Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 12
Текст из файла (страница 12)
'! Предполагается. что а кольце есть элементы, отлнчные от нуля. КОЛЬБА, ТЕЛА И ПОЛЯ (гл, гп Если в кольце нет делителей нуля, отличных от самого нуля, т. е. если из аЬ=-О следует, что или а=О, или Ь=О, то говорят о кольце без дели(лелей нуля. Если, кроме того, кольцо коммутативно, то оно называется целостным. П р и м е р ы. Все указанные ранее кольца (кольцо целых чисел, кольцо рациональных чисел и т. д.) являются примерами колец без делителей нуля. Кольцо непрерывных функций на интервале ( — 1, 1) обладает делителями нуля, потому что если положить 1=1(х) = щах (О, х), хт=хг(х)= щах (О, — х), то окажется, что (~О'), дчьО, ф= — О. 3 а д а ч а 1.
Пары целых чисел (аьа,] с операциями (а„а,) + (Ь,, Ьз) = (о, + Ь!, а, + Ь,), (а„ат) (Ь,, Ьа) =(ахЬг, оаЬт) образуют кольцо с делителями нуля. 3 а д а ч а 2. Равенство ах=ад можно сокращать на а, если а не являет- ся левым делителем нуля. (В частности, в целостном кольце можно сокращать на любой элемент а ~ О.) 3 а да ч а 3.
Построить, исходя из произвольной абелевой группы, кольцо, аддитивпая группа которого есть данная группа, а умножение таково, что произведение любых двух элементов равно нулю. Единичный элемент. Если кольцо обладает левым единичным элементом е: ех =х для всех х, и одновременно — правым единичным элементом е': хе'=х для всех х, то оба эти элемента должны быть равны, так как е =- ее' = е'.
Точно так же любой правый единичный элемент равен е и левый единичный элемент тоже. При этих условиях элемент е называют просто единичным элементом или единицей и говорят о кольце с единичным элементом нли о кольце с единицей. Часто единичный элемент обозначают символом 1, если это не приводит к путанице с числом 1. Целые числа образуют кольцо с единицей, а четные числа— кольцо без единицы. Существуют также кольца, в которых есть несколько правых единичных элементов, но ни одного левого или наоборот. ') 1Ф о означает: 1 является функцией, отличной от нуля.
Условие отнюдь не означает, что 1 нигде не обращается в нуль. кольца ф !и Обратный элемент. Если а — произвольный элемент кольца с единицей е, то под левым обратным элементом к а подразумевается элемент а,~', со свойством ад)а = е, а под правым обратны,н — элемент а 1 со свойством аа;„= е. .1 Если элемент а обладает левым обратным и правым обратным элементами, то последние опять совпадают, так как ад) =- ад) (аа~,'~) = (па~а) а<,) = а<,), (аи)л аии (аЬ)а алЬи.
при этом последнее равенство справедливо для коммутативных колец. Если кольцо обладает единицей, а элемент а — обратным, то можно ввести нулевую и отрицательные степени (5 б); при этом равенства (1) остаются верными. Точно так же в аддитивной группе можно ввести кратные и а (=а+а+...+а; л слагаемых); тогда: па+та=(л+т) а, и та=лт а, л (а+ Ь) = па+ лЬ, л аЬ =па Ь= а лЬ. (2) Как и в случае степеней, положим ( — л) а= — ла; тогда равенства (2) окажутся выполненными для всех целых л и т (положительных, отрицательных и нуля).
Вместе с тем выражение л а не следует рассматривать как настоящее произведение двух элементов кольца, потому что л и, следовательно, каждый правый обратный, как и каждый левый обратный для элемента а равны указанному выше элементу. В этом случае говорят: элемент а обладает обратнын элементом, а сам обратный элемент обозначают через а-'.
Степени и кратные, В главе 2 мы уже видели, что на основе закона ассоциативности для каждого элемента а в кольце можно определить степени а" (л — натуральное число) и получить обычные правила действий: 54 (ГЛ. ГП кОльцА, твлА и пОля в общем случае не является элементом кольца, а представляет собой нечто внешнее: целое число. Если, однако, кольцо обладает единицей е, то па можно рассматривать как настоящее произве- дение, а именно: па = и еа = пе . а. 3 а д а ч а 4. Левый (соответственно правый) делитель нуля не обладает левым (соответственно правым) обратным элементом. В частности, нуль не имеет ни правого, ни левого обратного элемента.
Тривиальное исключение; кольцо состоит из одного-единственного элемента О, который одновременно служит единичным элементом и своим обратным (снулевое кольцов). Зада ча 5. Индукцией по л доказать для произвольного коммутативного кольца теорему о биноме: (а .( Ь)а ал 1 ~ ) ал "ьь 1 ~ ил †з + .1 Ьа Ы где ь ~ — целое число (й/ л(л — 1) ... (л — й+Ц л( 1 в °... ° Ь (л — й)1Ы Задач а 6. В кольце из л элементов дли каждого а имеет место равенство л. а=о. (Ср, 4 8, где было доказано равенство а"=е.) Зада ч а у. Если элементы а и Ь лгргстановочиы, т, е, аЬ=Ьа, то а перестановочен с — Ь, лЬ н Ь ь, Если а перестановочсн с Ь и с, то он перестановочен с Ь+с н Ьс. Тело.
Кольцо называется телом, если; а) в нем есть по крайней мере один элемент, отличный от нуля: б) уравнения ь-ь ) (3) еЬ=еах=ах 6. Точно так же устанавливается существование правой единицы и вообще единичного элемента. Из в) следует непосредственно ь) Некоторые авторы называют все тела полями и различают поля кольну. тативныв н нгкоммутативныв. при аФО разрешимы.
Если, кроме того, кольцо коммутативно, то оио называется полем') или рациональным кольцом. Точно так же, как в случае групп (гл. 2), доказывается, что из а) и б) следует в) существование левой единицы е, Действительно, для каждого а ~ О уравнение ха = а разрешимо; обозначим его решение через е. Для произвольного Ь уравнение ах=Ь разрешимо; следовательно, э 1Ц кольцд г) существование левого обратного а-' для каждого аФО и, равным образом, правого обратного; итак, установлено сутцествоеание обратного элемента вообще. Так же как в случае групп, далее доказывается, что, наоборот, из а) и г) следует 6).
Задач а 8. Провести доказательство. В теле нет делителей нуля, потому что из аЬ = О, а ~ 0 с помощью умножения на а-' следует равенство Ь=О. Уравнения (3) разрешимы однозначно, потому что из сущест вования двух решений х, х', скажем, первого уравнения следо. вала бы, что ах = ах' и с помощью умножения на а ' слева х=х'. Решения уравнений (3), естественно, равны х= а-'Ь, у = Ьа-'.
В коммутативном случае а-'Ь =Ьа-', поэтому пишут также Ь/а. Отличные от нуля элементы произвольного тела составляют от чосительно операции умножения группу — мультипликативную группу тела. Таким образом, тело объединяет в себе сразу две группы: мультипликативную и аддитивную. Обе они связаны дистрибутив- ными законами.
П р и м е р ы. 1. Рациональные числа, вещественные числа, комплексные числа образуют поля. 2. Поле из двух элементов 0 и 1 строится следующим образом: эти элементы перемножаются, как числа 0 и 1. Относительно сложения элемент 0 является нулевым элементом: 0+0=0; 0+1=1; 1+0=1; пусть далее 1+1=0. Правило сложения то же, что и в компо- зиции циклической группы с двумя элементами (5 7); тем самым выполнены законы сложения.
Законы умножения также выпол- нены, потому что они выполняются для обычных чисел 0 и 1. Первый закон дистрибутивности доказывается перебором всех воз- можностей: если в требуемое равенство входит нуль, то все три- виально, так что остается рассмотреть лищь случай 1 (1+1) =1 1+1 1, который приводит к справедливому равенству 0 = О. Наконец, уравнение 1 х=а разрешимо при каждом а: решением служит х=а. КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ 1гл. Ци Задача З. Построить поле иэ трех элементов. (Обсудить сначала вопрос о том, какое стрсевие могут иметь мультнпликативная и адаптивная группы поля.) 3 а д а ч а 10, Целостное кольцо с коненпым числом элементов является полем.
(Ср. соответствующую теорему о группах в главе 2, $ 6.) $12. Гомоморфизмы и изоморфизмы Пусть Я и Я вЂ” системы с двойной композицией. Согласно общему определению из 9 !0 отображение гр из Я в Я называется гомоморфизмвм, если соотношения а+Ь=-с и аЬ=д прн этом отображении сохраняются, т. е. если сумма а+ 6 переходит в сумму а+6, а произведение а Ь вЂ” в произведение а 6. Множество Я, являющееся в С образом множества Я, называется в этом случае гомоморфньгм образом множества Я. Если отображение взаимно однозначно, то отображение называют изоморфиэмом в соответствии с нашим общим определением (й 9) н пишут Я тЯ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
