Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Итогом этого периода становления явилось первое издание настоящей книги, вышедшее в 1931 году. Хотя с тех пор передний край алгебраических исследований продвинулся далеко, книга и сейчас выглядит свежо и современно, — правда, уже не как свод новейших результатов и понятий, а как отличный учебник основ алгебры. Эволюция книги от издания к изданию хорошо отражена в предисловиях автора.
Сознание того, что предметом алгебры являются множества с заданными на них алгебраическими операциями, а точнее— сами операции, утвердилось полвека назад, однако систематическому изучению долгое время подвергались лишь немногие типы таких множеств, унаследованные от алгебры Х1Х века,— группы, кольца, векторные пространства. Этим классическим системам и посвящена в основном книга ван дер Вардена. Дальнейший прогресс в алгебре наметился в середине 30-х годов, когда Биркгоф начал изучение произвольных универсальных алгебр, а А. И. Мальцев заложил основы еще более общей теории, пограничной с математяческой логикой, — теории алгебраических систем.
Развитие этой теории было вызвано глубокими внутренними причинами н настоятельными запросами приложений, в которых все чаще возникали алгебраические системы, не сводящиеся к классическим. Указанные более поздние исследования т) остались за рамками книги. Новосибирск, Академгородок. 10 марта 197о г. Ю. О. Мерзляков г) См. Мальцев А. И. Алгебраические системы.— Мо Наука, 1970. ИЗ ПРЕДИСЛОВИЙ АВТОРА ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ ПЕРВОГО ТОМА ') Во втором издании была существенно расширена теория норлзирований. В последнее время она становится все более важной для теории чисел и алгебраической геометрии.
Поэтому здесь я изложил главу «Теория нормирований» гораздо подробнее и яснее. Отвечая многочисленным пожеланиям, я вновь включил разделы о полном порядке и трансфинитной индукции, опущенные во втором издании, и на этой основе изложил во всей общности разработанную Штейницем теорию полей. Благодаря совету Зарисского понятие многочлена удалось ввести легко и ясно. Кроме того, благодаря любезному замечанию Переманса улучшено изложение теории норм и следов.
Парен (Северная Голландия), июль 1950. В. Л, вам дер Варден ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ ПЕРВОГО ТОМА Недавно скоропостижно скончавшийся алгебраист и теоретико-числовик Бранд закончил рецензию третьего издания этой книги в годовом отчете немецкого математического общества (том 55) следующими словами: «Что касается названия'), то я бы приветствовал выбор для четвертого издания более простого, но и более сильного заго- ») В переводе два тома немецкого оригинала объадияены в один. Перевод выполнен с 8-го издания цервого тома (главы 1 — 1!) н б-го издания второго тома (главы 12 — 20).
— Прим. ред. >) В первых изданиях книга называлась «Современная алгебра>. †Пр, р«д ИЗ ПРЕДИСЛОВИЙ АВТОР« ловка — «Алгебра». Книга, которая так много дала, дает и будет давать лучшей части математики, не должна своим названием вызывать подозрение, будто бы она посвящена одному какому-то современному течению, которое еще не было известно вчера, а завтра, возможно, будет забыто». Следуя этому совету, я изменил заголовок книги на «Алгебра». Указанию М.
Дойринга я обязан более целенаправленным определением понятия «гиперкомплексная система» и расширением теории Галуа полей деления круга настолько, насколько этого требует ее приложение к теории циклических полей, На основании писем из различных стран внесены многочисленные мелкие исправления. Благодарю авторов этих писем. Б. Л.
ван дер Варден Цюрих, карт 1955. ПРЕДИСЛОВИЕ К СЕДЬМОМУ ИЗДАНИЮ ПЕРВОГО ТОМА Первое издание задумывалось как введение в новую абстрактную алгебру; разделы классической алгебры, в частности, теория определителей, предполагались известными.
Но сегодня эта книга используется студентами в основном как первое введение в алгебру. Поэтому оказалось необходимым ввести главу «Векторные и тензорные пространства», в которой подробно обсуждаются основные понятия линейной алгебры и, в частности, понятие определителя. Первая глава «Числа и множества» была облегчена тем, что понятие порядка и полного порядка были перенесены в новую девятую главу. Лемма Цорна выводится непосредственно из аксиомы выбора.
Тем же методом (по Х. Кнезеру) проводится доказательство теоремы о полном упорядочении. В разделе о теории Галуа были использованы некоторые иден из известной книги Артина. Пробел в одном доказательстве в теории циклических полей, на который мне многие указывали, ликвидирован в 9 61.
В 9 67 доказывается существование нормального базиса. Первый том теперь заканчивается главой «Вещественные поля». Теория нормирований должна быть представлена во втором томе. Б. Л. ван дер Варден Цюрих, февраль !966. 12 ИЗ ПРВДИСЛОВИН АВТОРА ПРЕДИСЛОВИЕ К ВОСЬМОМУ ИЗДАНИЮ ПЕРВОГО ТОМА В предлагаемом издании исправлено несколько опечаток, на которые я обратил внимание благодаря любезным письмам. Все прочее осталось неизменным. Б, Л. ван дер Варден Цюрих, апрель 1971. ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ ВТОРОГО ТОМА В начало второго тома вошли две новые главы: первая — об алгебраических функциях одной переменной, охватывающая материал вплоть до теоремы Римана — Роха для полей с произвольным полем констант; другая — о топологической алгебре, посвященная в основном пополнению топологических групп, колец и тел.
Я благодарю за многочисленные полезные замечания профессора Г. Р. Фишера, прочитавшего эти две главы в рукописи. Глава «Общая теория идеалов» расширена путем введения важных теорем Крулля о символических степенях простых идеалов н о цепях простых идеалов. Сильнее выявлена связь между теорией идеалов алгебраическн замкнутых колец н теорией нормирований. В главу «Линейная алгебра» введен раздел об анти- симметрических билинейных формах. В главе «Алгебры» увеличено число примеров, развита теория радикала по Джекобсону без условия конечности н сделано большее ударение на основополагающих идеях Эмми Нетер о прямых суммах и пересечениях модулей.
Благодаря сочетанию методов Джекобсона н Эмми Нетер удалось значительно упростить доказательства основных теорем. С помощью различных сокращений я пытался сделать объем книги более приемлемым. По этой причине выпала глава «Теория исключения». Теорема о существовании системы результантов для однородных уравнений, которая доказывалась раныие с помощью теории исключения, теперь появляется лишь в 9 121 как следствие теоремы Гнльберта о корнях. Б. Л. Ван дер Варден Цюрих, июнь 1959. 19 иэ п»вдисловии автои« ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ ВТОРОГО ТОМА Профессор П.
Рокетт был настолько любезен, что предоставил в мое распоряжение чудесное доказательство теоремы о вычетах для алгебраических дифференциалов идг. Благодаря этому глава об алгебраических функциях смогла приобрести вызывающую удовлетворение завершенность. В «Топологической алгебре» вводятся пополнения групп, колец и тел по Бурбаки с помощью фильтра, независимо от второй аксиомы счетности. Конец главы сокращен. Важная дчя многочисленных приложений глава «Линейная алгебра» помещена в начало тома, а глава «Топологическая алгебр໠— в конец. Теперь второй том состоит из трех независимых кусков, в каждом из которых трн главы: главы 12 — 14: линейная алгебра, алгебры, теория представлений; главы 15 в 17: теория идеалов; главы 18 — 2рп нормированные поля, алгебраические функции, топологическая алгебра.
Это подразделение отражено в более точной, чем раньше, схеме зависимости глав. Б. Л. еан дер Варден Цюрих, март 1967, ВВЕДЕНИЕ Цель книги. «Абстрактное», «формальное» или «аксиоматическое» направление, которому алгебра обязана своим новым подъемом, привело к новым понятиям и результатам в теории групп, теории полей, теории нормирований, теории идеалов и теории алгебр и позволило по-новому взглянуть на внутренние связи в этой области. Главная цель книги — ввести читателя в мир всех этих понятий. Но если общие понятия и методы выдвигаются на первый план, то в рамках новь~х построений должны найти место и отдельные результаты, относящиеся к классическому состоянию алгебры.
Распределение материала. Указания читателю. Чтобы достаточно ясно представить общие точки зрения, господствующие в «абстрактной» алгебре, оказалось необходимым изложить с самого начала основы теории групп и элементарной алгебры. В последнее время появилось множество хороших изложений теории групп, классической алгебры и теории полей, что сделало возможным преподнести эту вводную часть кратко, но без пробелов.
Подробное изложение начинающий читатель найдет во многих книгах '). Следующим основным принципом служит требование, согласно которому каждая отдельная часть должна быть, по возможности, понятной сама по себе. Тому, кто хочет познакомиться с общей теорией идеалов или теорией алгебр, не нужно предварительно изучать теорию Галуа, а тот„ кто хочет справиться о чем-либо в линейной алгебре, не должен пугаться сложных построений теории идеалов. 11о этой причине разбиение на главы осуществлено так, что первые три главы, занимая небольшое место, содержат необходимое в качестве подготовительного материала для в с е х последующих глав. Основные понятия таковы: 1) множества; 2) группы; 3) кольца, г) По теории групп укажем ннигу: Шла йаер (Яревег А.).
0(е ТЬеог)е бег Огпрреп чоп епйпсЬег Огбпппя. — 2. Апц.— Вег!!п, 1927. По теории полей: Х а сс е (Наа»е Н.) Ноьеге А!яеьга (1, П) ппд Ап1яаЬепаагпгп!ппк апг ЬоЬегеп А)яеЬга.— Баппп!ппя Обасьеп. !926727; Х а унт (Напр! 0.). Еги!бьгппя !п б!е А!«еЬга 1, П.— !.е!рмя, 1929. По классической алгебре: Г!еррон (Реггоп 0.). А!ХеЬга 1, 11. — !927. По линейной алгебре: Диксон (Ьисй»оп Ь. Е.). Мабегп а!ХеЬгак !Ьсог!еа.— С!Нсако, 1926.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
