Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Однозначно определяемое таким способом число п называется числом элементов множества А; оно может служить мерой мощности в этом случае. Во-вторых, из теоремы следует, что произвольный отрезок натурального ряда неравномощен со всем натуральным рядом.

Таким образом, ряд натуральных чисел бесконечен. Множество, равномощное с множеством натуральных чисел, называется счетно бесконечным. Элементы счетно бесконечного множества могут быть перенумерованы так, что любое натуральное число появится в качестве номера ровно один раз. Конечные и счетно бесконечные множества объединяются названием счетные множества. Зада ча 2. Доказать, что число элементов объединения двух непересекающихся конечных множеств равно сумме чисел элементов объединяемых множеств. (Индукция с помощью рекуррентных формул ((), (2) из й 3.) 3 а д а ч а 3.

Доказать, что число элементов в г попарно непересекающихся множествах из з элементов равно гз. (Индукция с помощью рекуррентных формул (6), (7) из 43.) Задач а 4. Доказать, что каждое подмножество натурального ряда счет. но. Вывести отсюда: множество счетно тогда и только тогда, ногда его эле.

менты можно перенумеровать так, чтобы различным элементам соответствовали различные номера. Пример несчетного множества. Множество всех счетно бесконечных последовательностей натуральных чисел несчетно. То, что оно не является конечным„проверить легко. Если бы оно было счетно бесконечным, то каждая последовательность обладала бы некоторым номером, и каждому номеру 4 соответствовала бы последовательность вида а;„ам " Построим последовательность чисел ага+1, а„+1, Она также должна иметь некоторый номер, скажем, номер 1. Тогда и„=а„,+1; ауа —— а„+1 и т.

д.; числА и множества в частности, аы — — азу+ 1; получили противоречие. 3 а д а ч а 5. Доказать, что множество г;елых чисел (г. е. множество, состоящее из всех иоложительиых и страдательных чисел и нуля) счетно бесконечно. Точно так же счезно бесконечно множество четных чисел, Задач а б. Доказать, что мощность счетно бесконечного множества не меняется при добавлении к этому множеству конечного или счетно бесконечного множества элементов. Объединение счетного множества счеглных множеств снова является счетным. Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим данные множества через М„М„..., а элементы множества М; — через т;ы т„м ...

Существует лишь конечное число элементов т,», для которых (+й =2; аналогично, существует лишь конечное число элементов тоо для которых г'+я =3, и т. д. Переиумеруем сначала все элементы, для которых 1+1 = 2 (например, по возрастающим значениям г), затем (с помощью последующих чисел) — элементы, для которых (+Ь= 3, и т. д. При этом каждый элемент т,» получит некоторый номер и различные элементы будут иметь различные номера. Отсюда следует утверждение.

й 5. Разбиение на классы Знак равенства удовлетворяет следующим условиям: а=а; из а=Ь следует Ь=а; из а=Ь и Ь=с следует а=с. То же самое выражается следующими словами: отношение а = Ь рефлексивно, симметрично и транэигяивно. Если между элементами произвольного множества определено отношение а Ь (т. е. для любой пары элементов а, Ь либо имеет место а Ь, либо нет), под- чиненное аксиомам: 1)а а, 2) из а -Ь следует Ь а, З)иза ЬиЬ сследуета с, то оно называется отношением эквивалентности.

Пример. В области целых чисел назовем два числа эквива- лентными, если их разность делится на 2. Очевидно, аксиомы выполняются. Если задано какое-либо отношение эквивалентности, то мы можем объединить все элементы, эквивалентные данному элементу а, в один класс К„. Элементы в таком классе попарно эквивалентны, так как из а Ь и а с в силу аксиом 2) и 3) следует Ь с. Кроме того, все элементы, эквивалентные какому-либо элементу произвольно фиксированного класса, принадлежат этому классу, РАЗБИЕНИЕ НА КЛАССЫ 27 так как из а Ь и Ь вЂ” с следует а с. Таким образом, класс задается каждым своим элементом: если вместо а выбрать другой элемент Ь того же самого класса, то получится, что К,=Кь. Следовательно, мы можем выбрать каждый элемент Ь в качестве представителя данного класса.

Если же мы начнем построение с такого элемента Ь, который ие принадлежит рассматриваемому классу ~т. е, не эквивалентен элементу а), то придем к классу Кь, у которого нет общих элементов с классом К,; в противном случае имели бы с а и с Ь, откуда следоиало бы а Ь и Ь ен К,. В этом случае классы К, и Кь не пересекаются.

Классы эквивалентности целиком покрывают данное множество, потому что каждый элемент а принадлежит некоторому классу, а именно — классу К„. Таким образом, множество распадается на попарно непересекающиеся классы. В нашем последнем примере это класс четных и класс нечетных чисел. Как мы видели, К,= Кь тогда и только тогда, когда а Ь. Вводя классы эквивалентности вместо элементов, мы можем отношение эквивалентности а Ь заменить отношением равенства К =Кь. Обратно, если задано разбиение множества на попарно непересекающиеся классы, то мы можем положить по определению: а — Ь, если а и Ь лежат в одном классе. Очевидно, такое отношение удовлетворяет аксиомам 1), 2), 3).

Глава вторая ГРУППЫ Соде р ж а н и е Объяснение основополагающих для всей книги важнейших теоретико-групповых понятий: группы, подгруппы, изоморфизма, гомоморфизма, нормально» подгруппы, факторгруппы. й 6. Понятие группы О п р е д е л е н и е. Непустое множество Су элементов произвольной природы (например, чисел, отображений, преобразований) называется группой, если выполняются четыре следующих условия. 1. Задан закон композиции, который каждой паре элементов а, Ь из Гй сопоставляет третий элемент этого же множества, называемый, как правило, произведением элементов а и Ь и обозначаемый через аЬ или через а Ь. (Произведение может зависеть от порядка следования сомножителей: не обязательно аЬ =: Ьа.) 2.

Закон ассоциативности. Для любых трех элементов а, Ь, с из Е имеет место равенство аЬ.с=а Ьс. 3. В э) существует (левая) единица е, т. е. элемент е, выделяемый следующим свойством: еа=а для всех а из (!). 4. Для каждого элемента а из 9 существует (по крайней мере) один (левый) обратный элемент а ' в 9, определяемый свойством: а'а=в. Группа называется абвлевой, если, кроме того, оказывается выполненным тождество аЬ =-Ьа (заксн коммутативнссти). П р и м е р ы. Если элементами рассматриваемого множества являются числа, а законом композиции служит обычное умножение, то для того, чтобы получить группу, прежде всего следует исключить нуль, потому что у него нет обратного элемента; все рациональные числа, отличные от нуля, уже образуют группу (единичным элементом является число 1).

Точно так же образуют группу числа — 1 и 1, а также число 1 само по себе. Аддитивные группы. В определение понятия группы обозначение операции через а Ь не входит: операцией может служить 29 ПОНЯТИЕ ГРУППЫ и сложение, например, обычное сложение целых чисел или векторов. В этом случае в аксиомах 1 — 4 следует всюду вместо «произведение а Ь» читать «сумма а+Ьж Группа Гп' называется тогда аддитивной группой или модулем. Вместо единичного элемента е здесь фигурирует нулевой элемент О со свойством О+а=а для всех а из Ю, а вместо обратного элемента а ' — элемент — а со свойством †а+а. Обычно предполагают, что сложение — коммутативная операция, т. е.

а+Ь=Ь+а. Вместо а+( — Ь) пишут кратко а — Ь. В этих обозначениях (а — Ь) + Ь = а+ ( — Ь + Ь) = а + О = а. П р и м е р ы. Пелые числа образуют модуль; четные числа тоже. Подстановки. Под подстановкой множества М мы подразумеваем взаимно однозначное отображение этого множества на себя, т. е. сопоставление и каждому элементу а из М некоторого образа з (а), причем каждый элемент из М являегся образом в точности одного элемента а. Элемент и (а) обозначают также через за. В случае бесконечных множеств М подстановки называют также преобразованиями, но слово «преобразование» в дальнейше»1 у нас будет использоваться как синоним слова «отображение».

Если множество М конечно и его элементы занумерованы числами 1, 2, ..., и, то каждую подстановку можно полностью описать схемой, в которой под каждым номером й указывается номер з(Ф) элемента, являющегося образом элемента с номером й. Например, схема (2 4 3 !) изображает подстановку цифр 1, 2, 3, 4, в которой 1 переходит в 2, 2 переходит в 4, 3 переходит в 3 и 4 переходит в 1. Под произведением з! двух подстановок з и ! понимается подстановка, которую мы получаем, осуществляя сначала подстановку й а затем применяя к результату подстановку 3'), т. е.

Характеристики

Список файлов книги