Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Пусть эта система имеет вид (у„..., у, » у„х» ...(. Она эквивалентна системе (у» ... ..., У, „х„х,, ...(, так как хл линейно зависит от пеРвой системы, а у,— от второй. Тем самым мы осуществили еще один шаг в направлении замены: новая система (у» .,., у, » у„ х» ...( эквивалентна системе (у» ..., у, » х„, х„...(, а потому и исходной системе (х» ..., х,(. Следствие 5. Две эквивалентные линейно независимые сисгпемьч (х» ..., х,( и (у» ..., У,( состоят из одинакового количества векторов.
ВектОРные и тензОРные ПРОстрлнстВа [Гл пг Доказательство. В силу следствия 4 имеют место неравенства э~г и г~э. Из следствия 5 немедленно получается, что два любых базиса (хс, ..., х,) и (у„..., у,) векторного пространства И состоят из одного и того же количества элементов, Таким образом, размерность векторного пространства И не зависит от выбора базиса. Размерность называют также линейным рангом или рангом пргктранства И над телом К. Если И имеет размерность г над К, то из теоремы о замене следует, что среди лкбых г+1 элементов пространства И есть хотя бы один, линейно зависимый от всех остальных. Таким образом, можно определить размерность как максимальное число линейно независимых элементов из У1.
Отсюда: Линейное подпроспсранство 31 пространства И (пс. е, подмодуль, в контрам сограняется умножение на элементы иэ К) амеегп размерность, не бблыаую, чен размерность всего сгространства И. Если р... р, составляют базис для И, а е„..., е,— базис для [1, то по теореме о замене можно вместо (р„..., р„) построить другую эквивалентную систему, в которой первыми э элементами будут е„..., е,.
Остальные р, можно обозначить через е, „..., е,. Так получится новая система из порождающих элементов: (е„..., е„е„„..., е,). Она вновь линейно независима, так как иначе размерность пространства И оказалась бы меньше г. Таким образом: Любой базис линейного подпространства 31 разлсерности э можно дополнить до базссса всего пространства И некоторыми вектораии е,.„..., е,. 3 а д а ч а !.
Обычные комплексные числа а+Ьс образуют двумерное векторное пространство над полем вещественных чисел. 3 а д а ч а 2. Непрерывные вещественные функции Кх) на интервале О х. ! образуют векторное пространство над полем вещественных чисел, ранг которого беснонечен. 5 21. Двойственное векторное пространство Пусть И вЂ” некоторое п-мерное векторное пространство над телом К. Линейной срормой на И называется определенная на И функция 1 со значениями 1(х) в теле К, являющаяся линейной в следующем смысле: 1(х+у) = 1(х) + Ду), (1) (2) вт $211 ДВОПСТВЕННОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО Если векторы х Рм ° ° ' Р»: выразить через и базисных векторов х — р,х + ...
+Р„х", то из (1) и (2) получится равенство ~ (х) =~(Рт) х2+...+~(Р„) х" = и2хт+...+и„х", (3) где и,=1'(р,). Таким образом, линейная форма 1(х) — это просто однородная линейная функция координат х", .. » х" с коэффициентами и„..., и„из К. Коэффициенты и„..., и„можно выбирать из тА' произвольно: с помо2цью равенства (3) по ннм всегда можно определить некоторую линейную форму 1(х) со свойствами (1) и (2). Сумма двух линейных форм является, очевидно, линейной формой. Точно так же любую линейную форму 1(х) можно умножать слева на произвольный скаляр а и получить при этом вновь линейную форму а1(х). Рассмотрим теперь линейные формы 1, д, ...
как новые объекты, которые будем называть ковекпюрами и обозначать буквами и, о,... Вместо 1(х) мы будем писать и х н называть это выражение скалярным произведением ковектора и на вектор х. Правила оперирования со скалярным произведением таковы: и (х+у) =и х+и у, и ха=(и.х)а, (и+о) х=и х+о х, аи х=а(и х). Ковекторы можно умножать слева на элементы а, Ь, ... основного тела К; следовательно, они составляют некоторое левое векторное пространство.
Оно называется пространсгпвом 'Зз двойеп2венному векторному пространству 9Л. Если задан базис Р„... ..., Р„пространства И, то в силу (3) каждому ковектору и соответствует некоторый набор из и коэффициентов и,, ...,и„. Обратно, каждому такому набору и„..., и„соответствует одинединственный ковектор и, который определяется равенством и . х = и,х'+... + и„х".
(4) Коэффициенты и„..., и„называются координатами ковектора и. Два ковектора й и о складываются, когда складываются их координаты и, и оь Ковектор и умножается на а, когда умножаются на а слева все его координаты. Следовательно, двойственное пространство ъ, как левое векторное пространство, изоморфно левому модельному пространству наборов (и„...,и„), а это означает, что Т2 и У1 имеют одинаковые размерности. В случае коммутативного тела К пространство Ь даже изоморфно пространству И. вактоаиыв и танзогныа пгостРАнстал !Гл. ш Ковекторы д'=(О, ..., 1, О, ..., 0) (1 на 1-м месте) составляют согласно Э 19 базис в Ж. С помощью равенств ~ (= 1, если (=й, Ч' р,=б,'~ ~= О, если 1 ~ й ' (5) этот базис инвариантно связан с базисом р,, ..., р„ пространства '01.
Базисы пространств И и х, связанные равенствами (5), называются двойственными (друг другу). Координаты произвольного ковектора и в базисе д', ..., д" — это в точности определенные раньше ио ..., и,. Скалярное произведение (4) при фиксированном и определяет линейную форму от х, а при фиксированном х — линейную форму от а.
Каждая линейная форма на т' может быть получена таким способом и поэтому И вЂ” пространство, двойственное пространству Ж. й 22. Линейные уравнения над телом В качестве подготовки к вопросу о решении системы линейных уравнений мы рассмотрим линейное подпространство В размерности г в двойственном пространстве Ж. Согласно Э 20 произвольный базис д', ..., д" подпространства 6 можно дополнить до некоторого базиса д", , у" пространства ь. Согласно 2 21 в исходном векторном пространстве существует базис р„ ..., р„, двойственный базису д', ..., д", потому что 911 является двойственным пространству Ь.
Будем теперь искать такие векторы х пространства йдр), скалярное произведение которых со всеми ковекторамн и из 1э равно нулю: и х =0 для всех иен6. Для этого достаточно, чтобы выполнялись г линейных равенств: ~у'х=О (ю'=1, ..., г). (2) Следовательно, искомые векторы х имеют вид х =р„эх'"'+ ... +р„х", где х"", ..., х" — произвольные коэффициенты. В пространстве Я эти векторы составляют некоторое линейное подпространство Если х выразить через базисные векторы р„..., р„и принять во внимание соотношения (5) пз % 21, то легко показать, что (2) эквивалентно условию х' = О, ..., х' = О.
линниныа трхвнания ыад телом Э1 размерности и — г. Оно порождается базисными векторами Р-,ь Р Обратно, рассмотрим подпространство 91 как заданное с самого начала и будем искать те ковекторы и, которые имеют нулевое скалярное произведение со всеми векторами из %; в этом случае получится в точности пространство ковекторов 6. Мы получили предложение: Существует азаимно однозначное соответствие между подпространствами 6 размерности г пространства тг и подпроспгранствами )1 размерности п — г в У1, определяемое следующим образом: й1 состоит из векторов, которые имеют нулевое скалярное произведение со всеми ковектораии из 6, а 6 состоит из ковекторов, которые имеют нулевое скалярное произведение со всеми векторами из 91г).
Перейдем теперь к теории линейных уравнений. Пусть сначала заданы з однородных линейных уравнений с и неизвестными х', ..., х": (4) ~ амх" = О (г' = 1, ..., з). Мы рассматриваем х', ..., х" как координаты некоторого вектора х пространства Я. С учетом этого обстоятельства уравнения (4) можно переписать в виде а, х=О, (5) где а,— ковектор с координатами ап, ..., аио Если один из ковекторов а, линейно зависим от остальных, то соответствующее уравнение можно опустить. В конце концов получится система из г независимых уравнений (5).
Линейно независимые ковекторы аг порождают в двойственном пространстве Тг некоторое г-мерное подпространство 6. В таком случае решения системы (4) составляют в точности ортогональное ему подпространство 51 в пространстве .'И. Число г независимых уравнений (5) или независимых ковекторов а, называется рангом системы уравнений. Таким образом, нмест место теорема: Решения х однородной системы линейных уравнений ранга г составляют в И некоторое (и — г)-мерное надпространство 51, т. е.
существует и — г линейно независимых решений умг,, ум-"г, от которых линейно зависят все решения системы. Чтобы получить решения уравнений (4) эффективно, применяют известный метод последовательного исключения, который при. водит к цели и в случае неоднородных уравнений ,'~ амх'=сг (г=1, ..., з). (6) ') Ниже подпростраггства И н Эг автор называет ортогональныын.— Прим, верее. ВЕКТОРНЪ[Е И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [Гл Ю Если в каком-либо уравнении все коэффициенты равны нулю, то либо с; Ф 0 и уравнение противоречиво, либо с, = 0 и уравнение можно опустить. Если же одно из неизвестных ха в каком-либо уравнении имеет ненулевой коэффициент, то его можно нз этого уравнения выразить через прочие неизвестные и подставить во все остальные уравнения.
Продолжая таким образом, мы либо придем к противоречию после нескольких шагов, либо некоторые из неизвестных, скажем, х', ..., х', выразим через остальные, причем Остальные х'", ..., Аа могут потом уже выбираться произвольно. Если данная система уравнений однородна (все с[ = 0), то у нее обязательно есть нулевое решение (О, ..., 0). Другие (нетривиальные) решения существуют в точности тогда, когда ранг системы меньше п. Зада ч а 1. Система (6) разложима в точности тогда, когда каждан линейнан зависимость между линейнымн формами а[ имеет место и для сь т е. тогда, когда из ~ Ь'а[=О следует ~ йзс[=-0. Задача 2. Система из и однородных линейных уравнений с п неизвест. ными имеет нетривиальное решение лишь тогда, когда линейные формы а,, ..., а„ линейно зависимы, т, е.
когда имеет нетривиальное решение (ут..., у") «транспонированная система уравненийм ~~ ~у'ага = О. й 23. Линейные преобразования (1) (2) А(х+у) = Ах+ Ау, А (хс) =(Ах) с. Из (1), как всегда, следует, что А (х — у) =- Ах — Ау, А (х, + ... +х,) = Ах,+ ... + Ах,. (3) (4) Если пространство З)1 имеет конечную размерность т и векторы р„..., 1э составляют в нем базис, то значение линейного преобразования А на произвольном векторе х полностью определяется его значениями на базисных векторах. Действительно, пусть х =Ртх'+ " +)эмх". Тогда в силу (4) и (2) у =- Ах =-(Ар,)х'+ ... +(Ада ) х'".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
