Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

л л В аддитивной группе вместо П а, пишут ~", а„а вместо 1 1) В случае й=! опускается первый сомножнтель, а в случае й и — вто. рой; доказательству зто ае мешает. подгриппы а" — соответственно па. Все доказанное для произведений переносятся теперь н на суммы. Правило (3), записанное адднтнвно, имеет внд закона ассоцнатнвностн и та=пт а, в то время как (2) имеет внд закона днстрнбутнвностн: та+па=(т+п) а. К этим двум законам присоединяется еще один закон днстрнбутнвностн: гп (а + Ь) = та + тЬ (в мультипликатнвной записи: (аЬ)" = амЬ ), который, однако, имеет место лишь в абелевых группах. Это легко доказать с помощью индукции.

задач а 6. Докаэать, что в аселевой группе П П" =П П"' т=1в-~ Зада ч а 6.,!ри тех же условиях и и и П П;-=П Пп„,. ч=п в=! и=|я=и и 3 ада ча 7. Порядок симметрической группы Фи равеи и! =По. (Иидук- 1 пия по п.) $ 7. Подгруппы Чтобы непустое подмножество й группы 5 само было группой с тем же законом композиции, что н в 0э', необходимо н достаточно, чтобы выполнялись аксиомы 1, 2, 3, 4. Аксиома 1 утверждает, что если а н Ь лежат в й, то н нх произведение аЬ также лежит в й. Аксиома 2 выполняется в й, если она выполняется в (У). Аксиомы 3 н 4 означают, что в й лежит единичный элемент н что вместе с каждым элементом а в множестве й лежит обратный к нему элемент а-Ч В данном случае требование о еднннчном элементе излишне, потому что если а — любой элемент нз й, то а-' лежит в й, н, следовательно, произведение аа-'=е также лежит в й. Тем самым доказано: для того чтобы непустое подмножество й данной группы (У было подгруппой, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: 1) множеспию й содержит вместе с любыми двумя своими вле.

ментами и их произведение; ГРУППЫ (гл. и 2) множество й содержит вместе с каждым своим элементом а обратный к нему элемент а-'. Если, в частности, множество й конечно, то второе из этих требований даже излишне, потому что в этом случае требования 3 и 4 могут быть заменены на требование 6, а оно, будучи выполненным в (зэ', обязательно выполняется и в й, Вообще, условия 1) и 2) можно объединить в одно: множество й должно вместе с любыми двумя своими элементами а и Ь содержать произведение аЬ-'.

Тогда ) содержит вместе с а и единицу аа-'=е, и обратный элемент еа '=а-', а потому вместе с а, Ь и элемент Ь-', и произведение а(Ь-')-'=аЬ. Если (в абелевой группе) групповые соотношения записаны аддитивно, то подгруппа характеризуется тем, что вместе с любыми двумя своими элементами а, Ь она содержит а+Ь, а гместе с а и элемент — а. Оба эти требования можно объединить в одно: вместе с а и Ь в подгруппе должен лежать элемент а — Ь.

Примеры подгрупп. Каждая группа имеет в качестве подгруппы единичную группу ьг, состоящую из одного-единственного единичного элемента. Важнейшей подгруппой симметрической группы (:„всех подстановок и объектов является знакопеременная грдппа 2(„, состоящая из тех подстановок, которые, будучи применены к переменным х, ..., хго переводят функцию Л= И (х~ — хь) с<а в себя, Такие подстановки называются четными, а остальные— нечетными.

Последние меняют знак у функции Л. Каждая транс- позиция (т. е. подстановка, меняющая местами две цифры) является нечетной подстановкой. Произведение двух четных или двух нечетных подстановок — четная подстановка; произведение четной и нечетной подстановки — нечетная подстановка. Из первого свойства следует, что Р(, — группа. Так как фиксированная транспозиция при умножении переводит четные подстановки в нечетные и наоборот, количество четных и нечетных подстановок одинаково и равно п(72 (ср.

Э 6, задача 7). ДЛя бОЛЕЕ удсбНОГО ОПИСаНИя ПОдгрунн СНММЕтрнЧЕСКОй ГруППЫ Сл ИСПОЛЬ- зуют известное предспюллелне подононоаок циклами: Символом (р д г з) обознзчается циклическая подстановка, переводящая р в В, д в г, г в з и з в р и оставляющая все остальные обьекты неподвижными. Легко показать, что любая подстановка представляется однозначно (с точностью до порядка следования) в виде произведения циклических подстановок или ецнк.тоиь.' (~й(")(рв".)..., где любые два цикла не имеют нн одного общего элемента. Сомножнтели ПОДГРУППЫ зт в этом произведении псрестановочны Цикл из одного злеиента, скажем (1), представляет тождественную подстановку. Конечно, имеет место равенство (1254)=(2541) и т.

п С помо~пью таких символов мы можем следующим образом представить 3! =3 подстаповок группы лз.. (1), (! 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2). Все подгр) ппы в данном случае легко определяются. Вот они (кроме самой группы сза): 21,. (1), (123), (132); С': (1) (23): е ' (1] (13)1 Жз: (!), (12); Рп (1) Пусть а, Ь, ...— произвольные элементы некоторой группы Я; тогда, кроме группы ()1, в ней могут быть такие подгруппы, которые содержат элементы а, Ь, ... Пересечение всех этих подгрупп снова является некоторой группои 2!.

Говорят, что а, Ь, ... порождают группу )г!. Опа обязательно содержит произведения типа а 'а 'ЬаЬ ' (составленные из конечного числа сомножителей с повторениями или без). Такие произведения образуют группу, которая содержит элементы а, Ь, ... и, следовательно, включает и себя группу 2(. Поэтому она совпадает с Р!. Мы доказали следующее: Группа, порожденная элементами а, Ь, ..., состоит иэ всееозлголсноах конечных произведений этих элементов и элементов, обратных к них!. В частности, отдельный элемент а порождает группу всех своих степеней а — ' (включая а'=е). Так как плат ал.нл атал Э эта группа абелева.

Группа, состоящая нз степеней одного элемента, называется циклическои. Существуют две возможности. Либо все степени а" различны; тогда циклическая группа , а-', а-', а', а', а', бесконечна. Либо они повторяются и оказывается, что аз=а", )т) й. Тогда ал-а=е (Ь вЂ” й)0). Пусть в этом случае и — наименьший положительный показатель, при котором ал=е. Тогда степени а', а', а', ..., ал-' различны. потому что иначе аз=а" (0(й )! .,и), ГРУППЫ !гл и а отсюда следовало бы, что а"-а=е (О(/1 — я(п), что противоречит выбору числа и.

Если произвольное целое число т представить в виде т= !)и+ г (О ( г ( п) то окажется, что аи~ ад» "» ад» аг (а»)д аг наг аг Таким образом, все степени элемента а уже встречаются в серии а', а',...,а"-'. Поэтому циклическая группа содержит в точности и элементов, а именно — элементы аа а1 ໠— 1 Число и — порядок циклической группы, порожденной элементом а, — называется порядком элемента а.

Если все степени элемента а различны, то а называется элементом бесконечногп порядка. П р и м е р ы. Целые числа — 2, — 1,0,1,2,... со сложением в качестве композиции образуют бесконечную циклическую группу. Описанные выше группы Ж; (1=1, 2, 3) и 12(а являются циклическими группами порядков 2, 3. 3 а д а ч а 1. Существуют циклические группы подстановок любого порядка. 3 а да ч а 2.

доканать инд>кцией по л, что л — 1 транспоаиций (! 2), (1 3), ... (1 и) при л ) 1 порождают симметрическую группу Ф». Задача 3. Точно так же л — 2 тройных циклов (! 2 3), (1 2 4), ... (1 2 л) прн л ) 2 порождают ананопереыенную группу И». Определим теперь все подгруппы циклической группы.

Пусть 9 — произвольная циклическая группа с образующей а и й — подгруппа, состоящая не только из единицы. Если й содержит элемент а- с отрицательным показателем, то н обратный к нему элемент лежит в й. Пусть а" — элемент в й с наименьшим положительным показателем. Докажем, что все элементы из й являются степенями элемента а . Действительно, если а' — произвольный элемент из й, то можно вновь считать, что л = г)т+ г (О ( г ( т). Тогда а'(аж)-'г=а'-"д=а' — элемент из й с г =т.

Отсюда следует, что г=О в силу выбора числа т и, следовательно, з=!)т и а' = = (а")д. Таким образом, все элементы подгруппы й являются степенями элемента а'". Если элемент а имеет конечный порядок и, т. е. а" =е, то элемент а" =е должен лежать в 3, а потому число л должно А вг ОПЕРАЦИИ НАД КОМПЛЕКСАМИ СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ зэ делиться на т: сг= от. Подгруппа 6 состоит в таком случае из элементов а", а', ..., ач =е и имеет порядок о.

Но если а имеет бесконечный порядок, то и группа 6, состоящая из элементов, е, а — ''", а''"', ..., имеет бесконечный порядок. Тем самым мы до. казали следующее: Подгруппа циклической группы снова циклическая. Она состоит либо из единицы, либо из спгепеней элемента а" с наименьшим возможньгм положительным показателем т. Другими слова,ии, она состоит из т-х степеней элементов исходной группы.

Характеристики

Список файлов книги