Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 33
Текст из файла (страница 33)
ч! теория полая Следовательно, в поле сун(ествует столько же р-х степеней, сколько самих элементов. Поэтому все элементы являются р-ми степенями. Наконец, определим автоморфизмы поля Х = — 6г (р"). Прежде всего отображение а ая является автоморфизмом. Действительно, согласно последней теореме это отображение обратимо н (а+р)»= с»Р+ РР, (а~)Р = с»Р()Р. Степени этого автоморфизма переводят гх в сея, пл*, ..., сел'=се.
Тем самым мы нашли и автоморфизмов. С другой стороны, число автоморфизмов не может быть болыпе п. Произвольный автоморфизм должен переводить примитивный корень С в сопряженный элемент, т. е. в корень того же самого многочлена, который обращается в нуль н на ь. Любой многочлен степени п имеет, однако, не более п корней.
Определенные выше и автоморфизмов сс ал являются, следовательно, единственно в о з и о ж н ы м и. Теоремы, справедливые для полей 6г (р"), в частном случае п =-1 становятся теоремами о кольце классов вычетов 2!/(р) и совпадают с теоремами. известными из элементарной теории чисел. Именно: 1. Сравнение по модулю р имеет самое большее столько же корней по модулю р, какова его степень. 2. Теорема Ферма: ая-1= — 1(р) для а=(зО()т).
3. Супьествует «первообразный корень ~ по модулю р» — такое число, что любое число Ь, взаимно простое с р, сравнимо по модулю р с некоторой степенью числа ~. (Иначе; группа классов вычетов по модулю р, отличных от нуля, является циклической.) 4.
Произведение всех отличных от нуля элементов а„а„... ..., аа поля 6г (р") равно — 1, так как х" — 1= П (х — ач). 1 Для п = 1 это дает т е о р е м у В и л ь с о н а: Зада ча ). Каждое подполе поля 6г (р") является полем 6Г(р»»), где степень и является делителем числа и. Для каждого делителя т числа и существует ровно одно подполе 6Л(рм) в ОГ(р"), алементы а которого определяются равенством р и 159 СЕПАРАБЕЛЪНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 1 441 3 а да ча 2.
Если г взаимно просто с р" — 1, то каждый элемент из 6Е(р") является г-й степенью. Есл г — делитель числа р" — 1, то г-ми степенями в 6Е (р") являются те и только те элементы а, для которых а(а )" = 1. Сформулировать результат применительно к теоретико-гисловому случаю (ег-я степень остаткаа). 3 а д а ч а 3. Если простой идеал Р в коммутативиом кольце е обладает лишь конечным гнслом классов вычетов, то сга — пале Галуа 3 а д а ч а 4. Рассмотреть, в частности, кольца классов вьщетав по простым идеалам (1+4), (3), (2+4), (7) в кольце целых гауссовых чисел. .Задача 5, Найти неразлол<иыое в 6Е(3) уравнение для примитивного корня восююй степени из единицы из поля 6Е (2), а также неразложимое уравнение дли примитивного корня седьмой степенн из единицы из поля 6Е(8). 3 ад а ч а б.
Галя любых р и т существуют целочисленные многачлсны Г'(х) пг-й степени, неразложимые по модулю Р. Все они являются по модулю р дЕЛИтЕЛяМИ МНОГОЧЛЕНа Хлаг — Х. Одно интересное свойство полей Галуа установил Ш е в а л л е (СЬеча1- 1еу С.).— АЬЬ.
гпа1Ь. Вень Нашьпги, 1935, 11, 3. 73. й 44. Сепарабельные и несепарабельные расширения Пусть снова Л вЂ” поле. Выясним, может ли неразложимый в Л(х) многочлен обладать кратными корнями? Для того чтобы )'(х) обладал кратными корнями, многочлены ((х) и ('(х) должны иметь общий отличный от константы множитель, который согласно 9 41 можно вычислить уже в Л(х). Если многочлен )'(х) неразложим, то нн с каким многочленом меньшей степени ) (х) не может иметь непостоянных общих множителей, следовательно, должно иметь место равенство 7'(х) =О.
Положим л )(х) = ватле, о и )' (х) = л,' та,хт-т. Так как Г'(х)=О, в нуль должен обращаться каждый коэффициент: ча,=О (о=1, 2, ..., и). В случае характеристики нуль отсюда следует, что а,=О для всех т ~ О. Следовательно, непостоянный многочлен не может иметь кратных корней. В случае же характеристики р равенства ма„=О возможны и для аччьО, но тогда обязаны выполняться сравнения т = — 0(р). !60 ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ ~гл л Таким образом, чтобы многочлен ) (х) обладал кратными корняыи, все его слагаемые должны обращаться в нуль, за исключением тех аех', для которых ч=О(р), т. е. )(х) должен иметь вид р(х) =а,+а,хр+аерх'р+...
Обратно: если р(х) имеет такой вид, то )'(х) =О. В этом случае мы можем записать: р(х) = у>(хр). Тем самым доказано утверждение: В случае характериспгики нуль неразложимый в С!(х) многочлен ! (х) имеет только просп!ые корни; в случае же характерно!пики р лрногочлен р(х) (если он отличен от константы) имеет кратньее корни тогда и п!олька тогда, когда его можно представить как л!ногочлен ер от хр. В последнем случае может оказаться, что ер(х) в свою очередь является многочленом от хР. Тогда )(х) является многочленом от хр'. Пусть р'(х) — многочлен от хр'! г" (х) = ер(хр'), е+! но не является многочленом от хр + . Разумеется, многочлен е(е(у) неразложим.
Далее, ер' (у) ~ О, потому что иначе ер(у) имел бы вид у (ур) и, следовательно, ) (х) представлялся бы в виде у (хР '), что противоречит предположению. Следовательно, ер (у) имеет только простые корни. Разложим многочлен еР(у) в некотором расширении основного поля на линейные множители: Тогда ) (х) = Ц (хр' — й !).
! Пусть а! — какой-нибудь корень многочлена хР' — й!. Тогда сер' = р., и хр' — й, =хр' — а,ре =(х — а,)р'. Следовательно, и! является р'-кратным корнем многочлена хр' — р! и ) (х) = Ц (х — и!)Р. ! Все корни многочлена )'(х) име!от, таким образом, одку и ту же кратность р', 101 СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ Степень т многочлена «р называется редуг(ированной степенью многочлена /(х) (или корня а«); число е называется показателем многочлсна Г(х) (илн корня а,) над полем Л. Между степенью, редуцированной степенью и показателем имеет место соотношение и =тр', где т равно числу различных корней многочлена ((х).
Если 0 — корень неразложимого в кольце Л (х) многочлена, обладающего лишь простыми корнями, то 0 называется сепарабельным элементом над Л или элементом первого рода над Л'). При этом неразложимый многочлен, все корни которого сепарабельны, называется сепарабельным. В противном случае алгебраический элемент 0 и неразложимый многочлен г(х) называются несепарабельными или элементом (соответственно, многочленом) второго рода. Наконец, алгебраическое расширение Х, все элементы кочорого сепарабельны над Л, иазываетсп сепарпбельньии над Л, а любое другое алгебраическое расширение называется несепарабельным. В случае характеристики нуль согласно сказанному выше каждгпй неразложимый многочлен (а потому и каждое алгебраическое расширение) является сепарабельным.
Позднее мы увидим, что больн;инство наиболее важных и интересных расширений полей сспарабельны и что существуют целые классы полей, вообще не имеющих несепарабельных расширений (так называемые «совершенные поля»). По этой причине в дальнейшем все связанное специально с несепарабельными расширениями набрано мелким шрифтом. Рассмотрим теперь алгебраическое расширение г.
=-Л(0). Когда степень и уравнения ((х)=0, определяющего это расширение, равна степени (Х: Л), редуцированная степень т оказывается равной числу иэоморфизмов поля Х в следующем смысле: рассмотрим лишь чакие изоморфизмы Х вЂ” Х', прн которых элементы подполя Л остаются неподвижными и, следовательно, Х переводится в эквивалентное поле Х' (изоморфиэмы поля Х над полем Л) и при которых поле-образ г.' лежит вместе с полем Х внутри некоторого общего для них поля ьг. В этих условиях имеет место теорема: )»ри подходящем выборе поля ьг расширение г =Л(0) имеет ровно т изоморфизмов над Л и при любом выборе поля (г поле Х не лгожет иметь более т таких иэаморфизмов. До к а з а т е л ь с т в о. Каждый изоморфизм над Л должен переводить элемент 0 в сопряженный с ним элемент 0' из ьг.
Выбе. рем ьг так, чтобы г" (х) разлагался над ьг на линейные множители; ') Выражение «первого рода» восходит к Штейиипу. Я предлагаю слово «сспарабельиый», которое лучше отражает тот факт, что все корни ыиогочлеиа ) (х) простые. (62 теория пОлей (гл ч! тогда окажется, что элемент 6 имеет ровно и сопряженных элементов 8, 9', ...
При этом, как бы ни выбиралось поле ьв, элемент 8 не будет иметь в нем более т сопряженных. Заметим теперь, что каждый изоморфизм Л(9) — Л(8') над Л полностью определяется заданием соответствия 9 8'. Действительно, если 6 переходит в 6' и все элементы из Л остаются на месте, то элемент ~~~ а»9» (аа е= Л) должен переходить в ,У, 'а„б'ь, а этим определяется изоморфизм. В частности, если 6 — сепарабельный элемент, то гц = и и, следо- вательно, число изоморфизмов над основным полем равно степени расширения. Если имеется какое-то фиксированное поле, содержащее все рассматриваемые поля, в котором содержатся все корни к аж д о го уравнения )(х)=0 (как, например, в поле комплексных чисел), то в качестве ьв можно раз и навсегда взять это поле и поэтому отбросить добавление «внутри некоторого ьв» во всех предложе- ниях об изоьюрфизмах.
Так всегда поступают в теории числовых полей. Позднее мы увидим, что и для абстрактных полей можно построить такое поле ьз. 3 а д а ч а !. Если П вЂ” поле характеристики р и х †переменн, то уран. пение »в †х в кольце П (х) [г[ неразложимо, а определяемое им расшире- ние П (хпв) несепарабельно над П (х). 3 а д а ч а 2. Построить изоморфизмы над полем рациональных чисел ([[: а) поля корней пятой степени из единицы; б) поля ([[ (г'2). Обобщением приведенной выше теоремы служит следующее утверждение: Если расширение Х получается из Л послгдоватгльньгм присоединением т алгебраических влгмгктов аг, ..., и „, причем каждое из а1 является корчем неразложимого над л (аг, ..., сс! 1) уравнения редуцированной степени к,', то расширение ь" имеет равно Ц а! изоморфизиов кад Л и ки в одном расширении 1 нгт большего числа таких изоморфиэмов поля Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
