Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 21
Текст из файла (страница 21)
По этой причине ковекторы и векторы называют также, еле. дуя Эйнштейну, коварианпгными и контравариантными веюпорами Наконец, можно рассматривать смешанные тензоры г. Они определяются через полилинейные формы, аргументы которых явля ются векторами и ковекторами в произвольном числе; например, т иХ=Г(и, Х)=2л (,'и1Ха. 3 ад а ч а (. Произвольный двухвалентный тензор симметричен по х н у: т ху=т ух сопоставление инвариантно, т. е. не зависит от координатной системы. 3 а д а ч а 3. Ковариантный тензор и с координатами гиа определяет некоторое линейное преобразование х ~-~ и пространства У( в двойственное ему пространство 'Лв по формуле и х=й ах и( — ~ЕМХ". или тогда и только тогда, когда симметричны его координаты: (м=(м 3 а д а ч а 2.
Смешанные двухвалентные тензоры а с координатами о~~ взаимно однозначно сопоставляются линейным преобразованиям А пространства Э(( в себя с матричными элементами а,',. В силу равенства а их=и Ах 97 ЛНТИСИММНТРГ!ЧВСКИВ ФОРМЫ е 251 Если преобразование неособое, то его можно обратить: ха= д,'йа'мб то~да произведение матриц )ага 1 и 1)йьг 1~ является единичной матрицей: ~' ,агаяаг = 6,'-.
$25. Антисимметрические полилинейные формы и определители Пусть К вЂ” поле и 01 — некоторое л-мерное векторное пространство над К с базисом р„ ..., р„. Билинейная форма 7" (х, у) = У',1гьхгуь называется альгнернга рованной или антисимметричсской, если для всех х и у имегот место равенства )(х, у)+7(у, х) =О, (1) 7(х, х)=0. (2) Свойство (1) является следствием свойства (2), потому что из (2) следует, что 1(х+у, х+у)=)(х, х)+7(х, у)+1(у, х)+)(у, у)=0, и в силу (2) 1(х, у) + ) (у, х) = О.
Если применить (!) и (2) к базисным векторам, то получится, что Гг +1 =О, (3) 1н = О. (4) Обратно, (1) и (2) следуют из (3) и (4). В самом деле, достаточно доказать (2). Илгеем ) (х, х) = ~' ггахгха = ,'~~ ~1ахгхг + ~~~~ (г.а + 1ы) хгха = О. г<а Полнлннейная форма г (х, у, г, ... ) называется анлгасилмекчри ямкой, если она антисимметрическая по любой паре своих аргументов. Для этого достаточно, чтобы Р(х, ...) обращалась в нуль всякий раз, когда два аргумента оказываются равными. Для координат 1г,а...
это означает, что опн обращаются в нуль, как только оказываются равными два индекса, и меняют знак, когда два индекса меняются местами: ,=о, 1... 7„,а.„= — („,ь„. 7... Рассмотрим частный случай антисимметрической полилинейной формы от и аргументов на а-мерном пространстве И. Ее ВЕКТОРНЫЕ Н ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА |Гл.
|ч КООРДниатЫ 1у ИМЕЮТ П ИНДЕКСОВ, КажДЫй ИЗ КОТОРЫХ ИЗМЕНЯЕТСЯ от 1 до и. Если два индекса оказываются равными, то !у =О, Поэтому нужно рассматривать лишь те 1», индексы которых получаются перестановкой чисел 1, 2, ..., и. Положим гм „=а. Из последовательности индексов 1, 2, ..., п можно получить любую другую, последовательно осуществляя транспозицию (т. е.
перемену местамп) двух индексов. Действительно, с помощью таких транспозпций можно сначала поставить на желаемое место индекс 1, затем индекс 2 и т. д. При каждой транспозицни коэффициент (у умножается на — 1, Четное число транспозицнй (|и) дает в качестве произведения четную подстановку, а нечетное число транспозиций — нечетную подстановку.
Следовательно, если и — подстановка, которая переводит 12 ... и в Ц/г ..., то |и...= а, если и четная, (5) — а, если и нечетная. Если, в частности, выбрать а=1, то получится специфическая полилинейная антисимметрическая функция 0 (х, у, ...) = ~~ -+. х'у'ЕА ... (6) 0(рт, ..., р„) =-1. (7) Из (5) следует, что каждая антисимметрическая полилинейная форма равна а0: г'=а0, или, так как г (рн ..., р„) =а, то г(х, у,,)=р(р„..., р„)0(х, у, ...).
(8) (9) Тем самым мы получили следующую основную теорему: Существует единсо|веннал антисимметрическая полилинейная форма О, которая на базисных векторак р„..., р„принимает значение, ровное единице. Каждая антисимметрическал полилинейнал форл|а с' получаеп|ся из 0 умножение,и на =г(р р ). Форма 0 (х, у, ...) называется определителем и векторов х, у, ... относительно базиса р„, ..., р„.
Если в качестве 99! выбрать описанное в й 19 модельное векторное пространство, элементами которого служат последовательности (к',, х"), то в М естественным образом окажется выде- Среди прочих полилинейных форм эта форма выделяется тем, что ее значение на базисных векторах р„..., р„оказывается равным единице: Аггтисимметгические ФОРмы х 25) денным базис ех=(0...,, 1, О, ..., 0). (10) Координатами произвольного вектора (х', ..., х") относительно этого базиса будут как раз х', ..., х". Следовательно, определитель Р оказывается функцией и последовательностей, которые можно расположить в виде столбцов матрицы В: ' х' у' )хх уа Согласно сказанному выше эта функция 0 полностью определяется тремя свойствами: 1) 0 линейна по каждому столбцу матрицы В; 2) 0 равна нулю, если два столбца одинаковы; 3) 0 равна единице, если в качестве столбцов взять базисные векторы (10).
Обычно определитель 0 обозначают так: уг хг уа ха ггх = ~ г- хгуге" (12) Основное свойство определителя 0 заключено в гпаореме об узгноженилг опредслигггалей, Мы получим ее без труда, если применим к векторам х, у, ... линейное преобразование А и построим форму 0(Ах, Ау, ...). Вектор А)22 имеет координаты а), а1, ... Поэтому (13) можно записать и так: ~Л„ а!хг ~ а!уг ~ а";х' ~ а)уг х' у' ... х' у' ...
В этом и состоит теорема об умножении определителей. Если переобозначить элементы матрицы В через (г',, то теорему об Оиа вновь будет полилинейной и окажется равной нулю, если два вектора из числа х, у, ... будут одинаковьпш. Следовательно, мы можем применить основную теорему, т. е, формулу (9), и получить 0(Ах, Ау, ...)=0(А)э„..., Ар„)0(х, у, ...). (13) ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРИЫЯ ПРОСТРАНСТВА ~гл, сч умножении можно записать и так: ~ а!Ь~ ~а!Ь' ... ~~ ~ахЬ! ~ ахЬ'... ! ! ! ! а, а ... Ь, Ь ... а а ... ' Ь Ь ...
х " ! х " или еще короче, если через Ре1(А) обозначить определитель матрипы А, Ре( (АВ) = Ре((А) Ре1 (В). (15) В частности, если в качестве А взять любую неособую матр!щу, а в качестве  — ее обратную, то левая часть в (15) будет равна 1, и мы получим Ре1(А) Ре1(А-') =1 (16) Отсюда следует, что определитель неособой матрицы А не равен нулю. Формула (13) может быть также переписана следующим образом: Р (Ах, Ау, ...) = Ре1 (А) Р (х, у,,).
где г — произвольная альтернированная полилинейная форма. Элемент Ре1(А) является, следовательно, множиипегем, на кап!орый нужно умножить форму г" (х, у,,), чтобы получить г" (Ах, Ау, ...). Отсюда следует, что Ре1(А) зависит только от преобразования А, а не от матрицы А, вычисленной в данном базисе р„..., р„.
Следовательно, мы можем говорить об Определителе Ре1(А) линейного преобразования А, не обращая внимания на заданньгй базис. Этот определитель всегда равен определителю матрицы А, каким бы ни был выбранный базис: Ре1 (А) = Ре1 (А). (1?) 3 а д а ч а !. Если столбцы матрицы линейно зависимы, то опредс.чнтсль равен нулю. Зад а ч а 2. Определи~ель линейного преобразования А равен пулю тогда и только тогда, когда А особое. 3 ада ч а 3.
Система и линейных уравнений с и неизвестными ~аах =с а РазРеспима пРи любых с' тогда и только тогда, когда опРеделитель матРпцы (!ах!1 отличен от нуля. 3 ад а ч а 4. Система и линейных однородных уравнений с а неизвестными с„е о Если обе части умножить на произвольный элемент с из поля К, то получится сР(Ах, Ау, ...) =Ре1(А)сР(х, у, ...), или Г(Ах, Ау, ...) = Ре1(А)Г(х, у ., ), нп лнтисимметРические ФОРмы 3 а д а ч а 6. Произвольная альтернированная полилинейная форма г (х, у, ...) от более чем л векторов х, у, ... из л-мерного векторного про.
странства равна нулю тождественно. Задача 7. Если из скалярных произведений и х, ... л+1 ковекто. ров и, в, ... на л + 1 векторов х, у,... векторного пространства размерности л составить определитель из л+1 строк и в+1 столбцов, то этот последний будет равен нулю. 3 а д а ч а 8 ') Доказать, что (=Ре1 (А) ° Ре1 (В), А О! (19/ в~ где А,  — квадратные клетки, 3 а да ч а 9«). Минором Ь-го порядка определителя (12) называется опреде- литель матрицы из элементов, расположенных на пересечении выделенных Ь строк и Ь столбцов матрицы В (см.
(1!)). Доказать следующее правило «раз- ложения определителя по строкем пусть Ь', ..., Ь," — /-я строка матрицы В, В/, ..., В; — миноры (л — 1)-го порядка ее определителя, причем В,' — опреде- литель матрицы, получаемой из В вычеркиванием /-й страни и /-го столбца; тогда л Ре( (В) = ~„З( — 1)/«/ Ь/В//, /=/ (так как функция Ре( линейная по стропам, то (20) л Ре1(В)= ~ О ... О Ь/ О ... О, /=! где строки, не выписанные явно, те же, что и в матрице В. Переставив строки и столбцы, применить к слагаемым задачу 8,) «) Этих задач нет в оригинале; они добавлены потому, что аа|ор неодно. кратно пользуется ниже формулой (20) и вонятнем мнвора, †Пр, ре«), обладает ненулевым решением тогда и только тогда, когда определитель равен нулю. Транспонирование.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
