Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Рассмотрим теперь (2) и (3) как сравнения по модулю р. Тогда по модулю р: д(хг) = (д(х)',У. Действительно, если выполнить возведение в степень справа, записав предварительно д(х) без коэффициеп1ов как сумму степеней х (например, вместо 2х' записать х'+х'), а затем раскрыть скобки в соответствии с правилами из Ч 37, получив (д(х),'У возведением в р-ю степень каждого слагаемого, то получится как раз п(хг). Из (3) теперь следует, что (и (х))' =1(х) /г (х) (щой р). (4) Разложим обе части равенства (4) на неразложимые множители по модулю р.
В силу теоремы об однозначном разложении на простые множители многочлена с коэффициентами из поля У!(Р) (ср. Ч 18), каждый множитель ~р(х) из 1(х) должен входить и в ,'д(л))Г, а потому и в д(х). Следовательно, правая часть в (2) по модулю р делится на Гр'(х), а потому по модулю р как левая часть х" — 1, так и ее производная Йх" ' должны делиться на ~р(х). Однако производная )гх" ' в силу того, что й=йО(р), имеет лишь те прость.е делители х, которые не делят х' — 1.
Тем самым мы получили противоречие. Таким образом, 1(х) = + д(х) и сг — корень многочлена 1'(х). Покажем теперь следующее: все примитивные корни й-й степени из единицы являются корнями многочлена 1(х). Пусть ь'— такой корень из единицы и пусть У=Р1 Р где р, — равные или различные простые множители, взаимно простые с л.
Так как ь удовлетворяет уравнению )(х) =О, таким же должен быть и элемент "Г . Повторение рассуждений для нового простого числа р, показывает, что и элемент ~~ у удовлетворяет этому уравнению. Продолжая таким образом, мы получим, что ь"' удовлетворяет уравнению 1(х) = О. Следовательно, все корни многочлена Ф„(х) удовлетворяют УРавнению )'(х) =О; так как 1(х) неРазложим, а Фь(х) не имеет 204 ТЕОРИЯ ГАЛУА [ГЛ. ЧИ1 кратных корней, то Ф» (х) =[ ("). Тем самым доказана неразложимость уравнения деления круга '). На основании этого факта мы можем легко построить группу Галуа поля деления круга [(с(ь).
Прежде всего, степень поля равна степени многочлена [1>»(х) и, следовательно, равна числу Ч>(>1) (ср. 9 42). Любой автоморфизм поля [И(ь) задается тем корнем л>ногочлена Ф»(х), в который переходит элемент ь. Однако все корни многочлена Ф„(х) являк>тся степенями [,л, где )ь — число, взаимно простое с й. Пусть ол — автоморфизм, переводящий ь в ьл. Равенство а, =ов имеет место тогда и только тогда, когда ьтл тьв или А = р(й).
Далее, о> аи (ь) = ал (ьп) = (ол (ь) )1' = ьлп; следовательно, ало„= ал„. Группа автоморфизмов полн [1)(ь) изоморфна, следовательно, группе классов вычетов по модулю й, взаимно простых с й (ср. 9 18, задача 8). В частности, эта группа абелева. Поэтому все се подгруппы нормальны и все соответствующие им подполя нормальны и абелевы. П р н ме р. Корни 12-й степени из единицы. Классы, взаимно прог>ые с !2, представляются числами 1,5,7,11. Поэтому автоморфизмы можно обозначить через о„а„о,, оги и автоморфизм ол будет переводить ь в ьл.
Таблица умножения здесь такова: ~о, а, а„ оа [ал а„а, а, )а„а> а, ап['ат а, а, Каждый элемент в этой группе имеет порядок 2. Поэтому, кроме самой группы и единичной подгруппы, здесь есть только ') йругие простые доказательства см., например, в статье Ландау н непосредственно за ней спедуюп[ей статье Шура в Майи 2., [929, 29, $. 462-463.
полн деления кРугл 205 три подгруппы !. (о„о,), 2. ',а,, о), 3. (о„оы). Этим подгруппам соответствуют квадратичные поля, порождаемые квадратными корнями. Чтобы их найти, установим следу>ощее: Корни четвертой степ ни из единицы <, — ! являются также корнями двенадцатой степени из единицы, а поточу принадлежат рассматриваемому пол!о. Стедоватетьно, (с)(!) — квадратичное под- поле. Точно так же рассматриваемому полю принадлежат корни третьей степени из единицы.
Так как 1 1 р = — --+ —,)/ — 3 2 — корень третьей степени из единицы, расширение $ т3 — 3,) является квадоатичным подполем. Из квадратных корней 4 и )/ — 3 при умножении получается корень ) '3. Спедовательно, ():)(')/3) — третье подполе. Выясним теперь, какие подгруппы соответствуют этим полям.
Так как аз»з =-ь" = ~', элемент ! =~' выдерживает авзоморфизм о,, Счечовательно, поле ((((() соответствует группе (а„аз). Так как а>Д4=<'.44=>4, элемент р=-~4 выдерживает автоморфизм а,. Поэтому $()/ — 3) соответствует группе ',о„а„!. Оставшееся по с ((т()/3) должно соответс<вовать группе (а„ап). Любые два из этих трех подполей порождают все поле. Следовательно, корень из единицы ь можно выразить через два квадратных корня. Действительно, 4;,.
1+)/- — з +)/з 2 3 а д а ч а 1. Элемент Ь+Ь-4 при й ) 2 порождает подполе степени ! — <р (й). 2 3 а да ч а 2. Определить группу и подполя полн корней восьмой степени из единицы; выразить зти корни через корни квадратные Зада «а 3. Определить группу н подпола поля корней седьмой степени нз единзцы Капово определя<ощсе уравнение поля 6(»+й ')р Пусть теперь показатель степени и рассматриваемых корней из единицы является некоторым простым числом <!. В этом случае уравнение деления круга выглядит так.
хч — 1 Ф (х) = =хч-'+хт '+...+х+! =О. х — ! Опо имеет степень л ==<) — !. ТЕОРИЯ ГАЛУА (гл, угн Пусть ь — примитивньш корень о-й степени из единицы. Группа классов вычетов, взаимно простых с д, циклична 8 43); следовательно, в эзом случае она состоит из и элементов: и« рл-л где д — «примитивное число! по модулю д, т. е. элемент, порож.
дающий группу к.!ассов вычетов. Группа Галуа является, следовательно, циклической и порождается тем автомор4!измом о, который переводит ь в ье. Примитивные корни из единицы могут быть представлены следующим образом: ь, ье, (е', ..., ье, где ье" =с, Положим где с числами у можно оперировать по модулю Ьетлл (ел Имеем о(Ь!)=о(Ь«!)=(о(Ь))е =(Ье)е =Ге! =С„!. Следовательно, автоморфизм о увеличивает индекс на !. у-крат- ное повторение автоморфизма о дает ол й) = 1! ' Следовательно, автоморфизм о' увеличивает индекс на у. Элементы ь! (!=О, 1, ..., и — 1) составляют базис расширения. Чтобы это увидеть, нужно лишь заметить, чзо они лш!ейио независимы. Действительно, элементы Ь! совпадают с точностью до порядка следования с ь, ..., ь« ', любое линейное соо!ношение между ними поэтах!у означает, что а!ь+...+а .Аь«-!=О, или, после сокращения на ь: а, +а,ь+...
+а . !ье'= О. Отсюда следует, поскольку Ь не удовлетворяет ни одному урав- нению степени, меньшей у — 1, что а,=а,=...=а,=О; следовательно, элементы ь! линейно независимы. Подпола поля деления круга получаются немедленно с помощью подгрупп циклической группы (см. й 7, конец): Если е)=п 207 3 ВО! ПОЛЯ ЛКЛГПИЯ КРУГЛ вЂ” разложение числа и на два полож7етельныт множителя, пю существует подгруппа й порядка 7', сосгпояи!ая аз элементов о', о3', ..., ои и', оп где оп — единичный элемент.
Каждая подгруппа л7ожет быть получена таким способоли Каждой такой подгруппе й соответствует в силу основной теоремы теории Галуа некоторое промежуточное подполе Л, состоящее из элементов, которые выдерживают подстановку о' и, следовательно, все подстановки из й. Такие элементы имеют вид Ьее+ еЬеее+ Ьее-'ее+ ° ° + Ьее Π— П е (У = 0 ° ~ Е 1) (5) Элементы, определенные с помощью (5), следуя Гауссу, называют )-членныл7и периодами поля деления круга.
КажДЫй ЭЛЕМЕНТ Че ВЫДЕРжнааст ПОДС7аНОВКУ Ое И ЕЕ СТЕПЕНИ, по не выдерживает любую другую подстановку группы Галуа. Следовательно, каждый элемент Че поРождает некотоРое пРомежуточное поле Л. Например, возьмем у=О; тогда й = 1(ЧВ) ЧВ ЬВ+ ье + атее + ° ° + ем — Ы е = 1+ ~ее+1л +...+Р ~ Тем самым найдены все подпола поля деления круга (()(Д. Пример. Пусть !!3(ь) — поле корней 17-й степени из единицы: д=!7; п=-!6. Одним из примитивных по модулю 17 чисел является у=3, потому что все классы вычетов, взаимно простые с 17, являются степенями класса вычетов 3 (Гпод 17). Следовательно, базис поля деления круга состоит из 16 элементов: ~7=0: 1 =Р; Существуют подпола степеней 2, 4 и 8. Вот описание каждого пз них. 8-членные периодьс.
~ ! Гь-в ! ~-В ! Ге-3 е-7 ! 373+~3 ! ье3 7! ~3+~ — 7+~3+~3 ! ~ 3 ! ~7 ! ~ 3+~В Легко проверить, что ЧВ+Ч1 = — 1, ЧВЧ, = — 4. Следовательно, элементы Ч, и Ч, являются корнями уравнения у'+у †4, (6) 208 (гл. Угн ТЕОРИЯ ГЛЛУЛ решение которого выгляди) так: Ч = — --- — г' 17. 2 2 4-членно)е периоды: 1 =1+1 '+1-1+Г, гьа+ьгь+ г ьа+ гь- з . гь- в + ьг а+ гьа+ (я 53=1 '+1 '+1'+1' Имеем $е+1з=.Че* $А=--1 $1+$а=Ч) $А= — 1. Следовательно, $а и $а удовлетворяют уравнению х' — т)„х — 1 =О. Равным образом, в) н $з удовлетворяют уравнению х' — т),х — 1 =О.
(8) Эти уравнения указывают па то, что было известно заранее: поле (Ц($а) квадРатичпо пад (ы(Ч,). Рассмотрим два 2-члемных перподи: ).„(1) ~ ! ~- 1 ),(1) 11 ! ьг а Сложение и умножение дают Х(1)+),)з) =5е ),) )), ) =у+1-"+Р+1- =~1, Следовательно, ).)" и л)" удовлетворяют уравнению Л вЂ” $,Л+8, =О. (9) Наконец, сам элемент ь удовлетворяет уравнению ! ~-1 ) 11) илн Корни 17-й степени из единицы могут, следовательно, вычисляться последовательным решением квадратных уравнений. 3 а д а ч а 4. Провести аналогичные рассмотрения для поля корней пятой степени из единицы.
3 а д а ч а 5. Доказать, что т)е, ..., Ч,, составляют некоторый базис поля а. Задач а 6. Показать, что решения квадратных уравнений (6) и (9) вещественны и могут быть построены с помощью пнркуля и линейки. Вывести ото)ода способ построения семнадцатнугольника. До сих пор основным почем пос оянно служило поле рациональных чисел, Предполомсим теперь, что характеристика основ- ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОЛЯ И ДВУЧЛЕИИЫЕ УРАВИЕНИЯ 299 9 ац ного поля К не делит число 9; тогда по-прежнему каждый автоморфизм будет переводить примитивный корень й-й степени из единицы ( в некоторую степень ~", где Х взаимно просто с й: ~л По-прежнему будет выполнено равенство охов ахв.
Следовательно, группа Галуа поля К (9) изоморсрна некоторой подгруппе классов вычетпов по модулю 6, взаимно простых с й. й 61. Циклические полн и двучленные уравнения Пусть К вЂ” основное поте, содержащее корни и-й степени из единицы, в котором п-кратное единичного элемента не равно нулю (т. е. п не делится на характеристику). Тогда: группа Галуа едвучленногоз уравнения хв-а=О (а~О) над К ииклична. Т(оказательство. Если 0 — корень уравнения, то ~9, (з9, ..., Ь" '9 (ГдЕ ~ — ПрнынтнВНЫй КОРЕНЬ И-й СТЕПЕНИ НЗ Едннпцы) — остальные корни этого уравнения '). Поэтому 9 порождает поле корней и любая подстановка из группы Галуа имеет вид 0 ~ч9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
