Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

В силу этого определения мы можем в дальнейшем писать вместо а также а+1. Имеют место следующие правила: ') «Число» будет означать пока «натуральиое число». з) доказательство этого и всех остальных предложений данного пара~ рафа читатель найдет в книге: Ландау Э. Основы анализа. Мл ИЛ, !950, гл. !. а з) нлтяндльныя пяд (3) (а+Ь)+с=а+(Ь+с) («Закон ассоциативности сложения»), (4) а+Ь=Ь+а («Закон коммутативности сложения»), (5) Из а+Ь=а+с следует Ь=с. Произведение двух чисел. Каждой паре чисел х, у можно единственным образом сопоставить натуральное число, обозначаемое через х у или через ху, так, чтобы выполнялись следующие условия: (6) х !=х, (7) х у'=х у+х для каждого х и для каждого у.

Имеют место правила: (8) аЬ.с=а Ьс («Закон ассоциативности умножения»). (9) а Ь=Ь а («Закон коммутативности умножения»). (1О) а (Ь+с) =а. Ь+а с («Закон дистрибутивности»). (11) Из аЬ =ас следует Ь= с. Больше и меньше. Если а=Ь+и, то пишут а) Ь или Ь(а. Доказывается, что: (12) Для любых двух чисел а, Ь имеет место одно и только одно из соотношений: а Ь, а=5, а) Ь. (13) Из а(Ь и Ь(с следует а(с. (14) Из а( Ь следует а+с( Ь+с.

(15) Из а(Ь следует ас(Ьс. Решение и уравнения а = Ь + и (единственное в силу (5)) в случае а Ь обозначается через а — Ь. Вместо «а Ь или а=-Ь» пишут кратко а== Ь. Соответствующим образом объясняется запись а= Ь. Далее, имеет место следующая важная теорема: Каждое непустсе множество натуральных чисел содержит наимень.иее число, т. е. такое число, которое меньше всех осталь.

ных чисел множества. На этой теореме основана вторая форма индукции. Для того чтобы доказать, что некоторым свойством Е обладают все числа, доказывают, что им обладает произвольное число и, предполагая «по индукции», что оно выполнено для всех чисел, меньших и. (В частности, этим свойством обладает число и=1, так как нет чисел, меньших единицы; следовательно, здесь предположение индукции отпадает'). Доказательство по индукции должно, конечно, быть построено так, чтобы оно охватывало и случай п =- 1, ') Высказывание «Все А обладаю» свойством Е» будет считаться нетканым, даже если никаких А нет вообще.

Аналогично высказывание «Из Е следует Е» (где Е н Š— некоторые свойства, которыми могут обладать нлн не обладать известные объекты х) рассматривается как истинное, если нн одна нз объектов х не обладает свойством Е. Все зто находится в соответствии со сделанным замечанием, согласно которому пустое множество содержится в каждом множестве.

Целесообразность такого словоупотребления (в разговорной речи, вероятно, необычного) следует нз того, что только прв нем высказывание «Из Е следует Е» без нсключеннй переводнтсн в «Из не Е следует не Е». числа и множества 1гл 1 иначе оно недостаточно.) Тогда свойством Е обладают все числа. Действительно, в противном случае множество чисел, не обладающих свойством Е, было бы непустым и если п — наименьшее число в этом множестве, то получилось бы, что все числа, меньшие и, обладают свойством Е, что противоречит доказанному. Наряду с «доказателъством методом индукции» в обеих ее формах существует «определение (или построение) методом индукции». Допустим, что мы хотим сопоставить каждому натуральному числу х некоторый новый объект ф(х) и при этом заранее задана «система рекуррентных определяющих соотношений», которые связывают значение ф (и) с предшествующими значениями ф (т) (т - и), Предполагается, что эти соотношения единственным образом определяют ф(п), как только задаются все ф(т) при п«(п, которые уже удовлетворяют заданным соотношениям ').

Простейший случай состоит в следующем: для т =-п' значение ф (пе) выражается через ф(п), а для т= 1 значение ф(1) задается непосредственно. Примерами служат соотношения (1), (2), соответственно (6), (7), с помощью которых выше были определены сумма и произведение. Мы утверждаем теперь: при сделанных првдполозкениях существует одна и только одна функция ф(х), значения которой удовлетворяют заданным соотношениям. Доказательство. Под отрезком (1, п) натурального ряда мы подразумеваем совокупность всех натуральных чисел, не превосходящих и. Прежде всего мы утверждаем: на каждом отрезке (1, и) существует одна и только одна функция ф„(х), определенная на числах х этого отрезка, которая удовлетворяет заданным соотношениям. Это утверждение верно для отрезка (1, 1), а также для любого отрезка (1, и") при условии, что оно верно для отрезка (1, и), потому что благодаря рекуррентным соотношениям значение гр(1) и значения гр(т) = ф„(т) (т =-" и) однозначно определяют значение ф(п').

Таким образом, утверждение верно для каждого отрезка (1, и). Мы получаем, следовательно, ряд функций ф„(х), Каждая функция ф„(х) определена на (1, и) и, равным образом, на каждом меньшем отрезке (1, т); но там она также удовлетворяет определяющим соотношениям и потому совпадает с функцией ф«г (х). Следовательно, любые две функции гр„(х), ф (х) совпадают для тех значений х, на которых они одновременно определены.

Искомая же функция гр(х) должна быть определена на всех отрезках (1, и) и вместе с тем удовлетворять определяющим соотношениям, т. е. совпадать с функциями ф„. Такая функция ф существует и притом только одна: ее значение ф (х) является об- х) Это предположение включает в себя и допущение, согласно которому ф(1) определяется с ам ими соотношениями, потому что нет чисел, предшествующих единице. 23 нлтхохльныи ояд щим значением всех функций ~р„(х), которые определены для числа х, Тем самым теорема доказана. Мы очень часто будем пользоваться «построением методом индукцииа.

3 а да ч а 1. Пусть свойство Е имеет место, во-первых, для л=з, а вовторых, имея место для числа л ха 3, оно имеет место и для и+1. Доказать, что свойство Е имеет место для всех чисел 3 Присоединяя символы — а (отрицательные целые числа) и О, можно расширить натуральный ряд до области целых чисел. Чтобы было удобнее распространить смысл символов +,, ( на эту область, целесообразно представить целые числа парами натураль- ных чисел следующим образом: натуральное число а — парой (а+ 5„Ь), нуль — парой (Ь, Ь), отрицательное число — а — парой (Ь, а+Ь), где всюду Ь вЂ” про- извольное натуральное число. Каждое число может быть представлено многими символами (а, Ь), но каждый символ (а, Ь) определяет одно и только одно целое число, а именно: натуральное число а — Ь, если а)Ь, число О, если а=-Ь, отрицательное число — (Ь вЂ” а), если а(Ь.

Определим: (а, Ь)+(с, г() =(а+с, Ь+г(), (а, Ь) (с, г() =(ас+Ьг(, ас(+Ьс), (а, Ь) ((с, с() или (с, д) ) (а, Ь), если а-(-с((Ь+с, Без труда проверяется; во-первых, эти определения не зависят от выбора символов в левой части, — нужно лишь, чтобы числа были одни и те же; в о- в то р ы х, выполняются правила (3), (4), (5), (8), (9), (! 0), (12), (13), (14), а также (15) для с ) 0; в - т р е т ь и х, в расширенной области уравнение а+х=Ь всегда имеет решение н притом единственное (рсшеиис снова будет обозначаться через Ь вЂ” а); в-четвертых, аЬ=О тогда и только тогда, когда а=О или Ь=О'). 3 а д а ч а 2, Провести доказательство. 3 а да ч а 3. То же, что в задаче 1, но с заменой часла 3 на число О.

Из элементарных свойств целых чисел мы привели здесь лишь те, что важны для дальнейшего. По поводу определения дробей, а также свойств делимости целых чисел см. главу 3. '1 По поводу несколько иного введения отрипательных чисел и нуля см Л а нда у Э. Основы анализа.-Мл ИЛ, 1950, гл. 4. 24 числа и множества й 4. Конечные и счетные множества Множество, равномощное с отрезком натурального ряда (т. е.

с множеством натуральных чисел, не превосходящих некоторого числа и), называется конечным. Пустое множество также называется конечным. Проще говоря, множество называется конечным, если его элементы можно занумеровать натуральными числами от 1 до и так, чтобы различные элементы имели различные номера и чтобы все номера от 1 до и были использованы. В соответствии с этим элементы конечного множества А можно обозначить через а„ ..., а„: А = (ам ..., а„). Задача 1.

С помощью метода нндукпнн по и доказать, что всякое подмножество конечного множества А=(а,,..., а„) конечно. Каждое множество, не являющееся конечным, называется бесконечным, Например, множество всех целых чисел, как это сейчас будет показано, бесконечно. Основная теорема о конечных множествах гласит: Каждое конечное множество не может быть равномощно с каким-либо собственным объемлющим множеством.

Доказательство. Пусть, вопреки утверждению теоремы, существует некоторое отображение конечного множества А на его собственное надмножество В. Пусть элементы множества А обозначены через а„..., а„, а их образы — через гр(а,), ..., <р(а„). Среди последних содержатся все элементы а„..., а„и, кроме того, еще по крайней мере один элемент, который мы обозначим через аа и Для и = 1 противоречие очевидно: единственный элемент а, не может иметь два различных образа а,„а,. Невозможность существования отображения гр с указанными выше свойствами будем считать доказанной для и — 1; докажем ее теперь дня и.

Можно считать, что гр(а„) = а„„потому что если это не так, т. е. пз [а„) = а' (а' ~е а„„), то а„~, имеет другой прообраз а;: гр (а;) =а„„, и вместо отображения сп можно построить другое, сопоставляющее элементу а„ элемент аа„и элементу а; элемент а', а в остальном совпадающее с гр. Подмножество А' = (аь ..., а,,) отображается функцией <р на некоторое множество р(А'), которое получается из гр(А) =В отбрасыванием элемента ~р(а„) =а„,.

КОНЕЧНЫЕ Н СЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА Множество 4р(А') содержит а„ ..., а„ и, следовательно, является собственным надмножеством множества А' и вместе с тем его взаимно однозначным образом. В силу предположения индукции это невозможно. Из этой теоремы прежде всего следует, что множество никогда не может быть равномощно с двумя различными отрезками натурального ряда, потому что в противном случае эти отрезки были бы равномощиы и при этом обязательно один из ннх содержался бы в другом. Таким образом, любое конечное множество А равномощно с одним и только одним отрезком (1, и) натурального ряда.

Характеристики

Список файлов книги