Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

До к а за тел ь ст во. Предположим, что изоьгорфизм Л= Л уже продолжен до некоторого изоморфизма Л (а„, а»)--- -== Л (()„... „'р») (в случае необходимости изменим пумерапию корней), переводящего каждое а, в (),. (Для й =-0 это предложение тривиально.) В расширении Л (а„..., а») многочлен 1' (х) разлагается так: ~ (х) = (х — а,) ... (х — я,) гр» ., (х) ...

~р» (х). Соответственно, с учетом изоморфизма, многочлен р (х) разлагаечся в Л(()„..., ()»): 1(х) = (х — Рг) ... (х — ()») »Р»,г (х) ... »Р» (х). !48 твогпя полет! !гл ч! В расширении Л(я„..., я„), соответственно в Л(р!... р„) множители ср, и гр„разлагаются на (х — а»,,) ...

(х — сс„) и соответственно (х — р»,,) ... (х — р„). Наборы а»»о ..., я„и р»„, ... можно упорядочить так, чтобы а»„был корнем много- члена ф»„(х), а ()»г! — корнем многочлена гр»,с(х). Согласно предыдущей теореме изоморфизм Л(я„..., ас)лЛ(()„..., р») можно продолжить до такого изоморфизма Л(я,, ..., а»,!) — Л ф„..., р»,!), при котором я,, будет переходить в (1» ! Таким способом, шаг за шагом, начиная с и=О, мы прихо- дим к искомому изоморфизму Л (а,... сс») — Л ([)„..., ()„), при котором каждое а, переходит в ()с.

Если, в частности, Л=Л и заданный изоморфизм Л=Л оставляет каждый элемент из Л на месте, то (=с' и продолженный изоморфизм также оставляет неподвижными все элементы нз Л, т. е, оба поля разложения для [(х) оказываются эквивалентными. Следовательно, поле разложения произвольного многоч,гено 1'(х) определено однознично с точностью до эквссвалентности. Отсюда следует, что все алгебраические свойства корней не зависят от способа построения поля разложения. 1-1апример, разлагается ли многочлен над полем комплексных чисел или в результате символического присоединения, — «по существу», т. е.

с точностью до эквивалентности, поле разложения будет одним и тем же. В частности, каждый корень многочлена )(х) обладает кри~пностыо, с которой он входит в разложение 1(х) =-(х — а,) ... (х — а„). Кратные корни имеются тогда и только тогда, когда 1(х) и ['(х) имеют общий делитель над полем разложения, отличный от константы $28). Наибольший общий дели!ель 1(х) и 1'(х) над произвольным расширением является, однако, таким же, каков наибольший общий делитель в исходном кольце Л[х) (8 17, задача 1).

Тем самым, с помощью построения наибольшего общего делителя [(х) н ['(х) в кольце Л[х) можно выяснить, есть ли у [(х) кратные корни в соответствующем поле разложения. 149 ллгввнкическив ексшигвния 4 и! Два поля разложения одного и того же многочлена, содержащиеся в некотором поле ьг, являются не только эквивалентными, но даже равными. Действительно, в этом случае совпадают два разложения над Рй 1(х) =(х — а,) ... (х — а„), )(х) =(х — р,) ... (х — р„), и из теоремы об однозначном разложении на множители в ьг(х) следует, что с точностью до порядка следования множители должны совпадать. Нормальные расширения. Расширение Е поля Л называется нормальным над полем Л или расгиирением Галуа, если оно, вопервых, алгсбранчно над Л и, во-вторых, каждый неразложимый в Л[х) многочлен д(х), обладающий в г, хоть одн и м корнем а, разлагается в г.

(х) на линейные множители. Поля разложения, построенные выше, являются нормальными в соответствии со следующей теоремой: Расишрение, нолучаюи4ееся из Л присоединением всек корней одного или несколькик, или даже бесконечного множества много- членов из Л(х), является нормальным. Сначала мы можем свести случай бесконечного множества многочленов к конечному множеству, потому что каждый элемент а из поля зависит лишь от корней конечного множества заданных многочленов и мы можем при доказательстве нормальности, рассматривая разложение неразложимого многочлена, один из корней а которого содержится в данном поле, ограничиться конечным множеством этих корней.

Затем случай конечного множества многочленов можно свести к случаю одного-единственного многочлена, для чего надо все данные многочлены перемножить и присоединять корни произведения — это то же самое, что присоединять корни сомножителей. Пусть, таким образом, г =- Л (а„ ..., а„), где а„. — корни некоторого мпогочлена г(х), и пусть неразложимый в Л(х) многочлен д(х) имеет в г. корень (). Если д(х) разлагается в л неполностью, то мы можем присоединить к г' еще один корень р' многочлена д(х) и получить поле г. (р'). Тогда, так как р и (т' сопряжены, При этом изоморфизме элементы из Л и, в частности, коэффициенты многочлеиа Г(х) переходят в себя. Присоединим теперь слева и справа все корни многочлена г" (х); тогда можно будет продолжить изоморфизм: Л('р, а„..., а„) — Л()3', а„..., а„), где а, переходят вновь в ан быть может, в другом порядке.

)50 ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ (гл и Элемент !) — рациональная функция от оы ..., а„с коэффициентами нз Л: р= г(а„..., а„), и это рациональное соотношение сохраняется при любом изоморфизме. Следовательно, р' также является рациональной функцией от а„..., а„н принадлежит полю Х, что противоречит условию. О б р а т и а я т е о р е м а. Любое нормальное рс!с!парение Х поля Л получсуепася присоединением всех корней некоторого множества лчногочленов и, если оно конечно, — присоединением корнеи даже конечного множества многочленов.

Д о к а з а т е л ь с т в щ Пусть поле Х получено присоединением некоторого множества 'И алгебраических величин. (В общем случае можно положить ГИ = г.; в случае конечного расширения ~И можно считать конечным.) Каждый элемент из ГИ удовлетворяет некоторому алгебраическому уравнению Г(х) =О с коэффициентами из Л, которое полностью разлагается в г.. Присоединение всех корней таких многочленов Г (х) (соответственно, если таковых лишь конечное число, то всех корней их произведения) дает то же самое, что присоединение множества .'П, т. е, дает все поле г.. Это и требовалось доказать.

Неразложимое уравнение Г(х) =-О называется нормальным, если поле, получающееся присоединением одного из корней этого уравнения, является нормальным, т. е. если Г(х) полностью разлагается. 3 а д а ч а !. Если Л ы Х ьз П и (и нормально над Ь, то () нормально и над 2. 3 а д а ч а 2. Построить поле разложения иногочлена х' — 2 над полем рациональных чисел (Г).

Показать, шо если и — один из корней этого уравнения, то (Г) (и) не являезся нормальным. 3 а д а ч а 3. Если Г(х) — неразложимый над полем К многочлсн, то во всяком нормальном расширении ( (х) разлагается на множители одинаковой сгепеии, сопряженные над К. Задач а 4. Каждое квадратичное над Л поле нормально над Ь. $42. Корни из единицы Выше были изложены основные общие положения теории полей. Прежде чем развивать теорию дальше, применим полученные теоремы к нескольким уравнениям очень частного вида над специальными полями. Пусть и — натуральное число. Корни многочлена х" — 1 в произвольном поле К называются корнями и-степени из единиь(ы. Для произвольного корня и-й степени из единицы ь справезливо, таким образом, соотношение рл ! 151 кошки из единицы $421 Если К вЂ” поле комплексных чисел, то корни и-й степени из единицы можно представггть геометрически как точки на единичном круге: ь=егв=сова+ге(пи, где угол гх удовлетворяет условию пи=й 2п и определяется равенством вп сг=й ---.

и Если для я задавать значения О, 1, 2, ..., п — 1, то получится п точек т)в г)Р— г (г!Р 1) Ь=-ЬА ... Ь г=-ге, ... г . имеет порядок Доказательство. Так как Ь =Ь",Ь.', ... Ь'„,=1, порядок элемента Ь является во всяком случае делителем числа г. Если д — произвольное простое число, содержащееся в г, то д входит в совершенно определенный множитель г; н г!у делится на все остальные гн но не на со Следовательно, Ьнр Ьыр Ь и Ьов -ь 1 г ''' Ог г г Так как это рассуждение проходит для каждого входящего в г простого числа д, порядок элемента Ь равен в точности г.

Если теперь К вЂ” поле характеристики р, то положим и = р 6, где Ь не делится на р. Для каждого корня п-й сгепени из единицы г. в соответствии с задачей 1 из у 37 имеет место равенство (гв 1)р'" гвр'" ! гр 1 (). которые делят круг на гг равных дуг. Многочлен х"--1 имеет, таким образом, в поле комплексных чисел ровно п различных корней, которые представляются как сгепени одного-единственного примитивного корня г) п-й степени из единицы. Рассмотрим теперь корни из единицы в произвольном поле К. Прежде всего имеет место теорема; Корни п-й степени из единицы в поле К образуют абелеву группу опгносительно умножения.

Из а"=! и Ь"==-1 следует, что (аЬ)" =-1 и (а-')"= — 1. То, что эта группа абелева, очевидно. Докажем теперь одну лемму об абелевых группах. Пусть Ь,... Ь,„— элементы абелевой группы, порядки г„..., г„ которых попарно взаимно просты. Тогда произведение !ГЛ Ч1 ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ следовательно, ~ — ! =О. Таким образом, корни и-й степени из единицы являются одновременно корнями й-й степени из единицы, где й не делится на характерисзику поля. В случае характеристики нуль можно положить й= и. В обоих случаях Р=1 где й ие делится на характеристику поля. Будем исходить из простого поля П характеристики О или р и присоединим к П все корни многочлена !'(х) =х" — 1.

Характеристики

Список файлов книги