Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Можно ли построить группу % — гомоморфный образ группы Я, — элементам которой в точности сооп|ветствовали бы смежные классы группы 9 по нормальной подгруппе 9Р Чтобы это сделать, возьмем попросту в качестве элементов конструируемой группы М смежные классы по нормальной подгруппе 9. Согласно $ В произведение двух любых смежных классов по нормальной подгруппе,1 снова является смежным классом и если а — элемент смежного класса ай, а Ь вЂ” элемент смежного класса Ьв, то произведение оЬ принадлежит произведению смежных классов аЬ9 =ач Ье.
Таким образом, смежные классы составляют множество, гомоморфное группе 9, т. е. гомоморфный образ группы Ж. Группу, состоя|дую из этих смежных классов, называют факторгруппой группы СУ по нормальной подгруппе 9 и обозначают через ®9. Порядок группы Ю/9 равен индексу подгруппы 9.
Здесь мы видим принципиальную важность нормальных подгрупп: они позволяют строить новые группы, гомоморфные данным группам. Если группа Ю гомоморфно отображается на другую группу 9, то, как мы видели, элементы группы Ф взаимно однозначно соответствуют смежным классам по ядру г в группе (Я. Это соответствие, конечно, является изоморфизмом, потому что если а4, Ь1 — два смежныт класса, то аЬ9 — их произведение, а для соответствую|них элементов й, Ь, аЬ из 3 в силу гомоморфнзма имеет место равенство (аЬ)=а 5.
Итак, мы имеем 9/ел%, а вместе с этим изоморфизмом и тео рем у о гомо ма рфизмах групп: ГРУППЫ (гл и Каждая группа Е, на которую гомоморфно отображается группа ()), изоморфна факторгруппе Сз5/»; при этом нормальнан подгруппа» является ядром данного гомоморфизма, Обратно, группа (У гол»аморфно отображается на любую свою факторгруппу Е/» (где» вЂ” нормальная подгруппа). Зада ч а Е Вот тривиальные фзкторгруппы любой группы 9: 9»6 — 9; 9/9 6 (6 — единичная подгруппа). 3 а д а ч а 2. Фзкторгруппв группы подстановок по знакопеременной подгруппе (Й„/И ) является циклической группой второго порядка.
3 а да ч з 3. Факторгруппа вуич по четверной группе Клейна 8 9, задача 4) изоморфна группе подстановок из. 3 з д а ч а 4. Элементы аЬо 'Ь х произвольной группы 9 и их произведения (взятые в конечном числе) образуют группу, называемую коммутанюом группы 9. Эгз подгруппа является нормальной и факторгруппа по ней абелева. Каждая нормальная подгруппа, факгоргруппа по которой абелезз, содержит комм тент. адача 5. Если 9 — циклическая группа, о — порождающий ее элемент, а з †подгруп индекса ьь то факторгруппа 9,'з †циклическ группа порядка ю.
В абелевой группе всякая подгруппа является нормальной (ср. 3 8, задача 4). Если закон композиции записывать как сложение, то группы н подгруппы принято называть модулями, о чем упоминалось выше. Смежный класс а+И (где 3)1 — некоторый модуль) называетсн классом вычетов по модулю % (или классом вычетов пюд 9)1), а факторгруппа (В))8)1 называется фактор- модулем модуля (з) по подмодулю %. Два элемента а, Ь лежат в одном классе вычетов, если их разность лежит в И. Такие два элемента называют сравнимыми по модулю И (нли сравнил»ыми шод Ю1) и пишут а= — Ь(гпод Я) или, кратко, .а = Ь(Я), Тогда для элементов а и 5 модуля классов вычетов, соответствующих элементам а и Ь в силу гомоморфизма, имеет место равенство а=Ь.
Наоборот, из а=6 следует а=Ь(!о1). Например, в множестве целых чисел кратные фиксированного натурального числа т образуют модуль, и в соответствии с этим пишут а= — Ь(т), если разность а — Ь делится на т. Классы вычетов могут быть представлены элементами О, 1, 2, ..., т — 1 и, следовательно, модуль классов вычетов является циклической группой порядка т. Зада ч з б. Каждая циклическая группа порядка т изоморфна модулю классов вычетов по целому числу т.
Глава третья КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ Содержание. Определение понятна кольца, целостного кольца, тела и поля. Общие методы построения нз данных колец новых колец, тел и полее. Теоремы о разложении на простые множители в целостных кольцах. Понятия этой главы будут нужны на протяжении всей книги. $11. Кольца Алгебра и арифметика оперируют объектами различной природы; это — целые, рациональные, вещественные, комплексные, алгебраические числа, многочлены или рациональные функции от и переменных и т.
д. Позднее мы познакомимся с объектами иного сорта — гиперкомплексными числами, классами вычетов и др., с которыми можно оперировать точно так же, или почти так же, как с числами. По этой причине желательно объединить все упомянутые классы объектов одним общим понятием и с общих позиций описать правила действий в этих областях. Под системой с двойной композицией подразумевается произвольное множество элементов а, Ь, ..., в котором для любых двух элементов а, Ь однозначно определены сумма а+Ь и произведение а Ь, вновь принадлежащие данному множеству. Система с двойной композицией называется кольцом, если операции над элементами этой системы подчиняются следующим законам: 1.
Законы сложения: а) Закон ассоииативности: а+(Ь+с) =(а+Ь)+с. б) Закон коммутативности: а + Ь = Ь + а. в) Разрешимость ') уравнения а+х= Ь для всех а, Ь. П. Закон умножения: а) Закон ассоциативности: а Ьс = аЬ . с. П1. Законы дистрибутивности: а) а (Ь+с) =аЬ+ас; б) (Ь+с) а=Ьа+са. ') Однозначная разрешимость не требуется, а получается дальше как следствие. 50 кольцл.
твлл и поля [гл, гп П р и м е ч а н и е. Если для умножения выполняется закон коммутативности: 11 б). а Ь=Ь.а, то кольцо называется колглгупгагпивнылг. На первых порах мы будем иметь дело в основном с коммутатнвными кольцами. К законам сложения. Три закона !а), б), в) означают в совокупности, что элементы кольца образуют абелеву группу относительно сложения'). Таким образом, мы можем перенести на кольца теоремы, ранее доказанные для абелевых групп: существует один и только один нулевой элемент О со свойством а+О=а для всех а. Лалее, для каждого элемента а существует противоположный элеменп! — а со свойством ( — а)+а=О. Таким образом, уравнение а+х=Ь не только разрешимо, но и однозначно разрешимо; его единственное решение — элемент х=( — а)+Ь, который мы обозначаем также н через Ь вЂ” а. Так как а — Ь=а+( — Ь), любая разность может быть превращена в сумму; следовательно, в этом смысле для разностей имеют место те же правила пере- становки, что и для сумм, например, (а — Ь) — с = (а — с) — Ь.
Наконец, — ( — а) =а и а — а=О. К законам ассоциативности. Как мы видели в ~ 6 (гл. 2), на основе закона ассоциативности для умножения можно определить сложные произведения о П а, = а,а, ... а„ ! и доказать их основное свойство; !к л т-ьл И'» П а- = П а' ! г ! Точно так же можно определить суммы л ~к~ а„= а, + а, +... + а„ ! ь) Эту группу пазывак!т аддиогивнов группой кольце, кольца $ и! и доказать их основное свойство: ~И а т+а Х с!„+ ~ а .„= ~ а,. ! т=! ! В силу 1б) в любой сумме можно произвольным образом переставлять слагаемые, а в коммутативных кольцах то же самое верно и для произведений.
К законам днстрибутивности, Если имеет место закон коммутатинности для умножения, то, конечно, закон П 16) является следствием закона П(а). Из П1а) с помощью индукции по и получаем а(Ь,+Ь,+...+Ьа) =аЬ,+аЬ,+...+аЬ„, и, равным образом, из ШПб: (а, +а, +... +а„)Ь = а,Ь+а,Ь+... +а„Ь. Оба эти закона дают прив !чное правило для перемножения сумм: (а,+...+а„)(Ь,+...+Ь ) = ь гь =а,Ь,+...+а,Ь„+...+а,Ь,+...+а„Ь =~ ~ а,Ь„. !=!ь=! Законы дистрибутивности выполняются также и для вычитания; например, а(Ь вЂ” с) = аЬ вЂ” ас, в чем легко убедиться непосредственно: а(Ь вЂ” с)+ас=а(Ь вЂ” с+с) =аЬ. В частности, а О=а(а — а)=а а — а а=О, или: произведение равно нулю, когда равен нулю один из сомножителей.
Обращение этого предложения, как мы увидим позднее на при. мерах, не обязательно верно: может случиться так, что а Ь=О, а~О, Ь~ О. В этом случае элементы а и Ь называют делителями нуля, причем а — левым делителем нуля, а Ь вЂ” правым делителем нуля. (В коммутативиых кольцах оба эти понятия совпадают.) Оказывается удобным и сам нуль считать делителем нуля. Поэтому элемент а называется левым делителем нуля, если существует такой элемент Ь ~ О, что аЬ = О ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
