Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В самом деле, что означает симметрия, скажем, геометрической фигуры? Она означает, что при известных преобразованиях (отражениях, переносах и т. д,) фигура переходит а себя, прп этом заданные соотношения (расстояния, углы, взаимное расположение) сохраняются, или, на нашем языке, фигура допускает автоморфизм относительно своих метрических свойств.
Очевидно, произведение двух автоморфизмов (в смысле произведения преобразований — см. ~ 6) является автоморфизмом и взятие обратного преобразования по отношению к автоморфизму вновь дает автоморфизм. Отсюда следует в силу Ь б, что автоморфизмы произвольного множества (с любыми соотношениями между элементами) образуют группу преобразований — так называемую группу овпюморфиэмов множества. В частности, автоморфизмы группы вновь составляют группу.
Некоторые из этих автоморфизмов мы рассмотрим подробнее. Если а — фиксированный элемент группы, то сопоставление элементу х элемента х =- аха-' является автоморфизмом, потому что, во-первых, равенство (1) разрешимо относительно х; х=а 'ха, и, следовательно, отображение взаимно однозначно, а во-вторых, ху = аха-'. ауа-' = а(ху)а-' =- ху, и, следовательно, отображение изоморфно. Элемент аха-' называют элементом, полученным из х трансформированием с помощью элемента а, а сами элементы х и аха ' называют сопряженными в данной группе. Автоморфизмы группы, порожденные элементами а по правилу х аха-', называются внутренними. Все остальные автоморфизмы (если они существуют) называются внешними. При внутреннем автоморфизме х аха ' произвольная подгруппа 1 переходит в подгруппу айа-', которую называют сопряженной с подгруппой й.
Если подгруппа,) совпадает со всеми своими сопряженными, т. е. а.а ' = й для всех а, (2) 44 !гл и ГРУППЫ то зто означает не что иное, как ее перестановочность со всеми элементами а: а)=йа, айа-': — 8. Но если (3) выполняется для всех а, то оно верно и для а ': (3) а'1)а с=- 5, 5 с= а3а » (4) а из (3) и (4) следует (2). Таким образом: Подгруппа является нормальной, если вместе с каждым элел!ентом Ь она содержит все сопряженные к нему элементы аЬа '. Задача !. Лбелевы группы не имеют внутренних автоморфизмов, отличных от тождественного.
3 ада ч а 2. Доказать, что в группе подстановок элемент аЬо-», трансфор. мнрованный из Ь, можно получить так: разложить Ь в произведение циклов 8 7) и подействовать на символы в этих циклах подстановкой а. С помощью втой теоремы вычислить пЬа » для случая о=(2345), Ь = ( ! 2) (3 4 5). Зада ча 3. Дохазать, что симметрическая группа Сз имеет ровно шесть внутренних автоморфиэмон. В этом случае группа внутренних автоморфизмов нзоморфна самой ~рупие Слз. 3 а д а ч а 4. Симметрическая группа е« имеет, кроме себя самой и единичной подгруппы, лишь следующее нормальные подгруппы; а) знакопеременную группу Я«; б) «четверную группу Клейна» 64, состоящую из подстановок: (1), (! 2) (3 4), (! 3) (2 4), (! 4)(2 3).
1!оследняя группа абелева. Зада ча 5. Если й — нормальная подгруппа в группе 9 н Л «промежуточная группа»: й ~ »д ~ Е то й †нормальн подгруппа н в,б. Задача 6. Все бесконечные циклические группы изоморфны адднтивной группе целых чисел Задач а 7. Отношение сопряженности сил»мстрично, рефлексивно и транзитнвно. Поэтому элементы произвольной группы можно разбить на классы сопрянсенных элементов. или что ц — нормальная подгруппа (3 8). Итак„ Инвариантные относительно всех внутренних автомор(Ьизмов подгруппы являются нормальными.
Этой теоремой объясняется использование другого названия для нормальных подгрупп — «инвариантная подгруппа». Требование (2) можно заменить на более слабое; гомомоэеизмы. ноемкльныа подгнэппы й ! О. Гомоморфизмы, нормальные подгруппы и факторгруппы Если в двух множествах И и Я определены некоторые соотношения (наприме!ь а(Ь нли аЬ =с) и если каждому элементу а из И так сопоставлен элемент о =гра из Я, что все соотношения между элемснтамн в И выполняются и для их образов в Я (например, пз а(Ь следует а(Ь, если рассматривается соотношение (), то гр называется гомоморфизмом или гомоморфным отображением из И в Я. Например, пусть И вЂ” группа и Я вЂ” произвольное множество, в котором определены произведения.
Если сопоставление таково, что произведению аЬ всегда соответствует произведение аЬ, то отображение гр является гомоморфизмом групп. Примерами могут служить определенные выше (взаимно однозначные) изоморфизмы групп. Если отображение гр сюргективно, т. е. каждый элемент из Я является образом по крайней мере одного элемента из И, то говорят о гомоморфизме из И на Я. Гомоморфное отображение множества И в себя называется эндоморфизмом этого множества. При гомоморфном отображении множества И на множество Э11 можно объединить в один класс а те элементы из И, которые имеют один и тот же образ й в Й. При этом окажется, что каждый элемент а будет принадлежать одному и только одному классу,ц т.
е. ьшожество И разобьется на классы, которые взаимно однозначно соответствуют элементам множества !О!. Класс а называется также прообразом элемента а. Примеры. Если сопоставить каждому элемеяту произвольно взятой группы ее единицу, то получится гомоморфизм этой группы на единичную группу. Точно так же получится гомоморфизм, если каждой подстановке произвольно взятой группы подстановок сопоставить число + 1 или число — 1 в зависимости от того, четна эта подстановка или нечетна.
Гомоморфным образом здесь служит мультипликативная группа чисел +1 и — 1. Сопоставим каждому целому числу т степень а" элемента а произвольной группы; тогда получится гомоморфизм аддитивной группы целых чисел в циклическую группу, порожденную элементом а, потому что сумме т + и при этом сопоставляется произведение а"'" =- а а". Если а — элемент бесконечного порядка, то построенный гомоморфизм является изоморфизмом. Рассмотрим отдельно гомоморфизмы групп. Если в множестве Я определены произведения !'т.
е. соотношения вида аб= с) и группа Гб гомоморфно отображается на Й, то и б) является группой. Коротко: гомоморфный образ группы является группой. ГРУППЫ сгл. и Доказательство. Пусть сначала й, 5, с — три элемента из 9, являющиеся образами элементов а, Ь, с из СУ. Из аЬ с=а Ьс следует, что а6 с=а Ьс. '1алее, нз равенства се=а, справедливого при всех а, следует, что для всех а ае=а, и аналогично из Ьа=е (Ь=а-') следует, что Ьа =е.
Таким образом, в Я существует единичный элемент е и обратный элемент для каждого й. Следовательно, 5 — группа. Одновременно мы доказали, что Единичный элемент и обратные элементы при гомоморфизме переходят снова в единичный элемент и обратные элементы. Изучим теперь подробнее разбиение на классы, которое задается гомоморфным отображением СУ вЂ” 1-Е. При этом мы установим очень важное взаимно однозначное соответствие между гомоморфизмами и норлсальными подгруппами. Класс с группы 9, который при гомоморфиэме СИ- Й переходит в единичный элемент е группы ОУ, является нормальной подгруппой в Е; остальные классы являются смежными классами по этой нормальной подгруппе. Д о к а з а т е л ь с т в о, Сначала покажем, что с — подгруппа.
Пусть а и Ь переходят при гомоморфизме в е; тогда аЬ снова переходит в е'=е, так что с содержит произведение двух любых своих элементов. Далее, элемент а-' переходит также в й'=е, и класс с содержит элементы, обратные ко всем своим элементам. Все элементы произвольно взятого левого смежного класса ас переходят в элемент йе =а. Если, наоборот, элемент а' переходит в элемент а, то определим х из уравнения ах=а'. Получается, что ах=а, Х=е. Следовательно, элемент х лежит в классе с, а элемент а' принад- лежит классу ас, Поэтому класс группы Ж, который соответствует элементу а, является левым смежным классом ас.
47 ГомомОРФпзмы. ногмлльныа подггуппы 4 |О| Но точно так же можно показать, что класс, который соответствует элементу о, должен быть правым смежным классом еа. Таким образом, налицо совпадение правых и левых смежных классов: ае =еа, н класс е — нормальная подгруппа. Утверждение полностью доказано. Нормальная подгруппа е, элементы которой переходят при гомоморфизме в единичный элемент е, называется ядром гомоморфиэма. Обратим теперь постановку вопроса: пусть задана произвольная нормальная подгруппа 9 группы |э.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
