Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 29
Текст из файла (страница 29)
!с = л д] Так как 0 не удовлетворяет ни одному уравнению степени, меньшей и, представление я — ! ~) = ~ албл А=О элемента ~) из Л(6) является единственным. Уравнение ср (х) = О при неразложимом ср (х), решением или корнем которого является О, назьгвается ураенением, определяющггм лоле Л(0). Степень многочлена ср(х) называется степенью алгебраического элемента 9 относительно Л. Степень равна 1, когда 9 является решением некоторого линейного уравнения над Л, т. е, является элементом самого поля Л.
140 ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ (гл чг В этом случае можно положить ф(х) =х — 0, и вышеприведенное утверждение в) вновь приводит к уже доказанному факту: Каждый многочлен 1(х) с корнем 0 делится на х — 0. 3 а д а ч а 1. Для случая простого алгебраического расширения доказать неразложимость минимального многочлена ф (х), а также утверждения а) — д) непосредственно, т. е.
без использования теоремы о гомоморфизме и свойств поля а [х)г(ф (х)). (Последовательность утверждений: неразложимссть, в), б), а) г), д). Для доказательства а) воспользоваться в).) 3 ада ч а 2. Показать далее, по ф (х) является единственным с точностью до постоянного множителя неразложимым многочленом из а(х) с корнем 6.
3 а д а ч а 3. Каковы степень порождающего элемента и определяющее уравнение: а) поля комплексных чисел над полем вещественных чисел; б) поля (()(г 3 ) над полом рациональных чисел; глг ) в) поля 1й ~е з у над нохем 0) рациональных чисел; г) поля Х )г)?(7) г~ад содержащимся в нем простым подполем (Я (1) — кольцо целых гауссовых чисел)? Зада ч а 4. Пусть à — основное поле, г — переменная, 3 =Г (г), а = гз = Г ~ — ь Показать, что Х является простым алгебраическим расширением (г+!/ поля а. Каково неразложимое над а уравнение, которому удовлетворяет эле. мент г? Два расширения Х, Г поля Л называются эквива ентными (относительно Л), если существует изоморфизм л = — г.', при котором каждый элемент из Л переходит в себя (остается неподвижным).
Любые два простых трансцендентных расширения произвольного поля Л эквивалентны. Действительно, с помощью отображения 1(х)(д(х) 1'(0)/д(0) произвольное простое трансцендентное расширение Л (0) становится эквивалентным полю рациональных функций от одной переменной х. Два простых алгебраических расширения Л (и), Л(р) эквивалентны, если а и )) являются корнями одного и того же неразложимого в Л[к) многочлена гр(х); в этом случае существует такой изоморфиэлг между указанными полялги, что есе элементы из Л остаются неподвижными, а сс переходит в р.
л — г Доказательство. Элементы из Л(а) имеют вид ~, а»а», о л — ! а элементы из Л(р) — вид ~Х, а»[)». В обоих случаях эти элементы о нужно рассматривать как многочлен по модулю ф(х). Сопоставление ~ а»гг» У,' а»р» являетея, следовательно, изоьюрфизмом нужного типа.
'сз1 пРостыг Рдсцп!Рню!я Многочлен ф(х), неразложимый над Л, не обязан оставаться неразложимым пад каким-либо расширением ьс. Если в ьс у него появляется корень 6, то у него отщепляется по крайней мере один линейный множитель х — О. Возможно, в поле ьс многочлеп разлагается еще и иа другие линейные и нелинейные множители: ср (х) = (х — 6) (х — 9,)... (х — 8!) ф, (х)... ф„(х). Согласно доказанному выше в этом случае поля Л(6), Л(Оз), ..., Л(6,) оказь!ваются эквивалентнымн, и при изоморфизмах Л (6) т Л (Оз) т Л (6/) элемент 0 переходит в 8„ ..., Он Эквивалентные расширения (как, например, Л (0), Л (9,), , Л(8,)), у которых есть общее содержащее их поле зс, называют соп(зяахвнньслссс (относительно Л); элементы О, 9,,, О„переходящие друг в друга при соответствующих изоморфизмах, также называются сопрллгенными ').
Из доказанного следует; всв корни нгркз,!пук!смога в Л [х] многоялгна гр (х), принадлежащие расширвншо ьс, являются сопрязкенньсми относительно Л. Обратно, элементы, алгебраические над данным полем и сопряженные над ним, являются корнями одного и того же многочлена гр(х), потому что при переходе с помощью изоморфизма от 6, к 9, из ф(6,) =-0 следуе.г ср(Оз) = — О. Существование простого расширения. До сих пор зс было заданш,!и надполем, и структура простого расширения изучалась внутри поля ьс'. Поставим теперь задачу иначе: дано поле Л; найти рагширение Л(0), где от 6 требуется, чтобы этот элемент был либо трансцендентным либо корнем наперед заданного многочлена из Л[х]. Если 9 должен быль трансцендентным элементом, то решить задачу просто: в качестве 6 возьмем переменную Π— -х и построим кольцо многочленов Л[х], а затем его поле частных Л(х), являющееся полем рациональных функций переменной х. Как мы видели, поле Л(х) является единственным простым трансцендентным расширением поля Л с точностью до эквивалентности расширений.
Тем самым получилось утверждение: Суи(ествует и притом только одно сточностью до эквивалент. ности простое трансцендентное расисирение Л (О) заданного поля Л. Еслп же элемент 0 должен быть алгебраическим, а именно— корнем некоторого неразложимого в Л[х] многочлена ср(х), то прежде всего мы можем считать, что ф не являешься линейным, так как иначе достаточно было бы положить Л(9) =-Л. ') Такое название используется в основном для алгебраических элементов а. Транснендснтные элементы одного и того же поля заведом о попарно сопря!кеиы. ~ 42 ~гл тп ТЕОРИЯ ПОЛЕН Искомое поле Л(0) согласно сказанному выше должно быть изоморфно полю классов вычетов: Г = Л [х]1(гр (х)).
В такой ситуации каждомт многочлену р из Л[х] сопоставляется некоторый класс вычетов Г" из Х' и это сопоставление оказывается гомоморфнзмом. В частности, любой константе а из Л соответствует класс вычетов а и это отображение поля Л является не только гомочорфным, но и изоморфным, так как нуль является единственной константой, сравнимой с О по модулю»р(х). Следовательно, согласно изложенному в конце 8 12 в поле г.' мы можем заменить классы вычетов и на соответствующие им элементы а из Л; таким образом, поле Х' переходит в поле Х, которое содержит поле Л и изоморфно полю Г. Многочлену х сопоставляется класс вычетов, который можно обозначить через 8. Следовательно, в поле Х мы можем построить поле Л(0). (Впрочем, В =-Л(0), в чем нетрудно убедиться.) Из П ~р(х) = ~ а»х»вЂ” = О(ч:(х)) о с помощью гомоморфизма следует, что П ~", а»8»=О (в Х'), о а отсюда П ~р(0) = ~ а„0'=О, о если заменить а„на а».
Следовательно, элемент 9 является корнем многочлена»р(х). Итак, доказано следующее предложение: Для произвольно заданного поля Л существует одно (и с точностью до эквивалентности расищрений только одно) простое алгебраическое расширение Л (О) такое, что 8 является злеиентолп удовлетворяющи я уравнению гр (8) = О, где ~р (х) — неразложимый лногочлен из Л [х]. Процессу символического присоединения с помощью кольца классов вычетов и символа 0 можно противопоставить несимволнческое присоединение, которое возможно тогда, когда с самого начала задано содержащее все рассматриваемые элементы поле Й и когда изначально задан элемент 9 с требуемыми свойствами. Например, если Л вЂ” поле рациональных чисел, то несимволическое присоединение какого-либо алгебраического числа, т, е.
корня какого-либо алгебраического уравнения, достигается тем, что за основу берется трансцендентным образом построенное ноле комп- 143 кОнечные РдсшиРения тел 0 зо) лексных чисел 11, в котором согласно «основной теореме алгебрь1» каждое уравнение с числовыми рациональнымп коэффициентами имеет решение. Описанное выше символическое присоединение позволяет избежать этого трансцендентного пути, определяя непосредственно алгебраическое число как символ класса вычетов, подчиненный соответствующим правилам действий. При этом не вводятся отношения порядка ()„) или свойства вещественности.
Но тем не менее как на символическом, так и на несимволнческом пути получается одно и то же поле Л(0), потому что в силу доказанного в начале все расширения Л(0), в которых 8 удовлетворяют одному и тому же неразложимому уравнению, эквивалентны. Более точные сведения о поведении алгебраических соотношений содержатся в главах 1О и 1!. Задача 5 Многочлсн ха+1 неразложим в поле раннональных чисел (1) 6 31, ~»дача 3) Присоединить корень этого многочлена, а затем разложить последнии па неразложимые множители в поле Я (0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
