Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Глава гиестая ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ Цель этой главы — получить первые сведения о строении полей, об их простейших подполях и расширениях. Некоторые из проводимых здесь исследований относятся и к произвольным телам. 5 37. Подтело. Простое тело Пусть Х вЂ” произвольное тело. Если подмножество б в Х вновь является телом, то его на- зывагот подтелом тела Х. Для э~ого необходимо и достаточно, чтобы б было, во-первых, подкольцом (т. е. вместе с а и Ь содер- жало а — Ь и а Ь), во-вторых, содержало единичный элемент, а также вместе с каждым а~О обратный к нему элемент а-'.
Вместо этого можно также потребовать, чтобы б содержало хотя бы один ненулевой элемент и вместе с а и Ь содержало также а — Ь иаЬ'. Очевидно, Пересечение лгобого множества подтел тела Х вновь является подтелом в Х. Простым телом называется такое тело, в котором нет соб- ственных подтел. Ниже мы увидим, что все простые тела комму- тативны.
В каждом теле Х существует и ггрггтом только одно простое тело. Доказательство. Пересечение всех подтел в Е является телом, которое, очевидно, не имеет собственных подтел, Если бы существовали два простых тела в Х, то их пересече- ние было бы вновь подтелом в каждом из них, а потому совпа- дало с каждым из них; следовательно, эти два тела не были бы различны. Типы простых тел. Пусть П вЂ” простое тело, содержащееся в теле Х. Оно содержит нуль и единичный элемент е, а потому и целые кратные этого элемента: пе= г- (е+е+...+е). п ра~ Сложение н умножение элементов пе осуществляется по пра- вилам: не+ те = (п + т) е, пе те=пт е~=пт е.
135 ПОДТЕЛО ПРОСТОЕ ТЕЛО З 371 Следовательно, целочисленные кратные пе составляют некопгорое коммутативное кольцо гл). Далее, отображение и пе задает некоторое гомоморфное отображение кольна Я целых чисел на кольцо ')3. Согласно теореме о гомоморфизме (~ 15) кольцо 7 изоморфно кольцу классов вычетов 2,'(г, где ) — идеал, состоящий из тех целых чисел п, которые отображаются в нуль, т. е.
дают равенство пе = О. Так как кольцо г)) не содержит делителей нуля, кольцо классов вычетов лч1г тоже не содержит делителей нуля; следовательно, идеал р должен быть простым. Далее, идеал 1 не может быть единичным, потому что иначе выполнялось бы равенство 1 е=О.
Следовательно, есть только две возможности: 1. р=(р), где р — простое число. В этом случае р является наименьшим положительным числом со свойством ре=О. Таким образом, Кольцо .'Е)(р) является полем. Следовательно, кольцо гр — поле, являющееся по построению простым телом. В этом случае простое тело изоморфно кольцу классов вычетов кольца целых чисел по некоторому простому идеалу; на элементы п.е расггространтотся те же правила действий, что и на классы вьгчетов целых чисел п по модулго р.
2. р=(0). Тогда гомоморфизм 2',- $ является изоморфизмом. Кратные пе попарно различны: из пе =-0 следует, что и =О. В этом случае кольцо '~3 не является телом, потому что таковым не является кольпо целых чисел. Простое тело 11 должно содержать пе только элемегпы из ')), в нем должны быть еще отношения этих элементов. Из ~ !3 мы знаем, что изоморфные целостные кольца ф, Б имеют изоморфные поля частных, так что в этом случае простое тело 11 изоморфно пол>о Я рациональных чисел. Таким образом, строение содержащегося в Х простого тела полностью определяется заданием числа р или числа О, порождагощего идеал в.
(Идеал р состои'г, как уже было сказано, из целых чисел и со свойством не = О.) Число р или соответственно число 0 называется характеристикой тела Х или простого поля П. Все обычные числовые и функциональные тела, содержащие поле рациональных чисел, имеют характеристику нуль.
Определение характеристики немедленно приводит к следующей теореме: Пусть а Ф 0 — произвольный элеменпг тела Х и й — характеристика тела Х. Тогда из па=та следует, что п— = т(й) и наоборопг. До к аз а тельство. Умножим равенство па =гпа на а-'; тогда пе=гпе и отсюда, по определению характеристики, и = ~ггг(н). Вывод является обратимым. !за !гп л тео»Р!я полей Точно так же доказывается, что из па=лЬ и пи(ЕО((е) следуег а=Ь. Отметим одно важное правило: В полях характеристики р имеют место равенства (а+ Ь)» =- а»+ Ь», (а — Ь)» = ໠— Ь».
Доказательство. Имеет место теорема о биноме (8 11, задача 5): (а+Ь)»=а»+(!)а»-хЬ+...+( Р ()аЬ»-г+Ь» Если 0 1(р, то ()= Р! Р (Р !) (Р— !+1) !/ 12 ... ! так как числитель содержит множитель р, который не может быть сокращен. Остаются, таким образом, лишь слагаемые а» и Ь»! (а+ Ь)» = а»+ Ь». Положим здесь а+Ь=с; тогда с» =(с — Ь)»+Ь», (с — Ь)» = с» — Ь», чем и доказываются оба утвер>кдепия. 3 ада ч а !. Доказать для поля характеристики Р ипдукпией по й ! ! р (и+Ь) = +Ь», ! (и — Ь)» =и» вЂ” Ь».
Задача 2. точно так же (а„+о +...+и„)"=и",+и»+...+и». 3 а дача 3. Применить формулы задачи 2 к сулгме 1+!+...+1 по мо. дулю Р, Задача 4. Доказать для поля характеристики Р: » — ! (и — Ь)»-! = ~д ~а>Ь»-х-д г=е $ 88. Присоединение Пусть б — подтело некоторого тела ь!1 тогда й называется расширением или надгпелом тела Л. Наша цель — получить сведения о всевозможных расширениях заданного тела Л. Одновременно зто будет служить информацией о телах вообще, потому что каждое тело можно представить как расширение содержащегося в нем простого тела. 137 ПРИСОЕДИНЕНИЯ % 381 Пусть сначала ьг — расширение тела Л и Я вЂ” произвольное множество элементов из 11. Существует тело, содержащее Л и С: например, ьг — одно из таких тел.
Пересечение всех тел, содержащих Л и С, само является телом, содержащим Л и Я, и обозначается через Л (Г). Оно является наименьшим среди подтел, содержащих Л и Я. Мы говорим, что Л (С) получается из Л присоединением множества С. Имеем Л = Л (Я) ы (). ,Чва крайних случая таковы: Л(С) =Л и Л(С) =ь). Телу Л(С) принадлежат элементы из Л и все элементы из С, а также все элементы, получаемые при сложении, вычитании, умножении и делении элементов из Л и Я. Все эти элементы составляют некоторое тело, которое, таким образом, должно совпадать с Л(Я. Итак; тело Л(Я) состоит из всевозможных рациональных комбинаций элементов из Я с элементами из Л. В коммутативном случае эти комбинации можно записать просто как отношения целых рациональных функций от элементов нз Я с коэффициентами из Л.
Если Я вЂ” конечное множество: Я = (и„ ..., и„',, то тело Л (Я) обозначают и через Л(и,, ..., и„). В этом случае гсворят также о присоединении элементов и„..., и„к телу Л. Тем самым, круглые скобки всегда будут означать присоединение к телу, в то время как квадратные скобки, например, Л [х), означают присоединение к Л как к кольцу (т. е. здесь составляются всевозможные целые рациональные комбинации). В рациональном выражении какого-либо элемента из Л (с.) через элементы из Л и С участвует лишь конечное множество элементов из Я. Каждый элемент тела ЛЯ) принадлежит, следовательно, некоторому телу Л(й), где ч.— конечное подмножество из Я. Следовательно, тело Л(Я) является объединением всех тел Л(д), где ч,— произвольная конечная часть множества Я.
Присоединение произвольного множества сводится, таким образом, к присоединениям конечных множеств и последующему взятию объединения. Если Я вЂ” объединение множеств Я, и Ям то, очевидно, Л(С) =Л (С,) (Я,). В самом деле, тело Л(Я,) (С,) содержит Л(С,) и С, и, следователыю, Л, Г и Гм а потому и Л и с~ и, следовательно, тело Л(С); обра~но, тело Л(С) обязательно содержит Л, С, и С„ а потому и ЛД) и С, и, следовательно, тело Л(4)(Г,). Присоединение конечного множества сводится, очевидно, к конечному множеству последовательных присоединений одного элемента. Расширение, полученное присоединением одного элемента, называется простым расширением тела.
Такие расширения мы рассмотрим в следующем параграфе. !38 и'л ч! теОРия полей 5 39, Простые расширения Все рассматриваемые в этом параграфе тела предполагаются полями. Пусть снова Л ~ ьа и 0 — произвольный элемент из ь); рассмотрим простое расширение Л(0). Зто поле содержит, прежде всего, кольцо с» всех многочленов д', а»0» (аь ~ Л). Сравним ю с кольцом многочленов Л [х) от одной переменной х. С помощью отображения р(х) р(0), точнее: ~ а»ха ~ а„8ь, кольцо Л[х) гомоморфно отображается на С').
По теореме о гомоморфизме кольцо (б оказывается изоморфным кольцу классов вычетов: С == Л [х)ууь где р — идеал, состоящий из тех многочленов р" (х), для которых 8 является корнем, т. е. для которых р" (0) = — О. Так как (о не содержит делителей нуля, кольцо Л[х)/р их также не имеет, в силу чего р — простой идеал. Далее, идеал р не может быть единичным, потому что единичный элемент е при гомоморфизме переходит не и нуль, а сам в себя. Так как в Л [х) каждый идеал является главным, возможны лишь два случая: 1. М =(<р(х)), где гр(х) — неразложимый в Л[х) многочлен').
Миогочлен ср(х) является многочлеиом наименьшей степени среди обладающих свойством гр(0) =-О. Следовательно, 1: = Л [х)г'(гр (х)). Кольцо классов вычетов справа является полем 8 16); следовательно, С также является полем. Таким образом, С является искомым простым расширением Л(0). 2. р=(О). Гоьгокгорфизм Л[х)1 — Я оказывается изоморфизмом. Кроме нуля, в данной ситуации не существует многочлепа р'(х) со свойством р(0) =-О, так что с выражениями р" (0) можно обращаться так, как если бы элемент 0 был переменной х. Кольцо Й Л[х] не является в этом случае полем, но из указанного выше изоморфизма следует изоморфизм соответствующих полей частных: поле Л (8), являющееся полем частных кольца Я, изоморфно полю рациональньсх функций огп одной переменной х. г) В некоммутативном случае зто неверно, так как переменная к всегда считается перестанопочной с козффициентами аь, а злемент 6 таковым быть ие обязан.
Все рассмотрения етого параграфа оказываются верными лишь в том частном случае, когда З коммутирует со всеми элементами тела Л ') Вместо выражения «неразложим в нольце Л [х)» часто говорят также «неразложим в поле Л». По-видимому, было бы .тучше говорить «неразложим над полем Л». гзй % мг пРостые РАсшиРения В первом случае, когда элемент 0 удовлетворяет некоторому алгебраическому уравнению ср (6) =- О над Л, элемент 0 называется алгебраическим над Л и поле Л(6) называется простым алгебраическим расширением поля Л. Во втором случае, когда из ) (О)-.=О следует, чго р (х) = О, элемент О называется трансцендентным над Л, а поле Л (О) — простым трансценделт сым расширениелс поля Л. Согласно сказанному выше, с трансцендентным над полелс элементом люжно обращаться так же, как с некоторой новой переменной; Л(0) =Л(х).
В алгебраическом случае, согласно сказанному выше, имеем Л (9) = С вЂ” Л (х)!(Ог (х)), где Ог (х) — (неразложимый) многочлен наименьшей степени среди имеющих корень 6. Из последнего соотношения в алгебраическом случае получаются следующие утверждения: а) каждая рациональная функция от 0 может быть записана как многочлен ~; а„ОА. (Потому что В определяется как совокупность таких многочленов.) б) С гакими многочленами можно обращаться как с классами вычетов по модулю ср(х) в кольце многочленов Л (х). в) Равенство можно заменить на сравнение ) (х) = — О (ср (х)) н наоборот. г) Так как каждый многочлен р (х) по модулю ср (х) может быль заменен многочленом степени, меньшей и, где п — степень многочлена ср (х), то все элементы из Л (О) можно представить в виде я — ! (г = ~ а,О".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
