Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 4
Текст из файла (страница 4)
16 Введение идеалы и поля. Дальнейшие главы первого тома посвящены главным образом теории полей и опираются в первую очередь на основополагаюшую работу Штейница (Яе!п!12) из Сге11е'з дон!па) (1910), 137. Во втором томе изложены, по возможности независимо друг от друга, разделы из теории модулей, колец и идеалов с приложениями к алгебраическим функциям, элементарным делителям, алгебрам и представлениям групп. За пределами рассмотрений оказалось необходимым оставить теорию абелевых интегралов и непрерывных групп, потому что для полноценного изложения они требуют выходящих за рамки нашего курса понятий и методов; то же относится к основанной на них теории инвариантов.
Дальнейшая информация о строении книги содержится в оглавлении н приведенной выше схеме зависимости глав, из которой совершенно точно усматривается, сколько предшествующих глав необходимо для каждой конкретной главы. Появляющиеся по ходу изложения задачи подобраны в основном так, чтобы можно было проверить, оказался ли понятым предшествующий текст. Они, кроме того, содержат примеры и дополнения, которые используются в дальнейшем. Задачи, требующие искусства для своего решения, как правило, не используются в последующем и формулируются в квадратных скобках.
Источники. Эта книга возникла отчасти из записей лекций, а именно были использованы: курс лекций Э. Артина по алгебре (Гамбург, летний семестр 1926 года); семинар по теории идеалов, руководимый Э. Артином, В. Бляшке, О. Шрайером и автором !Гамбург, зимний семестр 1928)27); два курса Э. Нетер по теории групп и алгебр !Геттинген, зимний семестр 1924)25, зимний семестр 1927!28) '). Многие новые доказательства и варианты доказательств, встречающиеся в этой книге, даже там, где нет явных ссылок, имеют своим источником упомянутые лекции и семинар. а) В обработке Э. Нетер ати лекции появились в Ма!Н.
Еепаснт!Рь 1929, ЗО, 5. 64! — 692, Глава первая ЧИСЛА И МНОЖЕСТВА Так как в книге используются логические и общематематнческнс понятия, не очень знакомые начинающему математику, то мы должны начать с посвященного им короткого раздела. При этом мы не будем вдаваться в трудности, связанные с основаниями математики, а будем повсюду придерживаться «наивной точки зрения», избегая определений, содержащих порочный круг и приводящих к парадоксам. Более подготовленному читателю в этой главе следует лишь запомнить смысл символов ен, с,:э, (), ~ и (...), а все остальное можно пропустить.
$ Е Множества В качестве отправного пункта всех математических рассмотрений мы мыслим себе некоторые доступные представлению объекты, как-то: цифры, буквы или их комбинации. Свойство, которым обладает или не обладает каждый такой объект в отдельности, приводит к понятию множества илн класса; элементы множества— это те самые объекты, которые обладают данным свойством. Символическая запись а яМ означает: а — элемент множества М.
Пользуясь образным геометрическим языком, говорят также: а лежит в М. Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента. Мы допускаем рассмотрение последовательностей и множеств чисел (или букв и т. д.) как элементов или объектов новых множеств (называемых иногда множествами второй ступени). Множества второй ступени снова могут служить элементами множеств более высокой ступени и т. д., однако мы остерегаемся употреблять понятия типа «множество всех множеств», так как они приводят к противоречиям; наоборот, мы будем строить новые множества из объектов некоторой заранее очерченной категории (которой новые множества еще не принадлежат). Если все элементы некоторого множества У являются одновременно элементами множества М, то М называется подмножеством или частью множества М; пишут: У: — М.
18 числл и множаствл Множество М называется подмножеством или объемлющим множеством множества У; пишут МыЯ. Из А =В и Вс=С следует АыС. Пустое множество содержится в любом множестве. Если одновременно все элементы из М содержатся в М и все элементы из М содержатся в Ф, то множества М н У называются равными; пишут Равенство означает также одновременное выполнение соотношений М с=.
У, А' ~ М. Иначе: два множества равны, если они содержат одни и те же элементы. Если й( ='М, но М не равно М, то М называется собственным подмножеством множества М, а М вЂ” собственным надмножеством множества АГ; пишут Л~см, М:ЗУ. Запись Ис:М означает, таким образом, что все элементы из А' лежат в М и что, кроме того, в М существует элемент, не лежащий в Аг.
Пусть теперь А и  — произвольные множества. Множество О, состоящее нз всех тех элементов, которые принадлежат и А, и В, называется пересечением множеств А н В и обозначается через 0=~А, В~=АПВ. Множество В является подмножеством как в А, так и в В, и любое множество с этим свойством содержится в О. Множество У, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат по крайней мере одному из множеств А и В, называется объединением множеств А и В н обозначается через У = А Ц В. Множество У содержит как А, так и В, и любое множество, обладающее этим свойством, содержит У, Аналогично определяются пересечение и объединение произвольного множества Х множеств А, В, ...
Пересечение (т. е. множество элементов, принадлежащих всем множествам А, В,... множества Х) обозначается через П (Х) = (А, В,...~, !9 отов юкшщя мощности Два множества называются непересекающимися, если их пересечение пусто, т. е. если оба множества не содержат ни одного обьцего элемента. Если множество задается перечнем своих элементов, скажем, множество М состоит из элементов а, Ь, с, то пишут М=(а, Ь, с). Этот способ записи оправдывается тем„что, согласно опреде.гению равенства множеств, любое множество определяется заданием его элементов. Определяющее свойство, которое выделяет элементы множества М, состоит в следующем: совпадает ли тот или иной элемент с а, с Ь или с с.
$ 2. Отображения. Мощности Если каждому элементу а некоторого множества М по ка. кому-нибудь правилу сопоставляется единственный (вообще говоря, новый) объект ф (а), то это сопоставление ф называется функцией. Если все объекты ф (а) принадлежат некоторому множеству Л/, то сопоставление а ф (а) называется также оьпображениель из М в Ль. Элемент ф (а) называется образом элемента а, а а называется прообразом элемента ф (а). Образ ф (а) определяется элементом а однозначно, но а не обязательно однозначно определяется элементом ф (а). Вместо ф (а) иногда пишут кратко ьра.
Отображение множества М в множество М называется сюръективным или отображением из М на ьль, если каждый элемент из ьч' имеет по крайней льере один прообраз. Отображение множества М в множество ьль называется взаимно однозначным или иньективным, если каждый образ фа обладает ровно одним прообразом а. Если отображение ф множества М в множество У инъективно н сюръективно„т. е, является взаимно однозначным отображением множества М на множество ьУ, то существует обратное отображение ьр-ь, которое каждому элементу Ь множества Ль сопоставляет тот элемент из М, образом которого является Ь: ьр-'Ь = а, ес.чи фа = Ь, Говорят, что множества М и йь' равномоьцны или имеют одинаковую моьцность, если существует взаимно однозначное отображение из М на Ж. П р и м е р.
Сопоставим каждому числу и число 2п; тогда получится взаимно однозначное отображение множества всех натуральных чисел на множество всех четных натуральных чисел. Таким образом, множество всех натуральных чисел равномощно с множеством всех четных (натуральных) чисел.
20 числА и миоместВА )гл ! Как показывает приведенный пример, вполне может оказаться, что множество равномощно со своим собственным подмножеством. В последующих параграфах мы увидим, что ничего подобного нельзя встретить, рассматривая «конечные» множества. $ 3. Натуральный ряд Будет предполагаться известным множество натуральных чисел 1, 2, 3, ...; также будут предполагаться известными следующие основные свойства этого множества (аксиома Пеа о): 1. 1 — натуральное число. 11. Для каждого числа') а существует вполне определенное последующее число а+ в множестве натуральных чисел.
Н!. Всегда а'чь1, т. е. нет числа с последующим числом 1. !'тГ. Из а" =Ь' следует а=Ь, т. е. каждое число либо вовсе не является последующим ни для какого числа, либо является последующим точно для одного числа. "тг. «!!ринцип индукции». Каждое множество натуральных чисел, которое содержит число ! и вместе с каждым содержащимся в нем числом а содержит последующее число а«, содержит все натуральные числа. На свойстве з! основан метод доказательства с помощью индукции. Для того чтобы доказать, что яекоторым свойством Е обладают все числа, доказывают сначала, что им обладает число 1, а затем доказывают его для произвольного числа п при «индуктивном предположении», что число а свойством Е уже обладает.
В силу аксиомы тг множество чисел, обладающих свойством Е, должно содержать множество всех чисел. Сумма двух чисел. Каждой паре чисел х, у можно единственным образом сопоставить натуральное число, обозначаемое через х+у, так, чтобы оказались выполненными следующие условия: (1) х+1 =х" для каждого х; (2) х+у' =(х+у) для каждого х и для каждого уз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
