Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

При этом для бесконечной циклической группы число т произвольно, в то время как для циклической группы конечного порядка и число т должно быть некоторым делителем числа и, В этолг случае под. и группа имеет порядок о= —. Для каждого такого числа т суи(естес' и вует одна и только одна подгруппа порядка — в группе (а), эг а именно (а ). 5 8. Операции над комплексами. Смежные классы Под комплексом в теории групп подразумевается произвольное множество элементов группы 9. Под произведением ф двух комплексов 6 и (г понимается множество всех произведений дгг, где д — элемент из с, а й — элемент из 16 Если в произведении ф один из комплексов, скажем, 1, состоит из единственного элемента д, то вместо 61) пишут просто с(). Очевидно, имеет место равенство 6(61) =(66) 1.

Таким образом, в сложных произведениях комплексов мы можем опускать скобки (ср. 6 6, (1)). Если комплекс 6 является группой, то 66=6 Пусть 6 и 6 — подгруппы группы Ю. При каких условиях произведение 66 снова является группойр Совокупностью элементов, обратных к элементам из ф, является 66, так как обратным к й(г служит элемент сг-гд-г. Таким образом, если 6() — группа, то 66=61' (1) т.

е. 6 и () должны быть перестановочными. Но это условие является и достаточным, так как если оно выполнено, то 6(г содержит вместе с каждым элементом дй обратный к нему элемент сг-гд ' и вместе с любыми двумя элементами — их произведение, потому что 61)61) = 9Ф = 611 Итак: произведение ф двух подгрупп 6 и 1) некоторой группы Е ГРУППЫ ~гл. и является группой тогда и только тогда, когда подгруппы й и !1 перестановочны. При этом, конечно, не требуется, чтобы каждый элемент из й был перестановочен с каждым элементом из 1).

Если условие перестановочности (1) выполнено, то произведение ф является подгруппой, порожденной й н 1ь В любой абелевой группе равенство 11) выполняется. Если абелева группа записана аддитивно, то й и 1) являются подмодулями некоторого модуля и пишут (й, 1)) вместо ф, так как обозначение й+Ь предназначается для частного случая «прямой суммы» комплексов, о которой речь впереди. Если й — подгруппа и а — элемент группы 9, то комплекс ай называется левым смежным классом, а комплекс йа — правым смежным классом группы й' по подгруппе й. Если а лежит в й, то ай = В; таким образом, всегда одним из левых (равно как и одним из правых) смежных классов по подгруппе й является сама эта подгруппа.

В дальнейшем будут в основном рассматриваться левые смежные классы, хотя проводимые рассмотрения приводят к тем же выводам и в случае правых смежных классов. Два смежных класса а), Ьй могут быть равными, даже если а и Ь не равны. Это происходит тогда, когда а-'Ь лежит в й: Ь,1 = аа-'Ь.1 = а (а-»Ьй) = ай. Два различных смежных класса не имеют ни одного общего элемента. Если бы смежные классы аз и Ьй содержали общий элемент, скажем, ау, = Ьд„ то отсюда следовало бы, что йгк2 = а Ь1 и получилось бы, что а-'Ь лежит в й.

В силу сказанного выше это означает, что ай и Ьй совпадают. Каждый элемент а принадлежит некоторому смежному классу, а именно классу а): этот к Гасе содержит элемент ае =а. В силу доказанного выше элемент и принадлежит только одному смежному классу. Поэтому мы можем рассматривать каждый элемент а как представитель содержащего его смежного класса а). В соответствии со сказанным выше смежные классы образуют равнение группы Ж на классы. Каждый элемент принадлежит одному и только одному 1смежному) классу'). з) В литературе можно часто найти обозначение, введенное Галуа: Гб= гй+о»З+ ", которое говорит о том, что классы о,а попарно не пересеиаются и все вместе составляют группу 9.

Этого способа записи мы избегаем, потому что оставляем символ + лля прямой суммы, которая будет введена позднее, за! ОПЕРЛПИИ ИЛД КОМПЛЕКСАМИ, СЛ>ЕЖИЫЕ КЛАССЫ 4! Любь>е два смежных класса равномощны: сопоставление ад Ьд определяет взаимно однозначное отображение из ай на Ьь За исключением самой подгруппы й, смежные классы не я вл яютс я группами, потому что группа должна содержать единицу.

Число различных смежных классов группы бз) по подгруппе й называется индексом подгруппы й в 9. Индекс может быть конечным и бесконечным. Если )У вЂ” порядок (конечной) группы Я, и — порядок и !— индекс подгруппы >), то имеет место соотношение: Ж=(п; действительно, Е распадается на ) классов, состоящих из и элементов '). Для конечных групп из равенства (2) можно выразить индекс (: ! = Ь)уп. Следствие.

Порядок подгруппы конечной группы является делителем порядка всей группы. В частности, если в качестве подгруппы взять циклическую группу, порожденную некоторым элементом с, то отсюда получится: Порядок элемента конечной группы является делителем порядка асей группы. Вот непосредственное следствие этого утверждения: и любой группе из и элеменп>ов для произвольного элел>ента а имеет место равенство ат = е.

Может оказаться, что все левые смежные классы ай равны правым смежным классам. Если это так, то тот левый смежный класс, который содержит элемент а, должен совпадать с правым смежным классом, содержащим тот же элемент а, т. е. для любого э>емента а должно иметь место равенство комплексов: ай=!)а, Подгруппу й, удовлетворяющую равенствам (3), т.е.

Перестановочную с любым элементом а из Е, называют нормальной или инеариантной подгруппой группы >Я. Если й — нормальная подгруппа, то произведение двух смежных классов снова является смежным классом: ай. Ьй=а йЬ й=аЬйй=абй. Задач а !. Найти для подгрупп группы из правые и левые смежные классы. Какие из этих подгрупп являются нормальнымн? ') Зто соотношение остается аерным и тогда, когда У бесконечно; только а этом случае для придания смысла произаедеиию нужно ввести произведения кардинальных чисел, чего мы не сделалн, 42 ГРУППЫ 1гл и 3 в д а ч з 2.

Показать, что элементы, обратные к элементам левого смежного класса но ироизвольной подгруппе, составляют правый смежный нлзсс. Сделать отсюда вывод: индекс подгруппы можно также определить и квк число правых смежных классов по ней. 3 з де ч з 3. Показать, что каждая подгруппе индекса 2 является нормаль.

иой. П р и м е р: знзковеременная группа в симметрической группе на я символах. 3 а д а ч з 4. Любая подгруппа абелевой группы всегда является нормальной, 3 яд а ч а 5. Если 9 — циклическая группа, порожденная элементом о, й— ее произвольная подгруппа, отличная от 9, ворожденнзя степенью ам при минимальном и (ср. 4 7), то элементы П а, а',, ам т являются представителями снежных классов и число лг равно индексу подгруппы й в группе 9. 3 яд а ч а 6.

Если произведение двух любых левых смежных классов грувпы 9 но подгруппе ч снова является левым смежным классом, то й — нормальная подгруппа в 9. $9. Изоморфизмы и автоморфизмы Пусть даны два множества: Я и 9111, в каждом из которых определены какие-то соотношения между элементами.

Например, можно считать, что 311 и Я вЂ” группы, а соотношения в них — это равенства а Ь= с, выражающие групповое свойство. Или же можно считать, что 1111 и 291 — упорядоченные множества, а соотношения — это неравенства а) Ь. Предположим, что можно установить взаимно однозначное отображение множеств 31) и % друг на друга, при котором сохраняются соотношения; это означает, что если элементу а из Я взаимно однозначно соответствует элемент а из Ю(, то соотношения, выполняющиеся для произвольных элементов а, Ь, ... из %, выполняются и для элементов а, 5, ...

и наоборот. В этом случае множества 911 и 'Й называют изоморфными (относительно данных соотношений) и пишут И вЂ” Й. Само отображение называется изоморфизмом. Таким образом, можно говорить об изоморфмых группах, изоморфных упорядоченных или подобных упорядоченных множествах и т. д, Изоморфизм двух групп — это, следовательно, взаимно од. нозначное отображение а а, при котором из аЬ =с следует, что аЬ = с (и наоборот), так что произведению аЬ сопоставляется аЬ. Подобно тому как в общей теории множеств равномощные множества считаются равнозначными, так в теории групп изоморфные группы рассматриваются как несущественно различные.

Все понятия и предложения, которые определяются и доказываются на основе соотношений, заданных на некотором множестве, могут быть непосредственно перенесены на любое изоморфное множество. Например, если множество, на котором определено произведение, изоморфно некоторой группе, то оно само является группой; при этом изоморфизме единица, обратные элементы и подгруппь череходят в единицу,. обратные элементы и подгруппы, 43 ИЗОМОРФИЗМЫ И АВТОМОРФИЗМЫ Если, в частности, множества ?11 и В1 совпадают, то мы рассматриваем взаимно однозначное сопоставление элвиса~ам а элементов а того же самого множества, сохраняющее соотношения; такое сопоставление называется автоморфизмом. Автоморфизмы множества до некоторой степени выявляют его свойства симметрии.

Характеристики

Список файлов книги