Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Только сокращать, вообще говоря, нельзя: в области целых чисел, например, 15 — 3(6), но сравнение 5=1(6) неверно, хотя ЗФО(6). илндлы. кольца классов вычетов 67 3 а д а ч а 1, Показать, что в кольце целых чисел классы вычетов по идеалу (т) (т)0) представляются числамн О, 1, ..., т — 1 н могут быть, следовательно, обозначены через Иа, и„.,.. и 3 а д а ч а 2.

Какой идеач порождают в кольце целых чисел числа 1О н ! 3> 3 апач а 3. иго означает и= в(0)Р Зада ч а 4 Все кратные гп некоторого элемента о образуют некоторый левый идеал га, На примере кольца четных чисел уяснить, что этот идеал не обязан совпадать с левым главным идеалом (а).

Двусторонние идеалы находятся в том >ке отношении к понятию гомоморфизма колец, что и нормальные подгруппы к понятию гомоморфизма групп. Обратимся к понятию гомоморфизма. Гомохгорфизы о- о определяет разбиение кольца о на классы: класс К, будет состоять из всех элементов а, имеющих один и тот же образ а. Это разбиение на классы мы можем описать точнее: Класс и кольца о, который при гомоморгризме о- о соответствует нулевому элементу, является двусторонним идеалом в о, а остальные классы являются классами вычетов по атому идеалу.

Доказательство. Сначала докажем, что и — модуль. Если а и Ь при гомоморфизме переходят в нуль, то в нуль переходят — Ь и разность а — Ь; следовательно, вместе с а н Ь классу п принадлежит и разность а — Ь. Далее, если а переходит в нуль и г — произвольный элемент кольца, то га переходит в г 0=0 и, следовательно, принадлежит и.

Равныь! образом, переходит в нуль и элемент аг. Следовательно, н — двусторонний идеал. Элементы а+с(с ~ и) одного и того же класса вычетов по и, представителем которого служит а, переходят в а+О, т. е. в и, н, следовательно, принадлежат одному классу к„.

Если, наоборот, элемент Ь переходит в а, то Ь вЂ” а переходит в а — а = 0 и, следовательно, Ь вЂ” а ен и, т. е. Ь лежит в том же классе вычетов, что и а. Теы самым требуемое доказано. Итак, каждому гомоморфизму соответствует некоторый двусторонний идеал, являющийся его ядром. Обратим теперь эту связь — будем исходить из произвольного идеала ш кольца о и зададимся вопросом: существует ли гомоморфный образ о кольца с такой, чгпо классы вычетов по идеалу а отображаются в элементы кольца о? Чтобы построить такое кольцо, мы поступим так же, как в 5 1О: в качестве элементов конструируемого кольца возьмем просто классы вычетов по модулю т; класс вычетов а+а обозначим через а, класс вычетов 6+ ги — через Ь и определим й+Ь как класс, в котором лежит сумма а+Ь, и й Б как класс, в котором лежит произведение аЬ.

Если а' =а — какой-нибудь кольца, твля ~гл, гп другой элемент из а, а Ь' =Ь вЂ” другой элемент из 5, то в соответствии со сказанным выше') а'+Ь' = — а+Ь, а' Ь'=а Ь; следовательно, а'+Ь' лежит в том же классе вычетов, что и а+Ь; точно так же а' Ь' лежит в том же классе вычетов, что и а Ь. Таким образом, наше определение суммы и произведения классов не зависит от выбора элементов а, Ь в классах а, Ь. Каждому элементу а соответствует класс вычетов а, и это отображение гомоморфно, потому что сумма а+Ь переходит в сумму а+Ь, а произведение аЬ вЂ” в произведение а6.

Следовательно, классы вычетов образуют некоторое кольцо Я 12). Это кольцо мы назовем кольцом классов вычетов одп или фактор- кольцом кольца о по идеалу ит или кольца о по модулю ж, С помогцью указанного выше соответствия кольцо о гомоморфно отображается на кольцо ойп. В этой ситуации идеал ш играет ту же роль, что раньше играл и.

Здесь мы видим принципиальную важтюсть двусторонних идеалов: они позволяют строить кольца, гомолюрфные данному кольцу. Элементами такого нового кольца являются классы вычетов по некоторолту двустороннему идеалу. Любые два класса вычетов складываются и умножаются, потому что можно складывать и умножать два произвольных представителя этих классов. Из а = — Ь следует, что а =Б; таким образом, сравнения при переходе к классам вычетов становятся равенствами, и операции над сравнениями в кольце о соответспыуют операциям над равенспюами в кольце о1пь Построенные здесь кольца частного вида, гомоморфные данному кольцу с, — кольца классов вычетов одп — исчерпывают, по существу, все кольца, гомоморфные кольцу о.

Действительно, если о — произвольное кольцо, гомоморфное кольцу о, то мы уже видели, что элементы из о взаимно однозначно соответствуют классам вычетов по некоторому двустороннему идеалу и в о. Класс вычетов К, соответствует элементу а из о. Сумма и произведение двух классов вычетов Й„ йь переходят соответственно в К,„ь и в,ь и, следовательно, им соответствуют элементы а +Ь = а+ Ь и аЬ=аЬ. Таким образом, сопоставление классам вычетов элементов из о является изоморфизмом. Мы доказали следующее утверждение: т) Само собой разумеется, что все сравнения берутся яо таояуаю и. ДЕЛИМОСТЬ. ПРОСТЫЕ ИДЕАЛЫ в 1е! Каждое кольцо с, гомо,норфное кольцу о, изоморфно некоторому кольцу классов вычетов о/и. При этом и является двусторонним идеалом, элементы которого имеют нулевой образ в о.

Обратно, любое кольцо классов вычетов орл является гомоморфным образом кольца с (теорем а о г омом арф и з м а х колец). Примеры колец классов вычетов. В кольце целых чисел классы вычетов (см. задачу 1) по произвольному положительному числу т можно обозначить через к„й„..., к „где зс, состоит из тех чисел, которые при делении на т дают остаток а. Чтобы сложить или перемножить два класса вычетов Й„йь, нужно сложить или соответственно перемножить их представители а, Ь н привести результат к его наименьшему неотрицательному остатку от деления на т. 3 з д з ч з 5.

Кольцо кззссов вычстон сдз может содержать делители нуля даже тогдз, когдз их иет в кольце с. Привести примеры для кольцз целых ч исел. 3 з д з ч з б Гомоморфизм ° -~ с является изоморфизмом тогда и только тогда, когда п=(0). 3 з де ч з 7. В теле нет идеалов, кроме нулевого и единичного. Докзззть. Что следует отсюда для гомоморфных отобрзгкений тел) $ !6, Делимость. Простые идеалы Пусть Ь вЂ” некоторый идеал (или, более общо, модуль) в кольце о.

Если а — элемент нз Ь, то можно записать, что а=0(Ь); в этом случае говорят, что а делится на идеал Ь. Если все элементы некоторого идеала (пли модуля) а деляптся на Ь, то (следуя Дедекпнду) говорят, что а делится на Ь. Это означает не что иное, как то, что идеал а является подмножеством идеала Ь.

Обозначение: а = 0(Ь). Идеал а называют кратным или, как теперь часто говорят, поЭ- идеалом идеала Е Точно так же Ь называется делителем илн надидеалом идеала а. Если, кроме того, аФЬ, то Ь называют собственным делитпелелс идеала а, а а — собственным кратным идеала Ь. В случае главных идеалов коммутативного кольца с единицей сравнение (а) =0((Ь)) означает не что иное, как равенство а =гЬ, и понятие делимости в смысле теории идеалов переходит в обычное понятие делимости элементов. Начиная с этого места, все рассматриваемые кольца будут считаться коммутативными.

Под простыл идеалом кольца о подразумевается такой идеал е, кольцо классов вычетов которого о)р является целостным, т. е. ие содержит делителей нуля, то КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ !ГЛ ! !! Если по-прежнему классы вычетов обозначать надстрочной чертой, то для простого идеала р сказанное означает: из й Ь = 0 и а Ф 0 должно следовать 6 = О.

Или, что то же самое, из аЬ им О(р), а и!Е О(р) должно следовать Ь=О(р) для произвольных а и Ь из о, Словами: произведение двух элел!ентов должно делиться на идеал р толька тчгда, когда на) делится один из сомножителей. Очевидно, что единичный идеал всегда простой, потому что предположение ац!ьО (о) вообще не может быть выполнено.

Нулевой идеал является простым тогда и а!олька тогда, когда кольцо о— целостное. 1хругими примерами простых идеалов могут служить главные идеалы кольца целых чисел л., порожденные простыми числами, о чем будет сказано ниже. Идеал кольца о называется максимальным или не ил!еющим делителей, если он не содержится ни в каком другом идеале из о, кроме самого о; другими словами, — если у него нет других собственных делителей, кроме единичного идеала о. Так, например, названные выше простые главные идеалы (р) в Х максимальны.

Каждый отличный от о максимальный идеал ) в кольце с единицей является простым и кольцо классов вычетов о~р являептся полем. Наоборот, если о!р — поле, то р — максимальный идеал. Л о к а з а т е л ь с т в о . Требуется решить в кольце классов вычетов уравнение ха=Ь при йФО. Пусть а~О(о) и Ь произвольно. Идеал ) и элемент а вместе порождают некоторый идеал, который является делителем идеалари притом собственным делителем, потому что он содержит а. Следовательно, этот идеал равен о, Поэтому произвольный элемент Ь кольца о можно представить в виде Ь = р+ га (р ен р, г ен о). С помощью гомоморфизма из о в кольцо классов вычетов получается равенство Б= ей, чем и решается уравнение лег=5.

Таким образом, кольцо классов вычетов является полем. Так как в поле нет делителей нуля, идеал ) является простым. Наоборот, если о/г — поле и а — собственный делитель идеала р, а а — элемент из а, не принадлежащий р, то сравнение = — Ь(р) а 1и ннклидовы кольца и кольца главных ндвдлов 7) разрешимо при любом Ь~о. Следовательно, ах — Ь (а), О =Ь(н), и, так как Ь вЂ” произвольный элемент из о, имеем а=о. Однако, не каждый простой идеал является максимальным; это показывает уже пример нулевого идеала в кольце целых чисел. Друтнм, менее тривиальным примером может служить идеал (х) в кольце целочисленных многочленов Е (х); он имеет в качестве собственного делителя идеал (2, х).

Как легко видеть, оба идеала (х) и (2, х) простые. 3 а д а ч а 1. Провести доиазательство последнего утверждения. 3 а д а ч а 2. Рассмотреть кольца классов вычетов идеалов (2) и (3) в польце целых чисел и нонззать, что зти идеалы просты. НОД и НОК. Идеал (н, Ь), порожденный двумя заданными идеалами н и Ь, будет называться наибольшим оби(им делителем (НОД) этих идеалов; такое название оправдывается тем, что (а,Ь) действительно делит а и Ь и при этом делится на любой общий делитель о и Ь. Иногда (а, 9) называют еще суммой идеалов н и Ь, потому что он состоит из всевозможных сумм а+Ь, где а ен и, Ь ~ Ь.

Точно так же пересечение двух идеалов и ПЬ называют наименьшим общим кратным (НОК) идеалов о, Ь, потому что аПЬ действительно является кратным этих идеалов и делит любое их общее кратное. $17. Евклидовы кольца и кольца главных идеалов Т е о р е м а. В кольце л, целых чисел каждый идеал является славным. Доказательство. Пусть а — произвольный идеал в Х.

Если а =(0), то доказывать нечего. Если же в н есть еще элемент с=Ф-О, то о содержит и элемент — с, а один из этих элементов является положительным числом. Пусть а — наименьшее положительное число в идеале а. Если Ь вЂ” произвольное число в идеале и г — остаток от деления числа Ь на число а, то Ь = па+ г, 0 ( г ( а. Так как Ь и а принадлежат идеалу, число Ь вЂ” оа=г тоже поинадлежит этому идеалу. Так как г(а, то обязательно г =О, потому что а — наименынее положительное число идеала. Следовательно, Ь =да, т.

е. все числа идеала и являются кратными числа а. Отсюда следует, что н=(а); следовательно, а — главный идеал. КОЛЬЦА. ТЕЛА И ПОЛЯ [гл !!! Точно так же доказывается следующее предложение: Если Р— поле, то в кольце многочленов Р [х) каждый идеал является главным. Действительно, можно вновь взять произвольный идеал а ~ Ф(О).

Характеристики

Список файлов книги