Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Рассмотрим это выражение как многочлен от хл,; тогда сущесзвует зкачение ал „ для которого )(хг " ., х„ „ ал „ а„) чь О, и т. д. Следствие. Если для всех значений переменных х, из некоторого бесконечного целостного кольца многочлен ((х„..., х,) принимиет значение нуль, то он сам яв.гнется нулевым. Здесь следует напомнить о том, что в алгебре обращение в нуль многочлена от х„..., хл означает равенство нулю всех его коэффициентов и не определяется через равенство нулю всех его значений на всевозможных конкретных наборах значений переменных х„..., х„, Поэтому последняя из сформулированных теорем не является тавтологией. 3 а д а ч а 1. Распространить последнюю теорему на конечные системы МНОГОЧЛЕНОВ (! (Хг, ..., Хл), НИ ОДИН ИЗ КОтОрЫХ НЕ раВЕН НУЛЮ.
3 ада и а 2 (Определитель Вандермонда) '). гхоказагь, что 1 х , хг †! 1х ...х"„ =П (хг —;) г>г 1 х,. хл- $29. Интерполяционные формулы Вернемся к случаю многочленов от одной переменной; в качестве кольца коэффициентов теперь будет рассматриваться некоторое поле. Согласно доказанным выше теоремам два многочлена степеней == и, значения которых совпадают в и+ 1 различных точках, оказываются равными, потому что их разность — много- член степени, не большей и, — имеет в этом случае и + 1 корень. Следовательно, существует самое большее один многочлен, который в заданных и + 1 различных точках а„, ..., ал принимает заданные значения ((аг). С другой стороны, всегда существует ') Добавлена при переводе.
гак как используетси в дальнейшем. Прим. ред. 109 ннтеРполяцнонные ФОРмулы многочлеп степени ~п, который в этих точках принимает нуж- ные значения, — это многочлен ът )(а;) (х — яо) .. (х — ап,) (х — ам,)...(х — а„) )(х)=- Х ' — ' . (1) (щ — ао) .. (а~ — аи,) (а,— яом) (а; — я„) Итак, гущегтвуепх один и только один многочлен аиепени -,п, который) ири виданных и+! различных значения» ио, а„..., я„ переменной принимает заданные значения )'(а~); этот многочлен задается формулой (1).
Формула (1) называется интерполяо(ионной формулой Лагранжа. Мпогочлен с нужными свойствами можно получить и с помощью интерполях(ионной формулы Ньютона; ) (х) . — )"о+Л~ (» — ссо)+ Ло (х — ао) (х — ах)+... ... + Л„(х — и,) (х — а,)... (х — а„,), (2) где коэффициенты Л„... тем подстановки значений Проводить вычисления чала х = а„; получим определяются последовательно пуаргумента х = а„..., х —. а„. лучше всего так: подставим в (2) сна- ) (ио) =Ло Вычтем это из (2) и разделим на х — а,; получится ) (х) — ) (яо) — '=-Л,+Ло(х — а,)+...+Л„(х — а,)...(х — а„»).
(3) х — ао )(ао, а,) =Л,. Вычтем теперь это из (3) и разделим на х — а,; тогда (я"' а' = Л, + )., (х — а,) +... + Л, (х — сс,)... (» — а„,). Обозначим левую часть через г (а„а„х). Подставим теперь к = ао, 'получится )(аы а„и,) =Л, Эти вычисления можно продолжить. В общем случае поло- жим (определение с помощью индукции) )(а " а»он х) — ) (ао " я»-' яо) (4) )'(ио, ..., ям х)— х — я» и, как и выше, получим )(а„,, сс», х) =Л»+Л»,о (х — и»)+...+Л„(х — и»)...(» — и х), ) (и„, а») =Л».
(5) Обозначим левую часть через г(а„х). Подставим в (3) х=а,; получится ||о целые Р»ционлльные Функции |гл и Константу )(сс,, а») называют й-и разностным отношением фУнкции 1(х) в точках ао, ..., а». В силУ (4) ! ( )! ) — 1( я| — ао о (а ) ) (яо ~о) ! (яо я|) (б) Яо — Я| ~( | 1(ао " яп-о яо) — ! (ао " ао о ао-|) а„— ао, й-е разиостное отношение может быть определено и как коэффициент при х" в многочлене |р„(х) степени = Й, который в точках а„..., а» принимает значения )'(яо), ..., )(я»). Действительно, этот многочлен задается с помощью интерполяционной формулы Ньютона |р» (х) = Хо+ Л! (х — а,) +... + ).» (х — а,)...
(х — а|,,), а коэффициент при х" здесь равен в точности ).»=)(а„..., а„). Из последнего определения следует, что Ье разностное отношение не зависит от нумерации точек а„..., а,, Это свойство следующим образом используется на практике: если а„ ..., а„,— например, рациональные числа, расположенные в естественном порядке, то разностные отношения вычисляются всякий раз для следующих друг за другом чисел а„, а потому формула (6) с помощью перестановки чисел ао превращается в формулу 1(а», ..., я») — )(ао "., а»,) я» — яо Поэтому конечные разности можно расположить в некоторую схему по следующему принципу: ! (яо) ) (а„а,) ) (я,) г (а„я„а,) ) (~~»~ ао) ) (ао) )' (а„ао.
я,) ) (я„а,) ! (яо) Каждый последующий столбец получается по формуле (7) путем составления первых разностных отношений предыдущего столбца. Эту схему можно как угодно расширить, вводя все новые и новые исходные точки. Если 1(х) — многочлен л-й степени, то в (п+1)-и столбце всюду стоит одна и та же константа, иигв поляги!онн!лв оогк!хль! а именно коэффициент к„при л".
В (и+2)-м столбце в этом случас стоят нули. Ари4л!етаческие прогрессии высших порядков. Будем считать, что основное в наших рассмотрениях ноле содержит колыю целых чисел и что точки а„а„а„... являются последовательными целых|и числамн, скажем, О, 1, 2, ... Если в этом случае составить описанную выше схему разностных отношений, то знаменатели а,— и„а„„вЂ” иь ..., которые согласно (7) появляются при вычислении (у+1)-го столбца, будут все равны й.
Если второй столбец умножить на 1, третий — на 2, четвертый — иа 2 3 и, вообще, (у+1)-й столбец на й1, то вместо прежней схемы разностных отношений получится схема разностей Ьв ЛЬо Ь, Л'Ь, ЛЬ, Ьа Дйьг ЛЬ, Ь, (8) где Г(ал)=Ь,:, символ ЛЬ„означает Ь,,— Ь,,:, символ Лад„означает ЛЛЬ,,= ЛЬ,, — ЛЬ, и т. д, Если Ь„Ь,, ...— значения некоторого многочлена п-й степени, то согласно сказанному выше п-е разности будут равны одной и той же константе, а (и+1)-е разности все равны нулю. Сам миогочлен будет задаваться формулой (2) с коэффициентами (9) Оказывается, имеет место и обратное утверждение: Есла (и+1)-е разноспш последовательности Ь,, Ь„Ь„... равны нулю, то Ь„, Ь„... являются значенаямп многочлена п-и' степени !'(х), который задаепгся гйормулами (2) и (9).
Действительно, построим с помощью многочлена Г(х) схему разностей н сравним ее с заданной схемой (8); обязательно совпадут начальные элементы Ь„, ЛЬ„Л'Ь„, ЛлЬ„каждого из столбцов, а (п+1)-й столбец в обоих случаях будет нулевым. О~сюда последовательно получается, что элементы п-х столбцов, а затем (и — 1)-х столбцов и т. д. и, наконеп, первых столбцов обеих схем совпадают. Приведенный выше способ доказательства одновременно показывает, как, начиная с последнего столбца, можно получить все элементы схемы (8), когда заданы начальныс элементы Лед, = = й!1л (у =О, !, ..., п) всех столбцов.
Нижеследующий пример ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЫ!ЫЕ ФУНКЦИИ !ГЛ Ч 1п =- 3, а, = О, Ла, = 1, Л'а, = б, Л'а, = 6), возможно, пояснит сказанное: О 1 6 7 6 12 19 б 18 37 б Х1 ! 27 ),=- =.3, б 2 61 125 ~(х) =)м+Л,х+Хзх(х — 1)+Хах(х — !)(х — 2) = =х-~-Зх(х — 1)+х(х — 1)(х — 2) =х'. Схема разностей (8) находит свое практическое применение в интерполировании и интегрировании функций, которые задаются числовыми (эмпирически построенными) таблицами.
Если Ь„Ь„ Ь„... — значения некоторой функции р (х) при равноотстоящих значениях аргумента ам а„+11, а,+211, ..., то практика показывает, что для достаточно гладких функций и для небольших зна- Будем подразумевать под арифметической прогрессией нулевого порядка произвольную последовательность одинаковых чисел Ь, Ь, Ь, ..., а под арифметической прогрессией и-го порядка — такую последовательность чисел, у которой последовательность разностей является арифметической прогрессией (и — 1)-го порядка. Очевидно, что первый столбец в схеме (8) является арифметической прогрессией и-го порядка, потому что (и +2)-й столбец состоит из одних нулей.
Тем самым доказанное выше мы можем сформулировать так: Значения многочлена 1(х) степени и в точках О, 1, 2, 3, составляют арифметическую прогрессию п-го порядка, и каждая арифметическая прогрессия п-го порядка состоит из значений в заданных точках некоторого многочлена не выше и-й степени. Сам многочлен 7(х) находится из формул (2) и (9). Общий член Ь арифметической прогрессии и-го порядка определяется по формуле Ь„ = 1(х) = Л1ЬА а~о — Ь -1- (ЛЬ ) х + — х (х — 1) +... + — х (х — 1)...
(х — п -1- 1) . 1(З Рлзложв!!Иг пл ь!ножиткли ч тн чений й разности второго, третьего, четвертого или, в худшем случае, пятого порядка практически равны нулю; поэтому в нескольких непосредственно следующих друг за другом интервалах функция достаточно точно заменяется многочленом степени не выше четвертой. г(ля целей численного интерполирования или интегрирования данную функцию можно заменить многочленом, принимающим заданные значения в следующих друг за другом точках, число которых колеблется от 2 до 5.
Интерполирование осущесгвляется с помощью формулы (2), Как правило, при этом оказывается возможным ограничиться разностями первого и второго порядка, т. е, линейными или квадратичными мпогочленами. При вычислении элементов Л'ат в разностных отношениях функции встречаются не только множ:пели й!, но и степени длины интервала )1; тем самым вместо (9) получается формула Льа Ль О ь!Ль ' Если значения аргумента а,, а„ ...
не являются равноудаленными друг от друга, то вместо разностей Л"а„ нужно составлять разностныс отношения (7). По поводу дальнейших подробностей теории, оценок погрешностей и т. д. мы отсылаем читателя к соответствующей учебной литературе'). ы — ! Задача 1. Частичные суммы в = ~ аг арифметической прогрессии и-го т=-о порядка (где предполагается, что ее=-О) составляют арифметическую прогрессию (л( 1)-го порядки. Отсюда получается формула для суммы л ям — глае+ / Лая+...ч-', Л"ае. ,2/ "' (и+1) яг — ! гь м — ! Задача 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
