Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 41
Текст из файла (страница 41)
В наших последующих рассмотрениях эта группа играет главную роль. Будем обозначать ее через Я. Подчеркнем еще раз, что п~ рядок группся Галуа равен степени расширения и=-(Х: К). !(огда в некоторых случаях речь заходит о группе Галуа ко печного сепарабельного расширения В', не являющегося нормальным, подразумевается группа Галуа соответствующего нормального расширения Х =~ Х', Для взыскания автоморфизмов совсем нет необходимости искать примитивный элемент расширения Х. Можно построить г' путем нескольких последовательных присоединений: В =-К(ап ... ..., а ), затем найти изоморфизмы поля К(а,), которые перево. дят и, в сопряженные с ним элементы, после этого продолжить полученные изоморфизмы до изоморфизмов поли К (хп а5) и т, д.
Важныл1 частным случаем является такой, когда а„..., а,„— это все корни некоторого уравнения ) (х) =О, не имеющего кратных корней. Под группой уравнения Г (х) =-О или многочлени /(х) подразумевается группа Галуа поля разложения К(ио ..., сс„,) этого многочлена. Каждый автоморфизм иад полем К переводит систему корней в себя, т. е. переставляет корни. Если такая перестановка известна, то известен и автоморфизм, потому что если, наприл5ер, сс„..., сх переходят в а,', ..., сс', то каждый элемент из К (а„ .. „ а ), как рациональная функция ср(ссп ..., а„), переходит в соответствующую функцию О (а;, ..., а').
Следовательно, группу уравнения можно рассматривать как группу некоторых подстановок корней. Именно эта группа подстановок будет всегда подразумеваться, когда речь зайдет о группе какого-либо уравнения. тсоеня гхлу» !Гл чи! Пус>ь Л вЂ” нскоторое «промежуточное» поле: К:-' Л: — Х. По одной из теорем ч 41 каждый пзоморфизм поля Л иад К, переводящий Л в сопряженное с ним поле Л' внутри Х, можно продолжить до некоторого изоморфизма по»я Х, т, е, до некоторого элемента группы Галуа.
Отсюда следует угверждеиие Два прог>ежуточных поля Л, Л' сопряжены над К тогда и только тогда, когда они переводятея друг в друга неко(порой подстановкой из группы Галуа. Положим Л=К(а); тогда точно так же получается утверждение: Два элемента «», а' поля Х сопряжены друг с другом над К тогда и п>олька тогда, когда они переводятгя друг в друга некоторой подстановкой пз группы Галуа поля Х. Если уравнение г" (х) =О неразложимо, то все его корни сопряжены, и наоборот.
Следовательно, Группа уравнения )'(х) = О транзитивна тогда и п>олька тогда, когда уравнение неразлп»ы>мо нод основнь>м полем. Число различных сопряжеш!ых с а элементов поля Х равно степени неразложимого уравнения, определяющего а. Если это число равно 1, то а является корнем линейного уравнения и поэтому содержится в К. Следовательно, Если злел>ент а поля Х осп>ае>пся неподвижным при всех поде!поповках из группы Галуа поля Х, т. е.
переводил>ея всеми подол!ановкими в еебн, то основное поле К содержит а. Из всех этих теорем )н«е видно то большое значение, которое имеет группа аитоморфнзмов при из)чепци свойств поля Приведенные теоремы лин!ь для удобства формулировались для конечных расширений; с помощью «трансфинитной индукции» они без труда переносятся и на бесконечные раси!прения. Они остаются верными даже для несепарабельных расширений, если только заменить степень расширения на редуцированную степень и утвер>кдение последней теоремы высказать так: к .. то основное поле К сОдержит а', где р — характеристика».
Напра>ив, «основцая теорема Галуа», которой посвящен следующий параграф, выполняется только для конечных сепарабельных расширений. Расширение Х поля К называется абелевь>м, если его группа Галуа абелева, циклическим, если его группа Галуа циклична, и т. д. 1очно так же уравнение называется абелевыл!, циклическим, примитивным, если его гр)ппа Галуа абелева, циклическая или (как группа поде>ановок корней) примитивная. Особенно простой п р н м е р групп Галуа досзавляют поля Галуа бр(р'") 8 43), если содержащееся в них простое поле П рассматривать как основное, Рассмотреннь!й в З 43 автол«орфизм з(а ае) и его степени з', з", ..., з'"=1 оставляют неподвижными все элементы нз П н поэтому црннадлежат группе Галуа; но так 197 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ГАЛУА й зз) как поле имеет степень т, эти автоморфнзмы составляют всю группу.
Последняя является, таким образом, циклической порядка т. 3 а д а ч а !. Каждая рациональная функция корней некоторого уравнения, катараи пад действием падстанааок из группы Галуа переводится в себя, принадлежит основному полю, и наоборот. 3 а д з ч а 2. Какие вазможности имеются для группы неразложимого уравнении третьей степени? 3 а д а ч а 3. Группа уравнения состоит только из четных падстаназак та~да и толька тогда, когда квадратный нарень нз дискриминант зг1га уравнения содержится з основном поле (предпалагается, чта характеристика не равна двум), 3 а д а ч а 4. С помощью задач 2 и 3 найти группу уравнения х»+ 2х+! == О нал полем рациональных чисел.
(Исследовать прежде всего транзитизность!) 3 а д а ч а б. С помощью квадратных и кубических корней решить уравнения х» — 2=0, х«бхз+ б — О п построить их группы. Сделать та же самое для «уравнений деления крута» х' + х' + 1 = О, х" +1=0 (зсе над пален рациональных чисел). $ 88. Основная теорема теории Галуа Основная теорема звучит так: !'. Каждому промежугпоыному полю Л, К с: — Л с: — га соответствует некоторая подгруппа й группы Галуа 9, а ил«екпс, совокупность тех аегпоморфизлгов из Ь, которьге осп!авллвот на месте есе элементы из Л.
2. Лоле Л определяется подгруппой ! однозначно; именно, поле Л является совокупностью тех элементов из Х, которые «еыдержигаюпю все подстановки из й, т. е. оспгаюпгся инеариантными при ыпих подсп ановках. 8. Для каждой подгруппы й группы Ю можно найти поле Л, которое находится с подгруппой ) в пюлько что описанной связи, 4. Г!Орядок подгруппы 1! равен степени поля Х над полем Л; индекс подгруппы й в группе Ф равен степени поля Л над полем К. Д о к а з а т е л ь с т в о. Совокупность автоморфизмов поля Х, оставляющих на месте каждый элемент из Л, является группой Галуа поля г. над Л, т.
е. неко~арой группой. Тем самым доказано утверждение !. Утверждение 2 следует из последней теоремы 9 57, примененной к Х как расширению и Л как основному полю, Несколько более трудным является утверждение 3, многия гляда» ~гл шп Пусть опять '" = К (8) и пусть ) — заданная подгруппа группы 9. Обозначим через Л совокупность элементов из Х, которые при всевозможных подстановках а из 1 переходят в себя.
Очевидно, множесзво Л является полем, потому что если и и р остаются неподвижными при подстановке о, то неподвижными при этой подстановке будут и я+)3, ц — 'р, я (), и, в случае р~О, --. Далее, имеет место включение К ~ Л ы Х. Группа Галуа поля Х над полем Л содержит подгруппу ф так как подстановки из 6 оставляют неподвижными элементы из Л. Если бы группа Галуа поля Х над Л содержала больше элементов, чем входит в р, то степень (Х: Л) была бы больше, чем порядок подгруппы 6. Эта степень равна степени элемента 8 над полем Л, так как Е =Л (6). Если о„..., о„— подстановки из 6, то 0 является одним из корней уравнения 6-й степени (х — а,0)(х — о,з) ... (х — о»6) =О, коэффициенты которого остаются инвариантиыми при действии группы р, а потому принадлежат полю Л.
Следовательно, степень элемента 6 над Л не больше, чем порядок подгруппы я. Таким образом, остается лишь одна возможность: подгруппа й является в точности группой Галуа поля Х над полем Л. Тем самым утверждение 3 доказано. Наконец, если л — порядок группы (9, Ь вЂ” порядок подгруппы 6 и ) — индекс этой подгруппы, то и=(Х:К), й=(В:Л), а=6 (Х:К) =(Х:Л).(Л:К), откуда (Л: К) =у.
Этим доказывается утверждение 4. Согласно только что доказанной теореме связь между подгруппами 6 и промежуточными полями Л является взаимно однозначным соответствием. Возникает следующий вопрос: как найти подгруппу 6, когда известно Л, и как найти Л, когда известна подгруппа й? Первое очень просто. Предположим, что уже найдены сопряженные с 6 элементы 8„ ..., 8„ выраженные через 6: тогда у нас есть автоморфизмы 0 8, ко|орые исчерпывают группу Ц).
Если теперь задано подполе Л = К (рм ..., р») где (з1 " р»вЂ” известные выражения, зависящие от 6, то й состоит просто из тех подстановок группы О, которые оставляют инвариантными элементы ~и ..., ))», потому что такие подстановки осзавляют ннвариантными все рациональные функции от ри ..., р», оснОВггАВ теоРемА теоРии ГАлуА Обратно, если задана подгруппа 9, то составим соответствующее произведение (х — о,0) (х — о~О) ... (х — о„9). 1(оэффггциегггы этого мпогочлена, согласно основной теореме, ггол>кггы принадлежать полю Л и даже порождать поле Л, потому, чго онн порождают поле, относительно которого элемент 9, как корень уравнения (1), имеет степень lг, а быть собственным расширением для Л это поле не люжет. Следовательно, образующие поля Л являются просто элементарными симметрическими функциями от о,О, ..., О,О, Другой метод состоит в том, чтобы отыскивать элемент )((О), который при подстановках из 9 остается неподвижнылг, но ника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
