Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 38
Текст из файла (страница 38)
1В1 пгямыв пьоизввдвпия Таким образом, каждому смежному классу Ь$ соответствует некоторый сопряженный элемент ЬаЬ-', и наоборот. Число различных элементов, сопряженных с элементом а, равно числу смежных классов, т. е. равно индексу группы $ в группе 9. Индекс всегда является делителем порядка группы. В частности, если а — элемент центра, то Й = 6 и класс состоит из одного лишь элемента а. Во всех остальных случаях число элементов класса больше единицы. Пусть теперь (6 — некоторая р-группа, т.
е. группа порядка р". Тогда число элементов в любом классе равно делителю числа р", т, е. является сгепенью числа р. Порядок группы Ж равен сумме мощносгей отдельных классов, т. е. сумме некоторых степеней числа р: рь 1+ф+ ф+ + ~п Если бы единипа была единственным элементом центра, то в сумме справа участвовало бы лишь одно слагаемое 1, а все остальные делились бы на р. Тогда левая часть в (1) делилась бы па р, а правая — нет, что невозможно. Следовательно, центр любой р-группы не может состоять из одного единичного эле- мента, Может оказаться так, что центр 3, является всей группой, тогда группа Ж абелева. В противном же случае можно построить факторгруппу Ж=((у3о Она вновь является р-группой и, сле- довательно, обладает неединичным центром 3 =3у3п Продолжая таким образом, мы получим возрастающую последовательность центров Жс3,с3,с Так как каждый ее член имеет больший порядок, чем предыдущий, последовательность должна закончиться через некоторое конечное число членов равенством 3„= 1ь).
Факторгруппы 3ь)3ь, все абелевы; поэтому: Каждая группа порядка р" разрешима. $ 53. Прямые произведения Группа Я называется прямьсм произведением подгрупп 6 и 6, если выполнены следующие условия: А1. 6 и  — нормальные подгруппы в 9; А2. 9=63; АЗ. 6ПЗ=й. Эквивалепгными этому являются требования: Б1. Каждый элемент группы 0~ является произведением д=аЬ, ая6, Ье=В3. 182 !гл чп ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП Б2. Множители а и Ь однозначно определяются элементом д. БЗ. Каждый элемент подгруппы й! перестановочен с каждым элементом подгруппы ч).
Из условий А следуют условия Б. Действительно, Б1 следует из А2. Условие Б2 получается так: если д=-,Ь1 =а,ЬИ то а, а,=Ь.Ь,', элемент а,— 'а, должен принадлежать как Я, так и 6, а потому в силу АЗ он оказывается равным единице; следовательно, а, =а„ь,= Ь, и установлена единственность представления (1). Условие БЗ следует из того, что аьа-'Ь-' в силу А1 принадлежит иак 21, так н 6, а потому в силу АЗ этот элемент равен единичному. Из условий Б следуют условия А. То, что подгруппа 2! является нормальной, получается так: уйти '=аЬ2!Ь 'а'=ай!а-т= 2! [в силу БЗ!.
Условие А2 следует из Б1. Условие АЗ получается так: если с — элемент пересечения ЙД6, то с представляется двумя способами как произведение некоторого элемента из т! и некоторого элемента из 6: с=! с=с.1. В силу единственности 1Б21 должно выполняться равенство с=1. Условие АЗ получено. Произведение 2!6, когда оно является прямым, будет обозначаться через 2! хб. В случае аддитивных групп (модулей) пишут (21, 6) для обозначения суммы и 2(+6 — для обозначения прямой суммы.
Если известно строение групп '2! и В, то известно строение и группы (ь), потому что любые два элемента д,=а1Ь1 и а,=а,Ь, перемножаются путем умножения сомножителей: а,де =,а,. ь,ь,, Группа Я называется прямым произведением нескольких своих аодгрраа б) = 21, х 21, х... х 21„, если выполнены следующие условия: А'1.
Все а, являются нормальными подгруппами в 5. А'3. (21,2(, ... 21,,) () 21,=6 (э =2, 3, ..., П). Если эти условия выполнены, то группы 2!и ..., 21„, являются нормальными подгруппами и в их произведении 21,1!э ... 2(„о так чго это произведение согласно тому же определению является прямым. Далее, 21,2!э 2(„п как произведение нормальных под- !83 пгямыя ппоизпгдвния з 53! групп, вновь является нормальной подгруппой в % и (г(,гс, ...
л„,) пл„=а Следовательно, (г=(г(,гг, ... Л„,)хр(„=Е„хг(„, где Е„=Лег(, ... Л„,=я,хр(,х ...хя„,. (2) С помощью (2) прямые произведения можно определять рекуррентно. Если к произведению Оз=Е„хл„применить определение Б, то нндукцией по п получится: Б'. Каждый элемент сг группы Я однозначно представим как произведение тогда из Б' для произвольного о получается !у! = гг, х е„ (3) следовательно, каждая подгруппа Р(, является нормальной в бд и 2(,ПЕ,=6. Последнее утверждение содержит нечто большее, чем условие А 3.
Из (3) согласно первой теореме об изоморфизме следует, что ерг(,=е,; егв,=г(, Группы Э = ~л, х Йз х ... х г1„, Ф, = 'г(г х 'Л, х ... х р[„„ (4) Ф„т =21„ С)„= 6 составляют нормальный ряд группы я с факторамн я,,гЯ,ю -- Р!„г, Если группы 2(, обладают композиционными рядами, то и (зг обладает композиционным рядом, длина которого является суммой длин отдельных факторов. 3 а да ч а !. Если ГВ=В Х 9, ОК вЂ” подгруппа в я н ГВ'~В1, то 9'=ЯХ6', где З' обозначает пересечение бз' и ю.
Задача 2. Любая циклическая группа порядка л=гз с (г, з)=1 является прямым произведением своих подгрупп порядков з и г. д = а,а, ... а„(а, ~ Яг), и каждый элемент иэ 'г(н переетановочен с каждым элементом иэ 2(, (ггчьт), Из Б' в свою очередь, следуют условия А'. Действительно, положим 184 ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП (гл уп 3 а д а ч а 3. Конечная циклическая группа является прямым произведением своик подгрупп, порядки которых являются наибольшими возможными степенями простых чисел, Группа (1У называется вполне приводимой, если она является прямым произведением простых групп. В этом случае соответствующий нормальный ряд (4) является композиционным рядом.
Согласно теореме )1(орлана — Гельдера композиционные факторы (в),,29ч=.= 21„„, опРеделены однозначно с точностью до изомоР- физма и порядка следования. Т ео рема. В любой вполне приводимой группе Оь каждая нормальная подгруппа является прямым сомножителем, т.
е. для каждой нормальной подгруппы р суи(ествует разложение 9 = = урхо. Доказательство. Из бд=й(,ху(зх...х2(„следует, что Е= 1~ (г =Ф 41, Р(, ... 21„. (5) С каждым из сомножителей е1ы ..., 21„можно проделать следующую операцию: множитель либо зачеркивается, либо предшествующий ему знак заменяется на знак х прямого произведения. Действительно, пересечение рассматриваемой группы 41„с произведением П = от Р(т ... У(а т является нормальной подгруппой в Р(а, поэтому оно равно либо г(ы либо (Р. В первом случае П Я 2(ь='т(ь и 2(а ~ П, т.
е. множитель т(а в произведении ПР(а исчезает. Во втором случае произведение П Р(а является прямым; П 221~ — — П ха(ы Согласно доказанному выше произведение (5) после вычеркивания ненужных групп 41 приобретает форму прямого произведения: (ь" =-4~х 2(,х Л, х...хг(а. Отсюда следует требуемое. $ 54. Групповые характеры Пусть (вб — некоторая группа и К вЂ” некоторое поле. Под ха- рактером группы 1й в поле К понимается любое гомоморфное отображение группы СУ в мультипликативную группу поля К. Другими словами: характер а группы (ь) в поле К вЂ” это некото- рая функция элементов из Ж со значениями в поле К, отличными от нуля, обладающая следующим свойством: а (ху) = а (х) а (у). (1) Из (1), как обычно, следует, что а(х, ...
х„) =а(х,) ... а(х„), а (хл) = а (х)ч а(е) ==-1, а(х ') =-а(х) ". гвзпповые хлглктееы !вв Если о и т — характеры, то с помощью равенства с>г (х) = о (х) т (х) определяется произведение отображений вт; оно тоже является характером. Относительно такого умножения характеры группы Ю в поле К образуют абелеву группу Ж', группу характеров груп>гы б) в лоле К. Т е о р е м а о и е з а в и с и м о с т и.
Различные характеры а„..., в„группы М в поле К всегда линейно независимы, т. е. если в поле К вьтолняется равенство с,о,(х)+...+с„а„(х) =0 (2) для всех х из Я, то есе коэффициенты сг равны нул>в. Доказательство. (По книге: Артин (АгПп Е.). Оа!о!ззс)ге ТЬеог1е. — 1е!рз!а, !959, 8. 28.) Для и =1 из сп, (х) = 0 сразу следует, что с, — -О. Следовательно, можно начать индукцию по и и предположить, что утверждение справедливо для >г — 1 характеров. Заменим в (2) элемент х на ах, где а — промзвольный элемент группы Ж; тогда получится равенство с,о,(а) а,(х)+ ...
+с„о„(а) а„(х) =О. (3) Вычтем отсюда равенство (2), умноженное на о„(а): с, (о, (а) — а„.(а) ) а, (х) -1-... ... +с„, (о„,(а) — о„(а)) о„,(х) =О. (4) Согласно индуктивному предположению характеры а„..., а„, линейно независимы; следовательно, все коэффициенты в (4) должны быть нулевыми: с,(ог(а) — о„(а)) =О для >=1, ..., п — 1. (5) Так как о, и а,— различные характеры, для каждого фиксированного г можно так выбрать элемент а, чтобы было о,(а) ~о„(а). Тогда из (5) следует, что с>=0 для > =1, ..., и — !. Подставим это в (2); тогда окажется, что с„=О, чем и доказывается требуемое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
