Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Отношением рефлексивно и траизитивно, а так как отображение, обратное к изоморфизму, является нзоморфизмом, это отношение н симметрично. Гомоморфный образ кольца является кольцом. Доказательство. Пусть Я вЂ” кольцо, Я вЂ” система с двойной композицией, а а а — гомоморфное отображение из Я на Я. Мы должны показать, что Я вЂ” снова кольцо. Как и в случае групп (б 10), доказате.чьство проводится следукнцим образом. Пусть а, Ь, с — любые три элемента нз Я; докажем какое-либо из правил вычисления, например, а (6+с) =-йЬ+йс, для чего фиксируем прообразы а, Ь, с элементов й, 6, с. Так как Я— кольцо, выполняется равенство а(Ь+с) =-а6+ас, а в силу гомоморфности отображения а(Ь+с) =аЬ+ас. Точно так же проводится доказательство всех законов ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности.
Для доказательства разрешимости уравнения а+х=-Ь нужно найти прообразы а, 6 и решить уравнение а+я =Ь, откуда в силу гомоморфности получится, что а+х= Ь. Нулю и прогпивоппложному элементу — а элемента а соответствуют при гомомирфиэлге нуль и противоположный элемент иэ кольца Я. Если Я облодае,и единицей, тв еи соответствует единичный элемент в Я. Доказательство такое же, как в случае групп.
Если кольцо Я коммутативно, то коммутативно и Я. Если Я вЂ” целостное кольцо, то Я не обязано быть целостным, как мы увидим позднее; кольцо Я может быть целостным и тогда, когда Я таковым не является. Но если отображение изоморфно, то, конечно, все алгебраические свойства кольца Я переносятся на кольцо Я. Отсюда следует утверждение: 57 ПОСТРОЕНИЕ ЧАСТНЫХ $ 13.
Построение частных Если коммутатнвное кольцо Я вложено в некоторое тело П, то внутри ьл из элементов кольца Я можно строить частные' ). ь — = аЬ-' = Ь 'а (Ь чь 0). Для них имеют место следующие правила: а ь с — тогда и только тогда, когда ай = Ьс; а с аа+Ьс ь+в ьа а с ас ь'в ьв. Для доказательства нужно убедиться в том, что обе части после умножения на Ы дают одно и то же и что из Ьдх=Ыу следует х = у. Таким образом, мы видим, что частные аУЬ составляют некоторое поле Р, которое называется полем частных коммутативного кольца Я. Далее, из правил (1) усматривается, что способ, которым дроби сравниваются, складываются, умножаются, оказывается известным, как только эти операции определяются над элементами кольца Я, т.
е. строение поля частных Р полностью определяется строением кольца Я, или: поля частных изоморфных колец изоморфны. В частности, любые два поля частных одного и того же кольца обязательно изоморфны, или: поле частных Р определяется ') Действительно, из аЬ Ьа следует, что аь ' Ь-'а, если слева и спрввв уииожить ив Ь л, Изоморфный образ целостного кольца (соотвепитвенно поля) является целостным кольцом (состветственно полем). Здесь уместно сформулировать одну почти тривиальную теорему, которая будет важна в дальнейшем: Пусть Я и йб' — два кольца, не имеющие общих элементов; пусть Я' содержит подкольцо Я', изолюрфнсе Я. Тогда существует кольцо Я вЂ” Я', содержащее Я.
Доказательство. Удалим из ео' элементы кольца Я' и заменим их на соответствующие при изоморфизме элементы кольца Я, Суммы и произведения на замененных и оставшихся элементах определим так, как это получается при изоморфном соответствии для исходных элементов в (о'.(Например, если перед заменой элементов выполнялось равенство а'Ь' =с', затем а' заменялся на а, а Ь' и с' оставались неизменными, то мы полагаем аЬ' =с'.) Таким способом из то' возникает кольцо ю' = Я', которое н в самом деле содержит Я. 58 1гл и1 кольца, тела и поля следует, что и поэтому ас(=Ьс, с) =де, ас(1 - Ьс1 = Ьде.
Таким образом, в силу с(~О и коммутативности кольца Я: а(=Ье, (а, Ь) (е, у). Отношение обладает, таким образом, всеми свойствами эквивалентности. В соответствии с 9 5 (гл. 1), эта последняя определяет некоторое разбиение пар (а, Ь) на классы, при котором эквивалентные пары попадают в один класс. Класс, которому при. надлежит пара (а, Ь), будет обозначаться символом а)Ь. Как следствие этого определения равенство а)Ь = с)с( оказывается выполненным тогда и только тогда, когда (а, Ь) -(с, с(), т. е.
когда ад=Ьс. В соответствии с предыдущими формуламн (1) мы определим сумму и произведение новых символов а)Ь равенствами у+ — =— а с ав+Ьс (2) а с ас ь ' в = ьл т) 11ля некоммутатнвных колец беа делителей нуля вта теорема неверна.
Соответствующий пример был впервые построен Мальцевым А. И. (Ма1Ь. Апп., 1936, 113, 3. 686 — 691). кольцом Я однозначно с точностью до изоморфизма, если только вообще данное кольцо обладает полем частных. Зададимся теперь вопросом: какие коммутативные кольца обладают полями частных? Или, что то же самое, — какие коммутативные кольца могут быть погружены в поля? Для того чтобы кольцо Я можно было погрузить в тело, необходимо прежде всего, чтобы в Я не было делителей нуля, потому что в теле делителей нуля нет. В коммутативном случае это условие и достаточно: каждое целостное кольцо Я можно погрузить в некоторое поле '). До к а з а т е л ь с т в о. Мы можем исключить тривиальный случай, когда Я состоит только из нулевого элемента.
Рассмотрим множество всех пар элементов (а, Ь), где Ь~ О. Этим парам позднее мы сопоставим дроби ауЬ. Положим (а, Ь) (с, д), если ас(=Ьс. (Ср. приведенные выше формулы (1).) Определенное таким образом отношение является, очевидно, рефлексивным н симметричным; кроме того, оно и транзитивно, потому что из (а, Ь) (с, с(), (с, д) (е, 1) )гл. гп КОЛЬЦА. ТЕЛА И ПОЛЯ или, так как Ь ныл, Ь'~0, можно осуществить сокращение: в с=с. свЬ, с,Ь,Ь,-)- с,Ь,Ьв свЬ, — + сгьв Ь, соответственно с,Ь, Ь, ЬЬ Ь свЬв схсвЬгЬв свЬв Ьв Ь Ь, Ь, ' Следовательно„дроби — ' — складываются и умножаются так же, сваг Ьг как элементы кольца Я; поэтому они составляют систему, изоморфную кольцу Я.
В силу сказанного мы можем заменить дроби сЬ Ь - — на соответствующие им элементы с 8 12, конец). Тем самым мы получаем требуемый результат: построенное поле содержит кольцо Я. ~ИЕЯ доказали, следовательно, существование поля, содержащего заданное целостное кольцо Я. Построение частных является первым средством построения из данных колец других колеи (в данном случае — полей). Например, именно так из кольца обычных целых чисел У, строится поле Ц рациональных чисел. Задача. Показать, что любое коммутатнвное кольцо З) (с лелнтелячи нли без делителей нуля) может быть погружено в некоторое кольцо частных, состоящее из всевозможных отношений а/Ь, где Ь пробегает все иедглители нуля.
полее общо, элемент Ь может пробегать любое множество ЬЯ неделителей нуля, содержащее вместе с двумя любыми своими элементами Ьв, Ь, и их произведение Ь,ЬИ в этом случае получится некоторое кольцо частных Жщ $ !4. Кольца многочленов Пусть Я вЂ” некоторое кольцо. Иы построим с помо;цью нового, не принадлежащего кольцу Я, символа х выражения вида ) (х) = ~х~ а,х', в которых суммирование ведется по какому-то конечному множеству целочисленных значений индеиса т)0 и «коэффициенты» ат принадлежат кольну И; например, г х) — и те+и т 1 пать Итак, элементам кольца Я взаимно однозначным образом сопоставлены совершенно определенные дроби. Если с,+с,=с, или с,с,=с, в кольце Я, то для произвольных Ь,Ф О, Ь, Ф 0 и Ь, = ЬА это означает, что кольцх многочлвнов с,=а,+Ь„ а в случае умножения с, — ~ а,Ь,. в+ т=-ч (2) С помощью формул (1) и (2) мы определяем сумму и произведение двух многочленов и утверждаем, что: Многочлены образуют кольцо.
Свойства сложения без каких бы то ни было новых доказательств очевидны, потому что они сводятся к свойствам сложения коэффициентов а„ Ь,. Первый закон дистрибутивности следует из равенства а(Ь+с)= ~ч', аЬ+ ~ ас;, в-~-т=ч в+т=т в+т=ч аналогично получается второй закон дистрибутивности.
Наконец, закон ассоциативности умножения получается из того, что а, (' ~ Ьас ) =- ~' а,Ьвст, а+с=~ 1а+т=т / а+ив-У=ъ а„Ьа1 с, = . ~ а,Ьаст. в+т=м~ач-а=в l а+а+э=л Кольцо многочленов, получаемое из Я, обозначается через Я (х). Если Я коммутативно, то коммута~ивно и Я (х). Степенью отличного от нуля многочлена называется наиболь шее число т, для которого а, Ф О.
Элемент а„ с таким макси. мальиым т называется стартам коэ4фицаентом многочлена. Многочлены нулевой степени имеют вид а,х'. Мы отождествляем их с элементами а, основного кольца Я, что вполне дону. стимо, ибо они складываются и умножаюзся точно так же, как элементы основного кольца; благодаря э.ому обстоятельству многочлеиы нулевой степени образуют систему, изотюрфную кольцу Я Такие выражения называются многочленами; символ х называется переменной. Таким образом, переменная — это не что иное, как символ в вычислениях. Два многочлена называются равными, если они содержат одни и те же составляющие слагаемые с точностью до слагаемых с нулевыми коэффициентами, которые могут быть произвольно добавчсны или удалены из выражения для многочлена.
Если по обычным правилам оперирования с буквами сложить или перемножить два многочлена )(х), д(х), рассматривая х как элемент, перестановочный с элементами кольца (ах=ха), а после этого сгруппировать все члены с одинаковыми степенями переменной х, то получится некоторый многочлен,У,'с,х'. В случае сложения ~гл. гп кольцл. талл и поля (ср. й 12, конец). Следовательно, кольцо многочленов И [х) содержит кольцо Я. Переход от Я „ И [х] называется (кольцевым) присоединением переменной х. Если к произвольному кольцу Я последовательно присоединять переменные х„ х„ ..., х„ и строить И [х1][х ] ... [х,), то получится кольцо И [х„ х„ ..., х„), состоящее из всевозможных сумм вида Мы будем считать, что в каждом таком многочлеие допускается любая перестановка сомножителей ххц ..., х"„т Таким образом, кольцо многочленов И [х1] [хв] ...[х„] будет отождествляться с кольцом многочленов, получающимся путем перестановки переменных, например, с И[х,] [х,] ...
[х„]. Это отождествление допустимо, так как перестановка переменных х; не сказывается на определении суммы и произведения, Кольцо И [х„..., х„] называют кольцом многочленов от и переменных х„... ..., х„. В частности, если кольцо И является кольцом целых чисел, то говорят о целочисленных многочленах. Замена переменных на произвольные элементы кольца. Если [(х)=~а,х' — многочлен над Я и а — элемент кольца (самого кольца Я нлн кольца, содержащего Я), перестановочный со всеми элементами из И, то в выражение для [(х) всюду вместо х можно подставить элемент а и получить таким способом значение [(а) = = ~ ',а,а'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
