Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Очевидно, что тогда и е-' является обратимым элементом. Каждый элемент кольца а допускает представление в виде а=ае-' е, ') В оригинале «Еп»ье»Н — единица — Прим. перев. ') Слово «Е»пье»ы (единица) часто употребляется как синоним слова «Ешзе1ещеп!» (единичный элемент) Изучая разложение на множители, зти два понятия н)жно строго разделять, так как, например, — ! является единицей КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ сГЛ. П! где е — любой делитель единицы.
Такие разложения, в которых один из сомножителей является обратимым, называются тривиал ьньсмсс. Элемент раб, допускающий лишь тривиальные разложения, т. е. такие, что из р =аЬ следует, что либо а либо Ь обратим, называется неразложимым или простым элементом. (В частном случае целых чисел принято еще название простое число, а в случае многочлена — неприводимый многочлен.) Элементы а и Ь=ае-', отличающиеся лишь обратимым множителем, иногда называют ассоциированными. Каждый из ннх является делителем другого, и для соответствующих главных идеалов имеют место соотношения (а) ы (Ь), (Ь) ы (а), так что (Ь) =(а); тем самым два ассоциированных элемента порождают один и тот же главный идеал. Обратно, если каждый из двух элементов а и Ь является делителем другого: а=Ьс, Ь=ад, Ь=Ьсд, так что 1=сд, с=д ', то откуда следует, что с и с( обратимы и а ассоциирован с Ь.
Если с — делитель элемента а, но не ассоциирован с а, т. е. а=сй и д не является обратимым, то с называется собственным делителем элемента а. В этом случае а не является делителем с и идеал (с) является собственным делителем идеала (а). Действительно, если бы а был делителем элемента с, скажем, с=аЬ, то выполнялись бы равенства а=сд=аЬН, 1 =Ьс(, и элемент д был бы обратилсыс!.
Простой элемент можно теперь определить как такой ненулевой элемент, у которого нет необратимых собственных делителей. Если в евклидовом кольце элемент Ь является собственным делителем элемента а, то ~(Ь) (йс(а). До каза тел ьств о. Деление элемента Ь на элемент а ввиду условия невозможно; поэтому Ь=ас)+г, д(г) а(а). Отсюда следует, что если а=Ьс, то г = Ь вЂ” ас! = Ь (1 — ест), а(г))д(Ь), так что д(Ь)(д(г)<а(а). тг РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ Ф !8! В евклидооом кольце каждый ненулевой элемент а является произведением простых элементов: а = Рьре ° ° ° рг Замечание. Эту теорему можно доказать в более общей ситуации для колец главных идеалов, но тогда пришлось бы использовать аксиому выбора (9 69).
В данной элементарной части книги аксиома выбора не обсуждается, поэтому доказательство проводится только для евклидовых колец. До к аз а тел ь ство. Проведем индукцию по числу д(а). Пусть утверждение верно для всех тех элементов Ь, для которых о (Ь) (п, и пусть о(а) =и. Если элемент а прост, то доказывать нечего. Если же элемент а разложим: а=Ьс, где Ь и с — собственные делители элемента а, то д(Ь) (д(а), д(с) (д(а).
По предположению индукции элементы Ь н с являются произведениями простых элементов. Следовательно, а = Ьс также является произведением простых элементов. Выясним теперь, как обстоит дело с однозначностью разложения а =р,ре р, на простые множители и при этом рассмотрим не только евклидовы кольца, но и произвольные кольца главных идеалов. В произвольном кольце главньгх идеалов неразложимый элелгент, отличный от обратимого, порождает максимальный идеал (кольцо классов вычетов по которому является, следовательно, полел!). Д о к а з а т е л ь с т в о. Если элемент р неразложнм, то у него нет необратимых собственных делителей; следовательно, с учетом того, что каждый идеал по условию является главным, идеал (р) не имеет собственных делителей, кроме единичного идеала.
3 а м е ч а н и е. Конечно, разрешимость уравнения ах =. Ь в кольце классов вычетов или сравнения ах=Ь(р) в заданном кольце можно было бы вывести из того факта, что для ос=О (р) обязательно (а, р) = 1 и, следовательно, 1=аг+рз, Ь = агЬ+ рзЬ, Ь = агЬ (р). Вот непосредственное следствие этого утверждения. Если некоторое произведение делится на простой элемент р, то один из сомножителей должен делиться на р, потому что в кольце классов вычетов нет делителей нуля. 3 а д а и а 1. Решить сравнение ох= 7 (!9) с помощью ллгоритиа Евклида тв кольцд, телд и поля ггл, гп 3 э д а ч в 2.
Если в некотором кольце главных идеалов произведение оЬ делитсн пз с и элемент а взаимно прост с элементом с, то Ь дслнтсн нэ с. Мы в состоянии теперь доказать теорему об однозначности разложения на простые множители в кольце главных идеалов. Пусть а=-р,рв ... р„=-дтдз...
д, — два разложения одного и того же элемента а в кольце главных идеалов. Тривиальный случай, в котором а является обратимым и, следовательно, все р; и а, обратимы, мы исключим сразу. Поэтому можно предположить, что р, и дг необратимы и что все участвую!дне в выражении (1) делители единицы уже объединены с элементами р, и соответственно ат. Следовательно, р; и а, не являются обратимыми.
Утверждается: имеет место равенство г=-э и элементьг р; совпадсиот с элементами д! с точностью до порядка их следования и с точно.тыс до умножения на обратилгые элементы. )1ля г —. 1 утверждение очевидно, потому что в силу неразложнмости элемента а = р, произведение д,... д, может содержать лишь один множитель дт=-р,.
Таким образом, мы можем провести индукцию по г. Так как р, входит в произведение ат...ам элемент р„должен входить в один из сомножителей дь Перенумеровав элементы а, мы можем добиться того, чтобы р, входил именно в дг; ц, = е,р„. (2) Здесь е, должно быть делителем единицы, так как иначе д, не был бы простым элементом. Подставим (2) в (!) и сократим на р,; рз'''рг (езцэ)чз'''г)е (3) По предположению индукции сомножнтели в (3) слева и справа совпадают с точностью до делителей 1.
Так как и р, совпадает с д, с точностью до обратимого элемента е„все требуемое доказано. Из доказанных теорем следует: все элементы евклидова кольца однозначно с точностью до делителей единицы и порядка следования множителей разлагаются в произведение ггростых элементов. В частности, это утверждение выполняется в кольце целых чи. сел, в кольце многочленов от одной переменной с коэффициентами из некоторого поля, а также в кольце целых гауссовых чисел. 3 в д э ч з 3.
Целочисленные многочлены 1(х) по модулю любого простого числе р однознэчно рэзложимы нз перэзложимые по модулю у множители. 3 еда ч в 4. Каковы делители единицы в кольце целых гэуссовых чисел? Разложить числа 2, 3, 5 в этом кольце нв простые множители. 3 з д э ч в 5. В кольце чисел а+Ь У вЂ” 3, где о н Ь вЂ” целые числа, число 4 разлагается нв простые множители двуми супгественно различными способами: 4=2 2=(!+ )г — 3) (! — Ьг — 3).
79 РАЗЛОЖЕНИЕ г!А МНОЖИТЕЛИ з !8) 3 ад а ч а 6. В кольце главных идеалов классы вычетов по модулю а, состоящие из взаимно простых с а элементов, образуют группу по умножению. В следующей главе мы увидим, что, кроме колец главных идеалов, существуют еще и другие кольца, в которых выполняется теорема об однозначном разложении на множители. Для всех таких колец мы докажем лишь следующую теорему: Если в кольце о каждый элемент единственным образом разлигается на простые элементы, то каждый неразлозкимый элемент р порождает простой идеал, а каждый отличный от нуля разложимый элемент порождает непростой идеал. Доказательство.
Пусть р — неразложимый элемент. Если аЬ = — О (р), то, следовательно, элемент р должен содержаться в разложении аЬ на простые множители. Вто разложение получается, однако, объединением разложений для а и для Ь. Следовательно, элемент р должен входить уже в а илн в Ь, а потому справедливо одно из сравнений: а = О (р) или Ь = О (р). Пусть теперь р — разложимый элемент: р=-.аЬ, т. е. а и Ь— собственные делители элелзснта р. Тогда аЬ = О (р), а ~и О (р), Ь(ЕО(р). Идеал (р) не является, следовательно, простым. Зада ч а 7, Доказать, что в любом кольце с однозначным разложением на множители существуют наибольший общей делитель и наименьшее общее кратное двух (или нескольких) элементов, определенные с то!пастью до обратимых множителей. 3 а м е ч а н н е.
Дтя колец рассматриваемого типа ЫОД в смысле элементов не всегда совпадает с МОД в смысле идеалов: например, кольцо целочисленных многочленов одной переменной х таково, что 2 и х не нмегот общих делителей, кроме единицы, по идеал (2, х) единичным не является. (То, что в этом кольце имеет место однозначность разложения на множители, буде! доказано в пятой главе.) Глава четвертая ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА В настоящей главе вводятся некоторые основные понятия линейной алгебры. Ик изучение а более общей форме будет продолжено в главе 12, 9 19. Векторные пространства Пусть даны: 1) тело К, элементы а, Ь,...которого будут называться коэффиииентами или скалярами; 2) модуль (т. е.
аддитивная абелева группа) Ю1, элементы х. у,...которого будут называться векторами; 3) умножение ха векторов на скаляры, удовлетворяющее следующим требованиям: В1. ха лежит в Э?1. В2. (х+у) а=-ха+уа. ВЗ, х(а+Ь)=ха+хЬ. В4. х(аЬ) = (ха) Ь. Вб. х 1=х. Если все это выполнено, то Э?1 называется векторным пространством над К, точнее, правым К-векторным пространством, гак как коэффициенты а пишутся справа от векторов.
Понятие левого К-векторного пространства вводится аналогично; закон ассоциативности В4 для левого векторного пространства записьн вается так: В4*. (аЬ)х=а(Ьх). Если тело К коммутативно, то вместо ха можно также писать ах. В этом случае правое векторное пространство становится левым векторным пространством. Если же тело К некоммутативно, то правые и левые векторные пространства необходимо различать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
