Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Если д(х) — любой другой многочлен и д(а) — его значение при х = а, то сумма и произведение [ (х) + д (х) = в (х), [ (х) д (х) = р (х) при х=а имеют значения / (а) + д (а) = з (а), [ (а) д (а) = р (а) . Для суммы это очевидно. Для произведения вычисления прово- дятся по формуле (2): р(а)= ч~",с,а'=~ч', ~ а1Ь„а"= ~', ~ ахЬ,„аюя= в хч-я=~ х я =(~ аха~) [ У', Ь„а") =[(а)д(а).

Тем самым доказано: все соотношения между многочленами [(х), ..., д(х), ..., получаюишеся при сложении и умножении, ез КОЛЬБА МНОГОЧЛЕНОВ «)4) остаются в силе при замене переменной х на произвольный элемент кольца, Я, перестановочный со всеми элементами из Я. Соответствующая теорема справедлива и для многочленов от нескольких переменных. В частности, если кольцо Я коммутатнвно, то в многочлен )'(х„..., х„) можно подставлять вместо переменных произвольные элементы нз Я (или из коммутативного расширения кольца Я).

Благодаря этому многочлены называют также целыми рациональными функциями от переменных х» ° ° ~ х». Для целочисленных многочлеиов без постоянного члена возможность подстановки элементов кольца дает большее: вместо х„..., х„могут быть подставлены произвольные перестановочные элементы любого кольца независимо от того, содержит ли оно целые числа или нет. Если Я вЂ” целостное кольцо, то и Я[х) — целостное кольцо.

Доказательство. Если )(х)чьО и д(х)ФО и если а„— старший коэффициент в Г(х), а Ьз — старший коэффициент в а(х), то а„Ьа ~ Π— коэффициент при х" В в ) (х) д (х), так что 1 (х) а (х) ~ чьО. Следовательно, делителей нуля нет. Из этого доказательства получается Следствие. Если Я вЂ” целостное кольцо, то степень много- члена ) (х) д(х) ровна сумме степеней Г'(х) и д(х). Для многочленов от и переменных с помощью индукции немедленно получается утверждение: Если кольцо Я целостное, то кольцо Я [х„..., х„) тоже целостное.

Под степенью выражения а, „х",»...х,«мы понимаем сумму показателей ~ ', аь Степенью же ненулевого многочлена называется наибольшая степень отличных от нуля составляющих его выражений указанного выше типа. Многочлен называется однородным или формой, если все составляющие его выражения имеют одинаковую степень. Произведение однородных многочленов вновь является однородным многочленом и его степень равна — при условии, что кольцо Я целостное, — сумме степеней сомножителей. Неоднородные миогочлены могут быть (однозначным образом) представлены в виде суммы однородных составляющих разных степеней.

Перемножим два таких многочлена г, д степеней т и и; тогда произведение однородных составляющих высших степеней в случае целостного кольца Я является ненулевой формой степени т+и. Все остальные составляющие произведения Г д имеют меньшую степень. Следовательно, степень многочлена ) д вновь равна т+и. Приведенная выше теорема о степени («следствие») оказывается, таким образом, верной для многочленов от любого числа переменных, (ГЛ Н! КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ Алгоритм деления. Пусть Я вЂ” кольцо с единицей 1; пусть д (х) = )~ с,хт — произвольный многочлен, старший коэффициент которого с„=1, и пусть ( (х) = ~ а„х' — произвольный многочлен степени т- и.

Тогда старший коэффициент а можно обратить в нуль, если вычесть из ) некоторое кратное многочлена д, а именно — многочлен а хж "д. Если в результате степень окажется большей или равной л, то старший коэффициент можно будет опять обратить в нуль, осуществляя вычитание некоторого кратного многочлена д. Продолжая таким образом, мы в конце концов получим остаток со степенью, меньшей л: где г — многочлен степени, меньшей степени многочлена д, или, возможно, нулевой многочлен. Такая последовательность действий называется алгоритмом деления.

Если, в частности, Я вЂ” поле и дчьО, то предположение атом, что с„=1, излишне, потому что тогда при необходимости можно умножить д на с„' и получить единичный старший коэффициент. Задач а. Пусть х, д, ...— бесконечное множество символон; можно рас.

смотреть совокупность жех армногочленов от этих переменных. Каждый многочлен будет содержать лишь конечное число таких переменных. Доказать, что и таким образом определенная система является кольцом (соответственно целостным кольцом), если И является кольцом (соответственно целостным кольцом).

й 15. Идеалы. Кольца классов вычетов Пусть е — произвольное кольцо. Чтобы некоторое подмножество в о вновь было кольцом (подкольцом кольца о), необходимо и достаточно выполнение следующих условий: 1) это подмножество должно быть подгруппой аддитивной группы кольца; другими словами, вместе с любыми а и Ь оно должно содержать разность а — Ь (свойство модулей); 2) вместе с а и Ь оно должно содержать произведение аЬ. Среди подколец особую роль играют подкольца, называемые идеалами; их роль аналогична роли нормальных подгрупп в теории групп. Непустое подмножество ж кольца о называется идеалом, точнее, правым идеалом, если: 1) из а я 1п и Ь е— : ш следует, что а — Ь ен ш (свойство модулей); % 1я идеалы кольцл классов вычетов 2) из а ен ш следует аг ен ш для произвольного г из о. Слова- ми; модуль ш вместе с каждым своим элементом а должен содер.

жать все чправые кратныво аг. Равным образом, модуль называется левым идеалом, если из а я п| следует га е= ш для произвольного г е о. Наконец, подмножество ш называется двусторонним идеалом, если оно является одновременно правым и левым идеалом. Для коммутативных колец все три понятия совпадают и поэтому говорят просто об идеалах. Идеалы будут обозначаться строчны- ми готическими буквами. Примеры идеалов в коммутативных кольцах: 1. Нулевой идеал, состоящий из одного нуля.

2. Единичный идеал о, содержащий все элементы кольца. 3. Идеал (а), порожденный элементом а и состоящий из всевоз- хюжных выражений вида га+па (г я о, и — целое число), То, что это множество действительно является идеалом, увидеть легко: разность двух таких выражений имеет, очевидно, тот же внд, а произвольное кратное выглядит так: в (га + па) = (вг + па) а, т.

е, имеет вид г'а или г'а+Оа. Идеал (а) является, очевидно, наименьшим среди идеалов, содер- жащих элемент а, потому что каждый идеал должен содержать во всяком случае все кратные га и все суммы нп ~, 'а=па, а по- тому и все суммы вида га+па. Идеал (а) может, таким образом, определяться как пересечение всех идеалов, содержащих элемент а. Если кольцо о обладает единицей е, то для га + па можно воспользоваться записью вида га+пеа=(г+пе)а=г'а.

Следова- тельно, в этом случае идеал (а) состоит из всех обычных кратных га. Например, идеал (2) в кольце целых чисел состоит из всех четных чисел. Идеал, порожденный одним элементом а, называется главным. Нулевои идеал всегда главный: это идеал (0). Единичный идеал также является главным, если о — кольцо с единицей е, потому что тогда о=(е). В некоммутативных кольцах необходимо разли- чать правые и левые главные идеалы. Правый идеал, порожденный элементом а, состоит из всевозможных сумм аг+па. 4. Точно так же можно определить левый идеал, порожденный несколькими элементами а„..., а„, как совокупность сумм вида ~ г,а,+ ~ п,а, или как пересечение всех левых идеалов кольца о, содержащих элементы а„ ..., а„. Этот идеал обозначают через (а„ ..., а„) и го- ворят, что элементы а, , а„ составляют базис этого идеала.

кольцл, твлл и поля 1гл гп 5. Аналогично можно определить левый идеал (М), порожденный бесконечным множеством М; он является совокупностью всех конечных сумм вида л,' г,а, + ~' п,а, (и я М, г, ен о, лг — целые числа). Классы вычетов. Любой левый илн правый идеал ш кольца с', являясь подгруппой аддитивной группы, определяез некоторое разбиение кольца с на смежные классы или классы вычетов по идеалу вь Два элемента а, Ь называются сравнимыми по идеалу ш или сравнимыми ио модулю ш, если они принадлежат одному классу вычетов, т.

е. если а — Ь е— = ш. Обозначение: а=Ь(шоб ш), или, в краткой форме, а=Ь(ш). Вместо <а не сравнимо с Ь» пишут аф=Ь. Если, в частности, ш — главный идеал (гп) в коммутативном кольце, то вместо а = Ь (ш) можно было бы также писать а = Ь ((т)). Но в целях упрощения записи в этом случае пишут, опуская пару скобок, а=— Ь(т).

Таким путем приходят, например, к обычным сравнениям по модулю целого числа: а= — Ь(л) (словами: а сравнимо с Ь по модулю п) означает, что а — Ь принадлежит идеалу (и), т. е. является кратным числа и. Операции над сравнениями. Сравнение а = Ь по некоторому. левому идеалу ш остается, очевидно, верным, если к обеим частям прибавить один и тот же элемент с или если обе части умножить слева на один и тот же элемент с.

Если ш — двусторонний идеал, то обе части сравнения можно умножить на с и справа. Отсюда, далее, следует: если а = а' и Ь = Ь', то а+Ь =а+Ь' =а'+Ь', аЬ вЂ” аЬ' = а'Ь', итак, сравнения по двустороннему идеалу можно почленно складывать и умножать. Обе части сравнения можно также умножать на обычное целое число и. В случае и= — 1, если скомбинировать приведенные выпье рассуждения, получается, в частности, что сравнения можно и почленно вычитать. Следовательно, со сравнениями можно оперировать точно так же, как с равенствами.

Характеристики

Список файлов книги