Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Вместо х(аЬ) или (ха) Ь мы будем писать хаЬ, Нулевой элемент группы с91, как и тела К, будет обозначаться через О. Примерами векторных пространств могут служить всевозможные поля, содержащие данное поле К, а в более общей ситуации — всевозможные кольца Гс, содержащие данное тело К, причем таким образом, что единичный элемент из К является и единичнылз элементом из /~. в« ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРЛНСТВ» 5 кл Из В2, как обычно, следует, что (х,+...+х,)а=х,а+...+х,а, (х — у)а =ха — уа, О а=-О.
Равным образом, из ВЗ следует, что х(а, +...+аа) =ха,+... +ха„ х(а — Ь) =ха — хЬ, х О=О, Векторное пространство У) называется конечномерным или, коротко,— конечным над К, если существует конечное число порождаю«цих элементов е„..., е„о через которые можно выразить с помощью коэффициентов а» из К любой элемент из ззс'): х = ~ч, е»а». Если один из порождающих элементов е„выражается через остальные еь то как порождающий элемент пространства Я он является лишним. Вычеркнем его из ряда е,,, е,„и будем так продолжать до тех пор, пока нельзя будет выбросить пи одного из порождающих элементов е;; в результате останутся и базисных векторов (или базис) р„..., р„из которых нн один нельзя линейно выразить через остальные. Такие векторы, среди которых ни один нельзя линейно выразить через остальные, называются линейно независимыми.
Если р„..., р„— линейно независимые векторы, то из р,а'+... + р„а" == О (2) с необходимостью следуют равенства а' = О,..., а" = О. Действительно, если хотя бы один из элементов а' был отличен от нули, то из (2) можно было бы выразить вектор р; через остальные векторы. Если рз, ..., р„составляют базис векторного пространства Эз), то каждый вектор х однозначно выражается через базисные векторы р» с помощью коэффициентов х» из К: х = ~ р»х». (з) ') Следун Эйнштейну, мы примем соглашение о том, что в теории вектор.
ных и тензорных пространств козффициенты а» будут наделяться верхними индексами — зто по ряду причин целесообразнее. При таком соглашении суммирования ведутсн по индексам, которые в рассмагриваемом выражении один раз «частвуют сверху и один раз — снизу. ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРЛНСТВЛ !Гл н! Действительно, если бы существовало второе выражение для того же самого вектора х: х= ~ Р»У, (4) то, вычитая (4) из (3), мы получили бы некоторую линейную авнсимость ~~~ р» (х" — у») = О, где все разности х" — у' должны были бы равняться нулю; поэтому у' обязательно равно х» для каждого л. С помощью (3) каждому вектору х единственным образом сопоставляется ряд коэффициентов х',..., х" нз К, которые называются коордииплщмн вектора х в базисе р„, р„. Обратно, каждому набору нз а коэффициентов х' с помощью (3) однозначным образом сопоставляется вектор х.
Следовательно, при фиксированном базисе имеет место взаилшо однозначное соответствие х (х', ..., х"). Два вектора можно сложить, складывая ик координаты: х+У =ЯР»х +~»Р»У =~~Р»(х +У )' вектор умножается на а, когда все его координаты умножаются на ьн ха = ( У р»х"~~ а = " , 'р» (х»а). Число а базисных векторов называется разномерностыо векторного пространства И. В следующем параграфе мы увидим, что размерность не зависит от выбора базиса. Векторное пространство размерности и, которое может служить моделью любого векторного пространства этой размерности, получается следующим образом.
В качестве вектора х берется последовательность из п элементов х', ..., х" тела К. Суммой двух векторов х и у является последовательность (х'+у', ...,х" +у"). Вектор х умножается на скаляр а путем умножения на а каждого из элементов х". Определенные таким способом сложение и умножение на а удовлетворяют всем условиям, с помощью которых вводится понятие векторного пространства.
Векторы а» = (О, ..., О, 1, О, ..., О) (1 стоит на й-м месте), которых всего п, составляют базис, потому что каждый вектор х =(х', ..., х") допускает однозначное представление в виде х=~', а»х». ннВАРНАнтность РАэмвРности й зв! Таким образом, наша модель векторного пространства действительно имеет размерность и. Из соответствия (5) следует предложение: Каждое в ктарное пространство размерности и над К изоморфно модельном у пространству, состочизему из последовательностпей (х', ..., х"). 3 а д а ч а Есзн в одном и том же векторном пространстве перейти от базиса р,,...,рч к некоторому новому базису ео ...,еа н выразить старые базисные векторы р» через новые ез с помощью коэффицнентон р', хз р»=г ер то новые координаты 'х' вектора х будут выражаться через старые так: 'х'=~ р'х». й 20.
Инвариаитность размерности Мы намерены доказать, что размерность векторного пространства :О(, т. е, число элементов произвольного базиса, не зависит от самого базиса. Вектор у называется линейно зависимым от векторов х„ ... ..., х„(над телом К), если у=Х»а'+ +Хмам (!) или, что то же самое, если выполнено линейное соотношение уЬ+х,Ь'+...+х Ь™=0 (2) с Ь ~0. В частности, вектор у называется зависимвзм от пустого множества векторов, если у =О.
В связи с понятием линейной зависимости существует много теорем, которые мы разделяем на «основные» и на «следствия». Основные теоремы выводятся непосредственно из определения этого понятия. Следствия же, напротив, устанавливаются через основные теоремы без повторного использования определения, т. е. без обращения к смыслу термина «линейная зависимость». Такое положение дел оказывается полезным в связи с одной из последующих глав, посвященной понятию «алгебраической зависимости», для которого имеют место те же самые основные теоремы и поэтому те же самые следствия. Будет достаточно трех основных теорем, Первая является совершенно естественной: Основная теорема. !. Каждый вектор х; линейно зави. сим от векторов Хз, Хп Основы ая теорема 2.
Если вектор у линейно зависим от х„..., х, но не от х„.. ч х „то х линейно зависим вт х„... у ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА гтл ггг Доказательство. В равенстве (2) обязательно Ь ~0, так как иначе у был бы зависимым уже от х„..., х Основная гео рема 3, Если е линейно зависим от уг,... ...,у„и если каждый вектор у; линейно зависим от х,,..., х, то вектор Е линейно зависим от Х,,..., х . Д о к а з а т е л ь с т в о. Из е = ~' у,а" и у„= У х;Ьг следует, что е = У', (' 5' хгЬсга' = У хгЬч а' = У хг (' У Ьг а'гг Из основных теорем 1 и 3 получается Следствие 1.
Если вектор е линейно зависим от у,, ... ..., у„, то е линейно зависим и от каждой системы (х„..., х„,), содержаи)ей систему (у„..., у„). Частный случай такой сит) ации имеет место тогда, когда у„..., у„совпадают с точностью до порядка следования с векторами хо ..., х,„. Такггзг образом, попяыге линейной зависимости не зависит от порядка следования х„ ..., х . Определение. Элементы х„, х„называготся линейно независилгылш, еслгс ни один из них не является линеино зависимэгм опг оспюльнык. Понятие линейной независимости ие связано с порядком следования векторов х„..., х„. Пустое множество должно, конечно, считаться линейно независимым.
Один-единственный вектор х линейно независим, если он ие является зависимым от пустого множества век~оров, т. е. если х,-ьО. С л е д с т в и е 2. Если х„..., х„, линейно независимы, а х„..., х„„Х„гпаковыми не являются, то х„линейно зависилг от х,, ..., х„,. Доказательство. Один из элементов х„..., х„„х„ должен быть линейно зависимым от остальных. Если этим элеменгом является х„, то все доказано.
Если же нм является не х„, а, скажем, х„„то х„ч линейно зависим от х„..., х„,, х„, по ие от х„..., х„,; следовательно (осиовная теорема 2), элемент х, линейно зависим от х„ ..., хк.м х„,. Следствие 3. Каждая конечная система векторов х„..., х„ содержит (возможно, пустую) линейно независимую подсистему, от которой все х; (г =1, ..., и) линейно зависимы. Доказательство. Наидекг в данной системе по возможности ббльшую подсистему из линейно независимых векторов.
Каждый содержащийся в этой подсистеме вектор Хг линейно зависим от этой системы в силу основной теоремы 1, как и каждый не содержащийся в этой системе вектор х; в силу следствия 2. Определение. Две конечные системы х„..., х, и у,, ... ..., у, называются (линейно) эквива генпгными, если каждый уэ $201 инвлгилнтность влзмеяности линейно зависим от х» ..., х„а каждый х, линейно зависим от У» . У' Определение эквивалентности по самому своему построению симметрично, в силу основной теоремы 1 рефлексивно, а в силу основной теоремы 3 транзитивно.
Если некоторый элемент г линейно зависим от одной из двух эквнваленгных систем, то согласно основной теореме 3 он зависит н от другой системы. Согласно следствию 3 каждая конечная система эквивалентна некоторой линейно независимой подсистеме. Следующая т е о р е м а о з а и е н е принадлежит Штейницу: Следствие 4. Если векторы у» ..., у, линейно независимы и каждый у, линейно выражается через векторы х» ..., х„то в системе векторов х; существует подсисте.на (х,, ..., х, ! в точности из з векторов такая, что ее можно заменить на систему векторов (у» ..., У,( и полученная так из (Х» ..., х,( новая система будет эквивалентна исходной системе (х» ..., х,(.
В частности, обязательно з=-г. До к а з а тел ь с т в о. Для з = 0 утверждение тривиально: в этом случае пет векторов у, и нечего заменять. Пусть, таким образом, утверждение верно для (у» ..., У,,( и пусть подсистему (хьп ..., х;,( можно заменить на (у» ..., У,,), При этой замене возникает система (у» ..., у, » х„, х» ...(, эквивалентная системе (х» ..., х,(. Вектор у, линейно зависим от ',х» ...
..., х,(, а потому и от эквивалентной системы (у», .., У,.„хл х» ...(. Таким образом, существует нанмеиыпее по включению подмножество в (у» ..., у, » х„х» ...(, от которого у, линейно зависим. Это наименьшее подмножество не может состоять только из упомянутых выше у,, так как у, и у, линейно независимы. Следовательно, наименьшее подмножество (у„..., х,( содержит по крайней мере один из векторов хм которой мы обозначим через х, . В силу основной теоремы 2 вектор х„=х, линейно 5 'Я зависим от системы, которая получается из (у,, ..., х,( заменой хл на у„; поэтому этот вектор линейно завйсим и от большей системы, содержащей построенную, которая получается из ',у» ... ..., у, » х„, х» ...( заменой х„у,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
