Все остальные поля называются несовершенными. Условия, при которых поле является совершенным, аписываются в следующих двух теоремах: 1, Поле характеристики нуль всегда совершенно. Доказательство. См. й 44. П. Поле харакгперистики р является совершенным тогда и только тогда, когда оно вместе с каждым своим элементом содержигп и корень р-й степени иэ него.
Доказательство. Если вместе с каждым элементом поля имеется и корень р-й степени из него, то каждый многочлен 1(х), содержащий лишь степени элемента х", является р-й с~слепые, так как г'(х) =Хаз(х')'=Х(~ азха)'=Д Разха)', т. е. каждый неразложимый многочлен является в этом случае сепарабельным, а потому само поле — совершенным.
е <е< ПРОСТОТА АЛГЕБРАИ'<ЕГКИХ РАСШИРБНИЯ С другой счороны, если в поле есть элемент с<, корень р-й степени из которого в поле не содержится, то рассмотрим многочлен ((х) =хи — а. Пусть <р(х) — неразложимый делитель многочлена ((х). После присоединения элемента Р <х =-() многочлен ~(х) разлагается на равные линейные множители (х — р), т. е.
<р(х), являясь делителем ((х), представляет собой некоторую степень двучлена (х — р). Если бы <р(х) был линейным, т, е, <р(х)=х — (), то элемент () принадлежал бы полю Л, что противоречит условию. Следовательно, <р(х) =(х — й)а при Й) ! — некоторый несепарабельный многочлен над Л, а потому Ь вЂ” несовершенное поле. Впрочем, степень многочлена <р(х) согласно ~ 44 обязательно делится на р, а потому в этом случае она просто равна р, т. е.
<р(х) =-)(х). Из теоремы П и последней теоремы в ~ 43 заключаем: Все полл Галуа совершенны. Поле Й называется алгебраически замкнутын, если каждый многочлен нз кольца аа (х! разлагается на линейные иножшпели. В каждом таком поле любой неразложимый многочлен линеен. Итак, Все алгебраически замкнупгые поля совершенны. Из определения совершенного поля сразу получаются следующие две теоремы: Каждое алгебраическое расширение совершенного поля сепара. бельно над во<им полем.
Для лгобого несовершенного поля существу<оп< несепарабельные расширения. Действительно, эти несепарабельные расширения получаются присоединением корня какого-нибудь неприводимого несепарабельного многочлена. Сделанное при доказательстве теоремы П замечание о том, что в совершенном поле характеристики р каждый многочлен !'(х), зависящий лишь от ха, является р-й степенью, сохраняет силу н для случая многочлена от нескольких переменных ~(х, у, г,...), являющегося в действительности многочленом от ха, уг, ги, ...
Это — часто используемое свойство полей характеристики р. 3 а да ч а. Как<дои алгебраическое расширение совершенного ноля соиершенно. й 46. Простота алгебраических расширений. Теорема о примитивном элементе Выясним теперь, в каких случаях конечное расширение поля Л является простым, т. е. получается присоединением одного-единственного порождающего илн прил<итивного элемента. Ответом на этот вопрос является следующая теорема о п р им ити в нам элегленте, справедливая для довольно широкого класса случаев. Ее фора<улировка такова: !66 ггл чг ТЕОРИЯ ПОЛЕИ Пусть Л (и,, ..., аг,) — конечное алгебраическое расширение поля Л и сс„..., а„— сеггарабельные элементы').
Тогда Л (и„, сс») является простым расширением: Л(ам ..., а») = Л(0) Доказательство. Докажем теорему сначала для двух элементов а, р, пз которых по крайней мере р сепарабелен. Пусть !" (х)=-Π— неразложимое уравнение для элемента а и д(х)=0— неразложимое уравнение для элемента р. Перейдем к полго, в котором 1(х) и д(х) полностью разлагаются. Пусть а„..., а,— различные корни многочлена )(х), а ()„..., (),— корни много- члена д(х), Пусть а, = и, рг = 'р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
