Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 7
Текст из файла (страница 7)
в! (а) = 3 (! (а)). /1 2 3 41 /! 2 3 41 Р Р' (2 4 " 1) (2 1 4 3) ') Порядон следования сомножителей — дело соглашения, У других авто. роа »Г обозначает иногда «сначала з, патом Г», ГРУППЫ )гл. и Закон ассоциативности (гз) (=г(з() в общем случае произвольных отображений можно доказать так: применим обв части к произвольному объекту а; тогда (гз) ( (а) = (гз) (г (а)) = г (з (г (а))), г (з() (а) = г (а( (а)) = г (з (г (а) )), т. е. в обоих случаях получается одно и то же. Тождественной или единичной подстановкой является такое отображение г', которое каждый объект переводит в себя самого: ! (а) =а. Тождественная подстановка обладает, очевидно„характерным свойством единичного элемента группы: для каждой подстановки з имеет место равенство гз=а.
Вместо 7 иногда пишут также 1. Подстановкой, обратной к подстановке з, является такая подстановка, которая переводит з (а) в а, тогда как з действует наоборот. Если ее обозначить через з ', то можно будет записать равенство з тд(а) =а, а также равенство з 'з=(. Зада ча К Непустсе множество С|) преобразований некоторого мполгества М является группой, если: а) вместе с двумя любыми преобразованиями оно содержит нх произведение а б) вместе с каждым преобразованием содержит обратное к нему.
3 а д а ч а 2. Повороты плоскости вокруг фиксированной точки Р образуют абелеву группу. Но если к этому добавить еще и отражения относительно всех прямых, проходящих через точку Р, то получится уже пеабелева группа. Зада ч а 3. Доказать, что элементы е, а с законом композиции ее=а, за=а, аз=а, аа=е образуют (абелеву) группу. 3 а м е ч а н не.
Закон композиции в группе можно представить с помощью «групиавой таблицы»; ею служит таблица с двумя вхолами, в которую заносится произведение каждых двух элементов. Например, таблица для приведенной выше группы следующая: ~е а а)а е 3 а да ч а 4, Составить таблицу для группы подстановок трех шсел, Из доказанного следует, что аксиомы 1 — 4 выполнены для совокупности подстановок произвольного множества М. Следовательно, эти подстановки образуют группу. Для конечного мно. понятие ГРуппы ч 6! жества М из и элементов группу подстановок называют также симметрической группой и обозначают через Я„').
Вернемся теперь к обшей теории групп. Вместо аЬ с или а. Ьс пишут кратко аЬс, Из аксиом 3 и 4 следует, что а-'аа-' =еа-' =а-', таким образом, если умножить последнее равенство слева на элемент, обратный к а ', то получится еаа-' = е или аа-' = е; иными словами, каждый левый обратный элемент является и правым обратным. Таким же способом устанавливается, что обратным к а-' служит а. Далее: ае=аа-'а =во=а, т. е.
каждая левая единица является и правой единицей. Отсюда следует возможность (двустороннего) деления: 5. Уравнение ах=Ь обладает решением в группе И, как и уравнение уа=Ь, где а и Ь вЂ” произвольные элементы из Ж А именно, этими решениями служат х =а-зЬ и у =Ьа-', так как а(а-'Ь) =(аа-') Ь =еЬ =Ь, (Ьа-')а=Ь(а-'а) =Ье=Ь. Столь же просто доказывается и однозначность деления: 6.
Из ах=ах' и из ха=х'а следует, что х=х'. Умножая обе части равенства ах=ах' на а-', получаем х=х'. Точно так же доказывается вторая часть утверждения. В частности, отсюда следует единственность единичного элемента (как решения уравнения ха=а) и единственность обратного элемента (как решения уравнения ха=е). Единичный элемент часто будет обозначаться через 1.
Возможность деления, указанная в утверждении 5, в качестве аксиомы может заменить аксиомы 3 и 4. Действительно, предположим, что 1, 2 и 5 выполнены и попробуем сначала доказать 3. Выберем произвольный элемент с и будем подразумевать под е решение уравнения хс = с. Тогда ее=с. '1 Это название выбрано н соответствии с тем, что функции от хь ..., к„, остающиеся иннариантныын при действии подстанонок рассматриваемой группй, являются «симметрическими функциямиь 32 ГРУППЫ !ГЛ. 11 Для произвольного же а решим уравнение сх= а. Тогда еа = есх = сх = а, откуда следует 3.
Аксиома 4 является непосредственным следствием разрешимости уравнения ха=е. В соответствии с этим мы можем вместо 1, 2, 3, 4 равным образом использовать 1, 2 и 5 как аксиомы группы. Если Я вЂ” конечное множество, то условие 5 можно вывести из условия 6. Для этого нужно использовать не возможность деления, а (кроме аксиом ! и 2) лишь его однозначность. Доказательство. Пусть а — произвольный элемент. Сопоставим каждому элементу х элемент ах. Согласно условию 6 это сопоставление однозначно обратимо, т.
е. оно взаимно однозначно отображает множество Е на некоторое подмножество произведений ах. Поскольку Ж конечно, оно не люжет взаимно однозначно отображаться на собственное подмножество. Поэтому совокупность элементов ах должна совпадать с Я, а это означает, что каждый элемент Ь записывается в виде Ь = ах, как утверждает первое нз условий в 5. Точно так же доказывается разрешимость уравнений Ь = ха.
Таким образом, 5 следует из 6. Число элементов конечной группы называется ее порядком. Дальнейшие правила оперирования. Для элемента, обратного к произведению, имеет место равенство: (аЬ) -' = Ь-'а-'. Действительно, (Ь-'а-') аЬ =Ь-'(а 'ай) =Ьлй =е. Сложные произведения н суммы. Степени.
Подобно тому как вместо аЬ с мы стали кратко записывать аЬс„введем сложные произведения многих сомножителей л л П а = П а, = а„а ... ал. 1 Пусть даны а» ..., ан', определим по индукции (для п(А!)! ! Пал=ам 1 л+! ! л П ., -(П .,) .... ! 1 1 г) Симзол ч, обозначающий переменный индекс, можно, конечно, заменить иа любой другой, ие меняя значения произведения, зз ПОНЯТИЕ ГРУППЫ 3 В частности, Ц а, — это наше =. а,авала,=(аГа,ал) а, и т. д. Докажем, используя лишь один дующее правило: прежнее а,а,а„а Ц а„- ! закон ассоциативности, сле- (ад) (сй) = аЬса является частным случаем равенства (1).
Формула (1) очевидна при п= 1 (по определению символа Ц). Если она уже доказана для некоторого значения и, то для следующего значения п+1 имеем: т л+! т / л П"' П~-= Пъ !П -.'- )- ! ! /т л /т+л т+л+! =!(Ц ал'ЦатГ~1а~+ Ы=~Цар,а ! +д= Ц ал ! ! ! Тем самым доказано (1). л т+и Замечание. Вместо Ца „, пишут также Ц а,.
Кроме того, т+! о в отдельных случаях, если это удобно, пишут Ца,=е. ! Произведение и одинаковых сомножителей называется степенью: ал=Ца (в частности, а'=а, а'=аа и т. д.) ! Из доказанной теоремы следует, что аи. ат — аллт (2) Далее (ат)л атл (3) Доказательство (с помощью индукции) оставляется читателю. Для доказательства появлявшихся до сих пор правил (1), (2) и (3) требовался лишь закон ассоциативности; поэтому они будут выполнены всякий раз, когда в рассматриваемой области определены произведения и справедлив закон ассоциативности (например, в области натуральных чисел), даже если эта область не является группой.
т л т+л Ц" Ц - -Ц (1) Р=! У=! У=! Словами: произведение двух сложных произведений является сложным произведением всех участвующих сомножителей в их прежнем порядке. Например, ГРУППЫ (гл и Если умножение, кроме того, и коммутативно (случай абелевой группы), то можно доказать большее: значение сложного произведения не зависит от порядка следования сомножителей.
Точнее: если !р — вэаилено однозначное отображение отрезка (1, и) натурального ряда на себя, то л л П. =П' ч 1 1 Доказательство. Для и=1 утверждение очевидно. Поэтому будем предполагать его справедливым и для и — 1. Пусть число й отображается на и: Гр(я) =и. Тогда л Ь вЂ” 1 л — е а-1 л — ь П..-П~~» л П. =(П.~. П.-) '1 1 1 1 Заключенное в скобки произведение содержит лишь сомножители а„..., ал, в произвольном порядке. По предположению л — 1 индукции это выражение равно Да,. Поэтому 1 л л-1 л Па .
= П . а.=Па' 1 1 1 Из доказанного правила следует, что в абелевых группах законна запись вида Ц а1, 1<!(Е~л или П а!а (1=1, ..., и; 1=1, ..., и), !се означающая, что множество пар индексов 1, я, подчиненных усло- вию 1(!(й =.и, перенумеровано каким-нибудь (безразлично, каким) способом, а затем образовано произведение. В произвольной группе обычным способом определяются нуле- вая и отрицательная степени любого элемента а: ао а-л (а-1)л и без труда показывается, что правила (2), (3) выполняются для любых целочисленных показателей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
