Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Этой нормальной подгруппой и является (). Доказательство окончено. а) В случае модулей нужно, конечно, вместо бэ1 писать (б, Е(). 176 ПРОДОЛЖЕИИЕ ТЕОРИИ ГРУПП [ГЛ. Нп Изоморфизм (1) можно записать и так: рй/Ф = (Сз)/51)/(йр/9!) 3 а д а ч а !, С помощью первой теоремы об изоморфизме показать, что факторгруппа симметрической группы е1 по четвертой подгруппе б, (4 9, задача 41 ичоморфиа симметрической тру~не =-з. Зада ч а 2. Точно так же в любой группе подстановок, в которой есть не только четные подстановки, зти последние составднют нормальную подгруппу индекса 2. 3 а д а ч а 3 Точно так же факторгруппа группы движений верхней евклидовой подуллоскости по нормальной подгруппе параллельных переносов изоморфиа группе поворотов вокруг некоторой точки й 51. Нормальные и композиционные ряды Группа Сг называется простой, если в ней нет нормальных подгрупп, отличных от нее самой и единичной подгруппы.
П р и и е р ы. Группы простого порядка просты, так как порядок подгруппы должен быть делителем порядка всей группы; следовательно, в такой группе, кроче нее самой н единичной подгруппы, вообще иет подгрупп, а потому нет и нормальных подгрупп. Позднее будет доказано, что зпакопеременная группа 21„при п)4 проста (9 53). Любое одномерное векторное пространство является простым, потому что каждое собственное подпространство имеет размерность нуль и состоит из одного лишь нулевого вектора. Нормальным рядом группы Сь) называется последовательность подгрупп в !з); (О'=-Сь)о~Се!,= ...= Гй,=-ГЕ), (!) в которой для н.=!, ..., ! подгруппа Ят является нормальной в Я,, Число ! называется длиной нормального ряда.
Фактор- группы б',.,/б)ч носят название его фактоооа, Необходимо заметить следующее: длина есть не число членов ряда (1), а число факторов М,,/Юч Другой нормальный ряд (9:з йр, — з... -з бр = 6) (2) называется угглотнгнпси первого ряда, если все подгруппы !Р; из (1) встречаются и в (2). Например, для группы Я, (9 6) ряд (~'4 ~ 14 -з '~а -~ Ф (см. 9 9, задача 4) является уплотнением ряда (са Э )а Э й)' В нормальном ряде любой член может повторяться сколь угодно много раз: 9, =Ми, =...=бйь. Если этого не происходит, говорят о нормальном ряде без повторений.
Нормальный ряд ноьмхльныв и композиционные Ряды 177 без повторений, который без повторений нельзя уплотнить, называется композииионным. Например, в симметрической группе Я, ряд (4ка ~ 21ь:з Ю является композиционным, а в группе С! композиционным будет ряд (Я! з л~д > З4 -з (1, (12) (34)):з 6). В обоих случаях исключена возможность дальнейших уплотнений, потому что индексы последующих нормальных подгрупп в предыдущих подгруппах являются простыми числами. Однако существуют и группы, в которых все нормальные ряды обладают уплотнениями; такие группы не имеют, следовательно, композиционных рядов. Примером может служить любая бесконечная циклическая группа: если в ией задан произвольный нормальный ряд без повторений (9:з Е! ~...
-з Я! ! =з 6), и Я!.„например, имеет индекс т, т. е. 0!! !=(а"'), то между Ф! ! и б: всегда есть еще одна подгруппа (а'"') индекса 2т. Нормальный' ряд является композиционным тогда и только тогда, когда между двумя любыми его членамн М,, ! н 9, нельзя включить какую-либо отличную от Я, ! нормальную подгруппу, или, что согласно 5 50 то же самое, когда группа (71, !/Ж, проста. Простые факторы 0!,. !/9„композиционного ряда называются композиционными. В обоих приведенных выше композиционных рядах все композиционные факторы являются циклическими подгруппами порядков 2, 3, соответственно 2, 3, 2, 2.
Два нормальных ряда называются изоморфными, если все факторы б!, !7Ф,, одного из ннх могут быть отображены изоморфно на переставленные в определенном порядке факторы другого. Например, в циклической группе (а) порядка 6 ряды ((а), (а'), 6), ((а), (а'), ц) изоморфны, потому что факторы первого ряда являются циклическими порядков 2, 3, а факторы второго ряда — циклическими порядков 3, 2.
Лля обозначения изоморфизма нормальных рядов мы будем в дальнейшем использовать знак =. Если цепь нормальных подгрупп (Ю ~61! ='...) заканчивается нормальной подгруппой !!1 группы б!, отличной от Гт':, то говорят о нормальном ряде группы (м над подгруппой 21; 178 1«л Уи ПРОДОЛЖЕИИЕ ТЕОРИИ ГРУПП такому нормальному ряду соответствует нормальный ряд 1Е/й Е„й .
„21/71 = 1е~ факторгруппы ОГ/21, и наоборот. Факторы второго рида, согласно второй теореме об изоморфизме, изоморфны факторач первого. Если нормальные ряды (Эа Ж, а... а ОЕ,=61 и (Ела Л... Ю$,=61 изоморфны, то для каждого уплотнения первого ряда можно найти изоморфное ему уплотнение вп1орого. Действительно, каждые фактор 9, 1/~Я, изоморфен вполне определенному фактору гтР 1/,Гт„; тем самым каждому нормальному ряду дтя Я, 1/4, соответствует изоморфный нормальный ряд для ЙР 1/гйР, а потому и каждому нормальному ряду группы ЯР 1 над подгруппой <9, соответствует изоморфный ряд подгруппы зря 1 над подгруппой гтР. Теперь мы можем доказать основную теорему о нормальных рядах, принадлежащую О.
Шрайеру: Два произвольных нормальных ряда произвольной группы Ф ~ О' =— ' Ь1 ~ 62 ~ " ~ С'Ъ = Ф ~ 1Š— 91 Ф2 — ''' '~2 ~ 1 обладают изоморфными уплотнениями: 1Е=-З...=ЭЕ,Ы...ЫФ2=3...=361= Ы1СУ вЂ” "— Ф вЂ”" — 9, ".= ~1 Доказательство. Для «=1 или в=1 теорема очевидна, потому что в этом случае одни из рядов имеет вид 112 = с.1 и, следовательно, другой является его уплотнением. Докажем сначала эту теорему для в = 2 индукцией по а потом для произвольного в индукцней по в.
Для в = 2 второй ряд выглядит так: Р 9 Ф~. Положим Ж=МТ П 9 и 111=91'.2; тогда $ и Ь вЂ” нормальные подгруппы в «У. Конечно, может оказаться, что '11=% или Тз=б. По предположению индукции, ряды длины « — 1 и длины 2 ~6Л лэ2 = ...: — 61,=-6~ и ~Ф, =-~ З:-26~ обладают изоморфными уплотнениями: 1бз, ...
Е,=- ... Е1=1Е, ... =-~ ... ~~~. /з1 В силу первой теоремы об изоморфизме 1~~/$ = 1У /Т2 и КФ1 = Зт/Т'; 179 нормлльпыв и компознционныв ряды з аг) следовательно, (Х):з (М:з ~, ~ (т) (')1:з,)т:з ТЗ ~ Гр) (4) Правая часть в (3) задает уплотнение левой части из (4), для которого можно найпг изоморфное уплотнение правой части: ()):,э 16 ~ 1з), -з =з Тз ~, -з чт ) (г)) ~,,=з,ф =з Ь =з ... -з ф, (5) Из (3) и (5) следует нзоморфизм (Сз) ~ 1)) ~ 6) =з:з ГЗ)а з:-з Ьт' (Я вЂ” зг1) з... ~,р'=~Тз=з...
ыф, чем и доказывается теорема для случая а=2. В случае произвольного а согласно доказанному мы можем так уплотнить ряд (РйлСз)т = ...), чтобы он стал изоморфным НЕКОтОрОМу уПЛОтНЕНИЮ ряда (64 л )З, =з(Р[Г (гз) =а ~?вг ~ ° ~ Сз)г ~ ° =з Ф == (М=~„,аозт р„,ыб). (6) Входящий в правую часть отрезок ряда (9г ~...
~ьт) и ряд (отг: †.[та -и ... = Фа= 6:) согласно предположению индукции обладают изоморфными уплотнениями: Ф вЂ” " — Ф а Ф вЂ” " — $ — " — 6-') (7) Левая часть в (7) дает некоторое уплотнение правой части в (6), для которого можно найти изоморфное уплотнение левой части в (6). Следовательно, — — 1.'~г — .. 02— =' (% ~ ... л Ф, ~ ... л й) [ввиду (7)]=.— [Ж=а ... ='Зтг =а... =з Зйа ы ... ~6). Тем самым теорема полностью доказана'). Если в двух изоморфных рядах вычеркнуть все повторения, то останутся изоморфные ряды. Следовательно, в основной теореме уплотнения, о которых идет речь, можно счи~ать уплотнениями без повторений. Из основной теоремы о нормальных рядах немедленно получаются две следующие теоремы о группах, обладающих композиционными рядами. 1.
Теорема Жордана — Гельдера. Любые два композиНионнаьт ряда одной и той агсг группы б) изоморфны. ') Другое доказательство предложено в работе Ца с с е а ха уз (саззеп1гапз Н ),— АЬЬ, гпарь вега ?1агпЬпгя, 1934, 10, 3. 1Об. [зо ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП [ГЛ Уп Действительно, эти ряды совпадают со своими уплотнениями без повторений. 2. Если [И обладает кол[пози[[ионным рядом, то каждый ее норл[альный ряд .можно уплотнить до композиционного. В частности, через каждуло нормальную подгруппу проходит некоторый композииионньш" ряд.
Группа называется разрешимой, если у нее есть нормальный ряд, в котором все факторы абелевы. (Примеры: группы Яа и С4 — см. выше.) Из основной теоремы следует, что у разрешимой группы любой нормальный ряд уплотняется до норкиального ряда с абелевыми факторами. В частности, если такая группа обладает композиционным рядом, то все факторы последнего — абелевы группы.
3 а д а ч а !. Всякая конечная группа обладает композипионным рядом 3 а д а ч а 2. Построить все композиционные ряды циклической группы порядка 20. 3 а д а ч а 3. Абелева группа (без операторов) является простой лишь тогда, когда сяа пнклична и имеет простой порядок. 3 а да ч а 4. В любом композиционном ряде конечной разрешимой группы композиционные факторы цикличны и имеют простой порядок.
6 52. Группы порядка рн Под центром группы Е или кольца Я подразумевается множество таких элементов г этой группы или этого кольца, которые перестановочны со всеми элементами: гд=-дг для всех а из (зз или Я, Центр группы й»' является группой и даже нормальной подгруппой в [1). Центром кольца является подкольцо. Пусть р — простое число, и — натуральное число и Рй — некоторая группа порядка р". Покажем, что центр группы б) не может состоять только из единичного элемента. Рассмотрим разбиение группы Я на классы сопряженных элементов 8 9, задача 7).
Чему равно число элементов в одном таком классез Пусть а — произвольный групповой элемент. Два элемента ЬаЬ-' и сас ', сопряженные с а, равны тогда и только тогда, когда произведение Ь 'с перестановочно с а: из ЬаЬ-' =сас ' следует а(Ь-'с) = (Ь-'с) а. Групповые элементы, перестановочные с а, составляют некоторую подгруппу )з, называемую нормалпзатором элемента а. Если Ь-'с принадлежит группе [т, то с лежит в смежном классе Ь.К Обратно: если с лежит в ЬЭ, то можно положить с=ЬЬ н тогда сас-'=-Ьйа(ЬЬ)-'=-Ьай)1 'Ь '=Ьаб '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
