Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Покажем теперь, что любая симметрическая функция выражается в виде целой рациональной функции от о» ..., о» еди нственным способом. Точнее; 123 СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ й зз1 Если гр! (у„ ..., Уп) и гр, (у„ ..., Уп) — два лгногочлена от перелгенных у„ ..., Уп и ф г (Уг ° ° ° Уп) Ф гРз (Ул ° ° Уп) гр, (о„..., оп) Фгр,(сг,, ..., оп).
то и Рассмотрение разности гр,— грз=гр показывает, что достаточно доказать утверждение: из гр(у„ ..., Уп) ~ О следует гр(о„ ... ..., оп) ФО. До к аз а тельство. Каждое слагаемое в гр(у„..., у,) можно записать в виде а з зуз а уп Среди всех систем (а„а„..., ып), которые соответствуют коэффициенту а~О, существует первая в словарном упорядочении. Заменим у; на о, и выразим эти последние через хй тогда получится первое в словарном смысле слагаемое в гр(о„..., оп): ах' ... хп. а п Это слагаемое нельзя ни с чем сократить, так что и в самом леле гр(о„..., о,) =,ьО.
Зада ч а 1. Лля произвольного и выразить суммы степеней Ъ~х., ~'хп Х х! через элементарные симметрические функции. 3 а д а ч а 2. Пусть ~З ~хв = л„. л(оказать формулы ав — лр,а,+ля,а,—...+( — 1)Р 'л,ав,+( — 1)Ррар — — О для р~п ЛР— ь .Га~+...+( — !)па пап=о дпя р) П, в с вх помощью выразить суммы степеней аь лз, па, лл, ла через элементарные симметрические функцнн. Мы доказали; Каждый симлсеп!рический многочлен из кольца о(хм ..., х„) мохсно и притом единственным способом представить в виде лгногочлена от о„..., о„; вес этого многочлена равен степени заданного многочлена.
Все целые рациональные соотношения между симметрическими функциямп сохраняются, если х, перестают быть переменными и становятся какими-то элементами из о, например, корнями разлагающегося на линейныс множители в о(г] многочлена ) (г). Из доказанного, таким образом, следует, что каждая симметрическая функция корней многочлена ((г) выражается через коэффициенты этого многочлена. )24 целыв рлциондльныв екнкции !гл, ч Важной симметрической функцией является квадрат произведения разностей: 0 =П (хс — хз)' ~<о Выражение для 0 как многочлена от ах= ом сто=аз ° аз=( — 1) оо называется дискралссснанасом многочлена г(г) =г" +а,г"-'+...+а„.
Обращение в нуль дискриминанта для частных значений а„... а„означает, что 7(г) имеет кратные линейные множители. Если многочлен 7(г) представить в более общем виде с произвольным старшим коэффициентом а,: ! (г) = а,г" + а,г" '+...
+ а„, то получится а, а, „а„ о,= — —, о,= —, ..., а„=( — 1)" —. а,' ао ' ао ' Дискриминантом многочлена Г(г) в этом случае называют произведение разностей, умноженное на аз" — з: 0 = аоо — ' П (х, — х„)'. с<з В р 35 мы увидим, что 0 представляет собой мпогочлен от а„, а„..., а„.
Применяя описанный выше общий метод, мы получим дискримииаиты для а,х'+а,х+а,: 0 =а', — 4а,а,; для а,хо+а,х'+а,х+аз: 0 = а',а', — 4а,а,' — 4а а, — 27аоао+ 18аоа,а,ао. 3 яд з ч з 3. Дискриминзсст остается инвзризнтным яри замене всех хс нз хо+а, Вывести отсюда дифференциальное соотиошессие д0 д!) аа,+(и — !) а, — + ... + а„, — = О. дао "' " да„ $ 34. Результант двух многочленов Пусть Н вЂ” произвольное поле и ! (х) =а,х" +а,х" '+...+а„, а(х) =дог +д,х" '+...+д, 125 яазтльтлнт двкх многочлгнов % зн — два многочлена из К (х).
Найдем необходимое и достаточное условие для того, чтобы эти дна многочлена имели отличный от константы общий множитель о(х). С самого начала мы не исключаем возможность того, что а»=»О или Ь,=О, т. е. степень 1'(х) может в действительности быть меньше и, а степень д(х) — меньше т. Если многочлен 1(х) записан в указанном виде и начинается с (возможно нулевого) слагаемого а„х", то число и называют формальной степенью мноеочлена, а о,— формальным старших коэффицаенпюм. Мы будем предполагать, что по крайней мере один из старших коэффициентов а„Ь, отличен от нуля. В этом предположении мы прежде всего покажем следующее: 1(х) и д(х) имеют общий множитель, отличный от константы, тогда и только тогда, когда имеет место равенство вида: Ь (х) 1 (х) = Й (х) д (х), где й(х) имеет степень, не ббльшую т — 1, а й(х) — степень, не большую и — 1, причем хотя бы один из многочленов 6, й не является тождественным нулем.
Действительно, если выполнено (1), то прн разложении обеих частей этого ранено~на на простые множители слева и справа должно сгноить одно и то же. Мы можем предположить, что 1(х) в действительности имеет степень и (и аьчнО); в противном случае мы могли бы поменять ролями 1(х) и д(х). Все простые ьшожители многочлена г" (х) должны быть н в правой части равенства (1), причем с тем же самым числом повторений. В один лишь многочлен н(х) все эти множители входить в тех же степенях, что и в 1" (х), не могут, потому что степень А(х) не превосходит и — 1.
Следовательно, некоторый простой множитель многочлена 1(х) входит в д(х), что и требовалось. Обратно, если Ч~ (х) — отличный от константы общий множитель 1(х) и д(х), то нужно лишь положить г (х) = ~р (х) й (х), д (х) =- ~р (х) Ь (х), и получится (1). Чтобы подробнее изучить равенство (1), положим Ь (х) = с,х"-'+ с,х"-'+...
+ с ь (х) л х» — 1 + с( х»-ь ( + с( Раскрывая скобки в равенстве (1) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х" ', х" ', ..., х, 1 слева и справа, 126 ~гл ч цвлые. гяционольныв фчнкции мы приходим к системе уравнений для коэффициентов сь и др с„ао = додо свао +с1ао = доЬо -т д1Ьо, с,а, + с,а, +соао = доЬо+доЬд+ д Ьо, (2) ст оа„+с,а„, =-й„о(о +д„.,Ь .„ с,а„==д„,Ь . Это а+т однородных линейных уравнений относительно я+ т величин сь й,. От этих величин требуется, чтобы они не обращались в нуль одновременно. Условием для этого является равенство нулю определителя. Чтобы в определителе пе было знака минус, мы перенесем выражения, стоящие в правых частях, налево и в качестве неизвестных рассмотрим величины с;, — д . Если l' после этого еще поменять ролямн строки и столбцы определителя (транспонированне относительно главной диагонали), то получи~ся определитель вида ао ао...а„ ао ао ° ао ~а а, а, ...
ао Ьт Ьо Ь! Ьт во Ьо от (Всюду там, где ничего не написано, подразумеваются нули.) Этот определитель называется резулыпантом многочленов Г(х), а(х). Следует отметить, что он является однородным многочленом степени т по переменным а~ и степени а по переменным Ь,; далее, его старший член — произведение элементон главной диагонали— равен ао'Ьт и, наконец, результант равен нулю не только тогда, когда ), а имеют общий множитель, но и тогда, когда (вопреки сделанному в начале предположению) ао = Ьо =О. Суммируем все сказанное: Резульгнант двух многочленов ~('х), д('х) является целой рациональной формой от коэффициентов вида (3). Если реэультант равен нулю, то либо многочлены Г', д обладают отличным от константы обгцим л~ножителем, либо в обоих многочленах равен нулю старший коэффициент.
Верно и обратное. Метод исключения, которому мы здесь следовали, принадлежит Эйлеру; вид (3) результанта известен в основном благодаря исследованиям Сильвестра, Везультлнт дВух многочле~ОВ э 341 В приведенной формулировке теоремы искл1очительный случай а»=-Ь,= — 0 можно опустить, если вместо того, чтобы говорить о двух многочленах от одной переменной, повести речь о двух однородных многочленах от двух переменных: Р(х) =а,х" ,Ва1х»,— 'л,+...+а»х" 6(х) =-Ь,х',"+Ь,х',» — 'х»+...+Ь„,х",'. Исходные многочлены (, и и числа т, и определя1от формы Г, 6 совершенно однозначно и наоборот. )(аждо11у разложению на множители многочлепа Г': )(х)=-а»х»+аьх" '+...+а» =(р„х" +...+р,)(4)»х'+...+4),) соответствует разложение формы Р: Р(х) =а„х", +...+а»х,'=(р„х', +...+р„х',) (4)»х', +...+4),х.') и аналогичное верно для д н 6.
Тем самым каждому общему множителю многочленов Г' и д соответствует общий множитель форм г" и 6. Обратно, каждое разложение для г" илн для 6, в котором мы полагаем х,=х, хе=!, дает разложение для ) или соответсзвенно для д и каждый общий множитель форм Р и 6 дает общий множитель многочленов ) и д. Но может оказаться, что некоторый общий множитель форм г" и 6 будет лишь чистой степенью переменной хк тогда соответствующий общий множитель многочленов г' и д будет константой. Случай, когда Р и 6 делятся на некоторую степень хм как раз является случаем равенств а, = Ь„ = О, и поэтому сформулированные выше два случая в теореме объединяются в единое высказывание: если резульл1ант раасн нулю, то с" и 6 имеют отличный от константы однородный об1иий множитель, и наоборот.
Выведем теперь важное тождес1во. Пусть коэффициенты а„, Ь, многочленов Г'(х), д(х) будут неизвестнымн. Положим х 1Г(х) =а„х" -'+а,х". ' ~-...+а,х~ ', х'" 2Г(х) =— а, х» '" 2+... + а,х -', а»х»+...+а„, х» 1к(х) Ьх»н» 1 ( Ьх»»4 2 ' ( Ь х»-1 х" 1д(х) =— Ь х»4»4 2+ +Ь А»-2 д(х) = Ь "+...+Ь . Определитель этой системы уравнений в точности равен Й. Исключим справа х»4 ', ..., х, для чего осуществим умножения на мн- целыг ихционхльныи охнкции (гл и норы последнего столбца и соответствующее сложение'); тогда получится тождество вида ') А)+Вд=)с, (4) где А и  — целочисленные многочлены от переменных а„, Ь„х. Зада ч а !. Ц терминах определителей дать критерий того, что )(х) и д (х) ил!еют общие множители степени, пе меньшей Ь. 3 а д а ч а 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
