Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Рассмотрим определитель ( х' х' „. хл р= рт рз ". рл = 'У',-+.хтдз ..., где сумма справа построена таким образом, что векторы х, у, ... в процессе суммирования оказываются переставленными всевоз- можными способами. Функция г является альтернированной и иа базисных векторах е„..., ел ее значение равно единице. Следовательно, г — определитель Р(х, у, ...). Отсюда: Определитель транепонированной матрицы А' равен определи- телю ма/прицы А: Ре((А') = Ре((А), (18) Зада ч а 5. Доказать, что (и х) (и у) (и х) (в у' „, =Р(и,о,...) Р(х,у,...), ~О2 ~гл Рт ВЕКТОРНЫЕ Н ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА $ 26, Тензорное произведение, свертка и след Пусть И вЂ” некоторое п-мерное векторное пространство над полем К.
Из двух векторов х и у можно следуюптим образом построить тензорное произведение х Ву. Возьмам два переменных ковектора и и п, которые независимо друг от друга пробегают двойственное векторное пространство Ил„ и построим произведение 1(и, е) = (и х)(п у). Оно является билинейной формой от и и и и поэтому определяет некоторый тензор 1: 1 ие=(и х)(п у). (1) Этот тензор мы называем тензорным произведением 1=хну; формулой (1) он определен инвариантно. В координатах имеем: 'У,' Уьи,оь =- (~ и;х') (~~~ о,уь) и, следовательно, РА = Х'у". (2) Докажем теперь предложение: Каждое билинейное отображение пар (х, у) в какое-либо векторное пространство Я можно получить следующим образом: сначала нужно из каждой пары (х, у) построить произведение т=х бру, и затем линейно отобразить пространство ч.
двухвалентных тензоров в пространство Я. Доказательство. Произвольное билинейное отображение В со значениями В(х, у) в пространстве Я можно, следуя 2 24, представить формулой В (х, у) = ~ з,„х'у', (3) где з;,— векторы из 91. Определим линейное отображение Ю из ч. в Я формулой В1 = ~ з;ь1А'.
(4) В частности, если применить это отображение к тензорному произведению т=х®у, то в силу (2) получится равенство 8(хну) = 'У',з,ьк'уь=В(х, у), чем и доказывается требуемое. Добавление. Линейное отображение В определяется билинейным отображением В (х, у) однозначно. Доказательство. Произведения базисных векторов р Зрь составляют некоторый базис в пространстве тензоров Ае. Следо- Б 2Б~ тензОРное ИРОизВедение. сВеРткА и след вательно, если известны значения Ю(ргзра), то преобразование 8 однозначно определено. Следует еще заметить, что теорема и добавление к ней формулируются без обращения к координатам.
Лишь для доказательства вводится произвольный базис р„..., р„. 3 а д а ч а, Сформулировать аиалогичиую теорему дли полилииейаого отоЕражеиии о (х у, а " ) Само собой разумеется, что сформулированная выше теорема выполняется и тогда, когда векторы х ну берутся из различных векторных пространств. Пусть Ж вЂ” пространство, двойственное пространству 1т). Из произвольного вектора х из И и ковектора и из Х можно построить тензорное произведение у=ха и. Его координаты таковы Га = Х'иа. Рассмотрим теперь билинейное отображение В, которое паре х, и сопоставляет скалярное произведение х и = и х: В(х, и)=х и.
В силу теоремы и добавления к ией существует однозначно определенное линейное отображение пространства теизоров в поле К, для которого Ю (х З и) = х. и. (5) Приведенные выше формулы (3) и (4) дают нам средство выразить объект ВГ через координаты га1 тензора Г. В нашем случае формула (3) выглядит так: х и=~„'лги;, поэтому формула (4) должна иметь вид ог ~(г (6) Операция Ю называется сверпгкой смешанного тензора Г. Приведенное выше доказательство показывает, что свертка является операцией, инва риантной относительно выбора координатных систем. Составим теперь из компонент га рассматриваемого тепзора матрицу Т =)т'а('; тогда результат свертки оказывается суммой диагональных элемеп~ов, илн следом матрицы Т: В (Т) = ~ У,'.
(у) След матрицы Т является, следовательно, некоторым инваРиантом тензора г, не зависящим от выбора координатных систем. !04 ВЕКТОРНЫЕ Н ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРКНСТВЛ [Гл пт Согласно задаче 2 из З 24 гензорам Е с координатами т', взаимно однозначно сопоставляются линейные преобразования Тс матрич- ными элементами 4. Сопоставление осуществляется инвариантно с помощью формулы т их=и Тх. Итак, След 5 (Т) = ~' (, 'матрицы Т являетея инвариантом линей- ного преобразования Т.
Эту Теорему можно также доказать непосредственно, без ис- пользования теизорного произведения. Действительно, из опреде- ления следа (7) немедленно следует, что 5 (ВА) = 5 (АВ), 5 (САВ) =5 (АВС). Положим здесь В=с" н С=Р ', где Р— неособая матрица; тогда получится 5 (Р-' АР) = 5 (А). Согласно (22) нз ~ 23 матрица преобразования А в произвольно выбранном новом базисе имеет вид Р 'Аг. Таким образом, след 5 (А) не зависит от выбора базиса. Глава пятная ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ Соне р ж а ни е.
Простые теоремы о многочленах от одной н нескольких переменных с коэффициептами иа коммутативного кольца с. $ 27. Дифференцирование В этом параграфе мы определяем производные целой рациональной функции для произвольного кольца многочленов без использования непрерывности. Пусть )(х) = ~Ч~ а;х' — произвольный многочлен кольца с(х]. Построим в кольце многочленов о(х, й] многочлен 7(х+й) = =- ~ а,(х+й)' и разложим его по степеням й: 1(х+и) =1(х)+йГг(х)+)гага(х)+..., )(х+)т) =1(х)+пГ',(х) (пюййэ). Коэффициент гт(х) при первой степени й (определенный однозначно) называется произеодной многочлена г'(х) и обозначается через 1'(х).
Очевидно, можно получить Г"'(х) и таким способом: разделить разность )(х+й) — 1(х) на содержащийся в ней множитель й и в полученном многочлене положить )с=О. Отсюда легко следует, что когда о — поле вещественных чисел, такое определение производной согласуется с обычным определением производной в дифференциальном исчислении как предела 1пп а о Поэтому только что определенную производную обозначают также гц л через —, или через -„-)(х), или, если 1 содержит, кроме х, и другие переменные, через д) Имеют место следующие правила дифференцирования: (7+и)'=-~'+д' (производная суммы), (1) ()д)' = Я+~д' (производная произведения). (2) Доказательство формулы (1): )(хи-й) +д(х+й) =)(х)+йг'(х)-,'а(х) Рlга'(х) (гпос(й ).
(гл г 1!нлгяг«РАционлльнын огпкш!и Доказательство формулы (2): ) (х+)т)д(х+)ъ) = (~(х)+!4'(х)) (д(х)+Ьд'(х))— =1'(х)8«(х)+6((" (х)д(х)+~(х)д'(х)) (гпос( Ч). Точно так же доказываются более общие утверждения: ()" +".+(.)'=(г+" +)«, (3) ()г(з ° ° ° ~е) =Уз ° ° (л+(з(Я ° ° )л+ ° ° ° +(1(з ° ° ° (л (4) Из (4) следует далее, что (ах«)' = пах«-' (5) Из (3) и (5) получается равенство с « )' « ~ а„х") = ~ц" йа„х"-'.
о С помощью этой формулы можно было бы формально опредечить все описанные выше производные. Задач а !. Пусть Г(г«, ..., зм) — некоторый многочлен н Г =де(дз . доказать формулу Г ((г (х), ..., )м (х)) = ~ ге Дм ' " ' (м) г(х ' 1 однык многочленов г-й степени (~г равенства ) (Ьхы ..., йх„) = й'7 (х,, ..., х„) вывести «эйлерово дифференциальное соотношение« (тон«лестно Эйлера): — х =г(. Х.,— д( дх« 3 а д а ч а 3. Дать алгебраическое определение производной рациональной функции ((х)/Е(х) с коэффициентами из поля и доказать известные формулы для производных суммы, произведения и частного. ф 28. Корни Пусть о — целостное кольцо с единицей.
Элемент а из о называется корнем многочлеиа )(х) из о(х), если ((а) =О. Имеет место следующая теорема: Если сс — корень многочлена ((х), то ((х) делится на х — гх. Доказательство. Деление )'(х) на х — а дает равенство ((х) =д(х) (х — сс)+г, где г — некоторая константа. Подставим в это равенство х=сс: О =г, КОРНИ 1от откуда 7(х) = д(х) (х — а). Если а„..., аь — различные корни многочлена г(х), то 7(х) делится ни произведение (х — а,) (х — а,)... (х — аь).
Доказательство. Для я=1 теорема уже доказана. Если считать ее доказанной для и — 1, то будет иметь место равенство: ( (х) = (х — а,), (х — аь,) а (х) . Подстановка х = а„ дает О = (аь — а1)... (иь — аь )у(аь); следовательно, так как в ь нет делителей нуля и а„~а„. ..., а„~ аь „имеем д(аь) =О, откуда в силу предыдущей теоремы д (х) =- (х — и,) и (х), ~(х) = (х — а„)... (х — аь з) (х — аь) й(х), а это и требовалось доказать. Следствие. Отличный от нуля многочлен степени и имеет в целостном кольце не более и корней. Эта теорема верна также и в целостных кольцах без единицы, потому что такие кольца могут быть погружены в поле.
Однако эта теорема неверна в кольцах с делителями нуля; например, в кольце классов вычетов по модулю 16 многочлен х' имеет в качестве корней классы, представляемые числами О, 4, 8, 12; существуют даже кольца, в которых многочлен такого же вида имеет бесконечно много корней Я 11, задача 3). Если 1(х) делится на (х — а)', но не делится на (х — а)'"', зо элемент а называют я-кратным корнем многочлена 1(х). Имеет место теорема: Я-кратный корень многочлени 1 (х) является не менее, чем (й — 1)-кратным корнем производной 1" (х).
Доказательство. Из 1(х) =(х — а)ьд(х) следует, что 1' (х) = й (х — а)ь-' а (х) + (х — а)ь а' (х), откуда 1' (х) делится на (х — а)"-'. Точно так же доказывается утверждение: простой (т. е. 1-кратный) корень многочлена Г'(х) не является корнем производной Г' (х). Перейдем теперь к некоторым теоремам о корнях многочленов От многих переменных.
Если 1(х„..., х„) — ненулевой многочлен, а каждая из переменных х,, ..., х„может принимать бесконечное множество значений из кольца в или любого целостного кольца, содержаи1его с, (ОВ (гл, и ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЫ!ЫЕ ФУНКЦИИ то существует по крайней мере один набор значений х,=а„, ... ..., ха=ал, для которого ((а„..., ал) ~0. Доказательство. Многочлен 1(хг, ..., хл) как многочлен От Хл (С КОЭффИЦИЕНтаМИ ИЗ ЦЕЛОСтиОГО КОЛЬЦа О(Х„..., Х„г)) имеет не более конечного числа корней; следовательно, в бесконечном множестве значений, ко~орое можно подставлягь вместо элемента хл, существует такой элемент сел, что г (Хгг ° ° Хл 1 ал) З О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
