Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 30
Текст из файла (страница 30)
3 а д а ч а 6. Пусть П вЂ” простое поле характеристики р, х — произвольная переменная и А==И(х). Присоединен к Л корень Г=х га неразложимого мна1гр гочлена гя — х я разложить многочлен гг — х в расширения П (ь) 3 а д а ч а 7. Из простого поля характеристяки 2 построить с помощью присоединения корня некоторого неразложимого квадрати шаго уравнения новое пале из четырех элементов.
5 40. Конечные расширения тел Тело ьз называется конечным расширением подтела Л или, коротко, конечным над Л, если все элементы тела 11 являются линейными комбинаг(иями конечного множества элементов иы ... ..., и„с коэффициентами из Л: га =б,и,+...+б„и„. В этол« случае тело 11 является конечномерным левым векторным пространством над Л.
Размерность, т. е. число элементов бизгтеа й над Л, называется степенью расширения Я над Л и обозначается через (ь): Л). П р н и е р. Пусть ьг — простое алгебраическое расширение поля Л: где 0 — элемент степени п над Л, т. е, корень некоторого простого многочлена степени и из кольца Л (х). Элементы 1, 6, 0», ..., 6' составляют базис поля Л(0) над Л, т, е.
Л(8) имеет конечную степень и над Л. !44 ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ 1гл л Пусть Х вЂ” тело, промежуточное между Л и й, т. е. Л: — Х о:— с= й. Тогда имеет место следующая Теорема о степенях. Если й конечно над Л, то и Х конечно над Л, а й конечно над Х. Обратно, если Х конечно над Л, а й конечно над Х, то й конечно над Л и (й: Л) = (й: Х) (Х: Л). (2) Доказательство. Если й конечно над Л, то подпространство Х векторного пространства й также конечно над Л в силу $ 20. То, что й конечно над Х, очевидно, потому что й конечно даже над Л. Обратно, пусть конечны (Х: Л) и (й: Х) и пусть (ит, ..., и,) — базис пространства Х над Л, а (ои ..., о,) — базис пространства й над Х. Тогда каждый элемент тела й представляется в виде со = ~ о;о, (о, е= Х) = ~~ / У' ,б!!и„! о! (бм е= Л) = У; У;бм(иа.!).
и Таким образом, каждый элемент тела й линейно зависит от и величин иьоо Эти величины линейно независимы над Л, потому что из ~~ ~, Онако! =-0 (бм е= Л) и в силу линейной независимости элементов о над Х следует, что ~Ч~ ~быиь = О, а в силу независимости элементов а над Л б =0. Следовательно, гз — степень тела й над Л, что и требовалось доказать. Следств и я формулы (2). а) Если Л ы Х = й и (й: Л) =(Х: Л), то й =Х. Действительно, из (2) следует, что (й: Х) =1.
Аналогично: б) Если Л с= Х с= й и (й; Х) =. (й: Л), то Х = Л. в) Если Л ~ Х ~ й, то степень (Х: Л) является делителем сте. пени (й: Л). 3 ада ч а 1. Какую степень имеет поле $ (д р 2) над полем $ рациональных чисел? 145 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ ч ап 3 а д а ч а 2. Все элементы произвольного конечного коммутативного расширения 11 поля Л являются алгебраическими над Л элеиентами и нх степени являются дели~елями степени расширения (Я ! Л). 3 а да ч а 3.
Из скольких элементов состоит поле характеристики р, которое имеет степень и над своим простым подполему $ 4!. Алгебраические расширения Расширение Х поля Л называется алгебраи геслим над Л, если каждый элемент нз Х является алгебраическим над Л. Теорема. Каждое конечное расширение Х поля Л алгебрпично и получается из Л присоединением конечного числа алгебраических элементов.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если и — степень конечного расширения Х н с«~Х, то среди степеней 1, и аз, ..., аа произвольного элемента а есть не более и линейно независимых. Следовательно, ч должно иметь место равенство ~ч с„ах=0, т. е. а — алгебраичесо кий элемент. Тем самым доказано, что поле Х алгебранчно. В качестве порождающих элементов расширения Х (т. е.
присоединяемого множества) можно взять любой базис поля г,. Благодаря этой теореме можно говорить о «конечных алгебраических расширенияхэ вместо «конечных расширенийэ. Обратна я теорема, Каждое расширение поля Л, которое получается присоединением конечного множества плгебраических величин к полю Л, конечно (и, следовательно, алгебраично). Д о к а з а т е л ь с т в о. Присоединение алгебраического элемента 0 степени п дает некоторое конечное раси.прение с базисом 1, 0, ..., 0"-'.
Последовательное построение конечных расширений согласно теореме нз 0 40 вновь приводит к конечному расширению. Следст вне. Сумма, разность„произседение и частное плгебрпических элементов являются снова алгебраическими элементами. Т е о р е м а. Если элеменгп сс алгебрпичен оп!носительно Х, а Х— плгебраическое расширение поля Л, то а олгебраичен и над Л.
Доказательство. В алгебраическое уравнение для элемента сс с коэффипиентами из г, входит лишь конечное множество элементов (), у, ... поля Х в качестве коэффициентов. Поле Х' = = Л(р, у, ...) конечно над Л, а поле Х'(а) конечно над Х', следовательно, г,'(а) конечно над Л и элемент а алгебраичен пад Л.
Поля разложения. Среди конечных алгебраических расширений особенно важны полл розлпжения данного многочлеив 1'(х), которые получаются присоединением всех корней уравнения )(х) = О, При этом имеются в виду поля Л(ссг, ..., а„), Иа тГОРия полип (гл л в которых многочлсн 1(х) из кольца Л [х] полностью разлагается на линейные множители '): ( (х) = (х — а,)... (х — аа) и которые получаются присоединсниел1 к Л корней а; этих линейных функций. О таких полях доказываются следующие теоремы: Для каждого леногочлена 1(х) колье(а Л[х] суп(ествуепт некоторое поле разложения.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В кольце Л [х] многочлен ( (х) может следующим образом разлагаться па неразложимые множители: ( (х) = грг (х) гре (х)... гр„(х). Сначала мы присоединим какой-нибудь корень а, неразложимого многочлена срг(х) и при этом получим поле Л(а,), в котором ср,(х), а потому и ) (х), имеет линешгый множитель х — сг, Предположим теперь, что уже построено поле Л„= Л (а„...
..., а,) (й(п), в котором у многочлена 1(х) отщепляются (равные или различные) множители х — а„..., х — а». Над полем Л, миогочлен 7(х) разлагается так: 1" (х) =-(х — аг)... (х — а,) ф» т (Х)...ф,(х). Присоединим теперь к Л» какой-нибудь корень а», многочлена ф», т(х). В расширенном таким образом поле Л»(а„,) =Л(а„... , а„,т) У миогочлЕна 1(х) отЩЕплаютсЯ множители х — а„... ..., х — а, , Может оказаться н так, что в ((х) после указанного присоединения выделяется больше lг + 1 линейных множителей. Продолжая таким способом, мы в конце концов найдем поле Л„ = Л (сс„ ..., а„), что и требовалось доказать. Покажем теперь, что поле разложения заданного многочлена ((х) определяется однозначно с точностью до эквивалентности ').
Для этого нам понадобится понятие продолжения изоморфизма. Пусть Лс= го Л~ Х и пусть имеет место изоморфизм Л Л. Изоморфизм Х л2 называется продолжением заданного изоморфизма Л вЂ”:Л, если каждый элемент а нз Л, который при исходном изоморфизме Л вЂ” Л переходил в а, при новом изоморфизме Х = Х имеет тот же самый образ а из Л.
Все теоремы о продолжениях изоморфизмов алгебраических расширений опираются на следующее предложение: ') Старший коэффициент многочлепа 1(к) мы здесь и в последующем считаем равным 1, что, очевидно, не влияет на ход рассуждений. а) Предлагаемое здесь доказательство единственности поля рааложения не дает эффективной конструкции этого объеита в конечное число шагов. См.
по этому поводу Э р м а н (Негшапп С1.). — Ма1Ь. Апп., !926, 95, 3. 736— — 788 и зан дер Варден (чап йег ((гаегйеп В. 1..).— Ма(Ь. Апп., 1930» 102, 8. 738. 147 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ 4 И1 Если при некотором изолгорфизме Л = Л неразложилгый многочлен гр(х) из Лрх1 переходит в (конечно, неразложимый) лгногочлен гр(х) из Л(х) и если а — корень многочлени гр(х) в некотором расишрении поля Л, а й — корень лгногочлена гр',х) в некотором рааиирении поля Л, пю данный изоморфизм Л--Л продолжается до изоморфизма Л(я)--Л(й), ггри когггоролг а ггереходигп в й.
Д,ока зательство. Элементы из Л(я) имеют впд Ус»я» (с„— Л) н подчиняются правилам, аналогичным тем, что действуют на многочленах по модулю гр(х). Равным образом, элементы из Л(а) имеют внд юг»й" (с» е= Л) и подчиняются правилам, аналогичным тем, чго действуют на многочленах по модулю гр(х), т. е. все обстоит точно так же, только нужно ставигь надстрочную черту. Следовательно, сопоставление ) с»а" ~ с»й» (где с» соответствуют элементам с„ при изоморфизме Л =.
Л) является изоморфизмом, обладающим пужнылги свойствами. В частности, если Л =- Л и заданный изоморфнзм отображает каждый элемент из Л на себя, то доказанная выше теорема получается заново, потому что поля Л(я), Л(а), ..., возиггкающие прп присоединении корней одного и того же неразложимого уравнения, эквивалентны и каждый корень можно перевести в любой другой с помощью подходящего изоморфизма. Соотвегствующая теорема получается при присоединении всех корней некото[юго многочлена выесчо одного: Если при некотором изоморфизме Л вЂ” Л многочлен г (х) из Л [х1 переходит в многочлен )т(х) из Л 1х), то зтопг изоморфизм лгожно продолжить до изоморфизлга произвольного поля разложения Л(я„..., а„) многочлена )(х) и произвольного поля разложения Л(р„..., 13„) многочлена )(х), причем злелгентьг а„..., а„ перейдут о некоторой последовательности в элементы (4„..., 1)„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
