Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 46
Текст из файла (страница 46)
В ней всегда есть подгруппа индекса 2 — знакопеременная группа Уг1„. Соответствующее промежуточное поле Л имеет степень 2 и порождается любой функцией от ои инвариантной относительно Уг1„но не относительно Я,. Если характеристика поля Н отлична от 2, то одной из таких функций является произведение разностей И ( — ) =)'О |< л квадрат которого равен дискриминангу уравнения (1): О = Ц (о; — о„)'.
г<л Дискриминант является симметрической функцией, т, е. много. членом от и. Следовательно, поле Л мы получаем в виде Л=Л()/В). Для а~4 группа г(„п)госта (у 55); поэтому Я„:э 21„:э 6 (3) — композипионный ряд. Следовательно, группа С„при 0 ) 4 неразрешима и согласно $ 62 отсюда следует знаменитая теорема Абеля: Общее уравнение и-й спгепени при п)4 неразрешимо в радикалах. Для а=2 и и =3 композиционные факторы ряда (3) циклнчны. Для а=2 оказывается даже верным равенство 21„=-6; для и =3 факторы имеют порядки 2 и 3.
Для п=4 имеется композиционный ряд где 6 — «четверная группа Клейна» (1, (! 2) (3 4), (! 3) (2 4), (! 4) (2 3)) 21В твоРия ГАлуА 1Гл Уп! и 3,— ее любая подгруппа порядка 2, Порядки композиционных факторов таковы: 2, 3, 2, 2. Эти обгтоятельсзва лежат в основе формул для решений уравнений второй, третьей и четвертой степеней, которые рассматриваются в следующем параграфе. 5 64. Уравнения второй, третьей и четвертой степеней Решение общего уравнения второй степени х'+- рх+ д = О согласно общей теории должно осуществляться в терминах квадратного корпя; в качестве такового (ср.
конец предыдущего параграфа) можно взять произведение разностей корней х„, х,: х, — х, = ~''0; 0 =- р' — 4д. Отсюда и из равенства х,+хя= — р получаются извесзные формулы — л+ 1: 0 — в — 1'0 х,=, хе=в 2 ' '"' 2 Предположение во всех этих вычислениях только одно: характеристика основного поля не кра~на двум. Общее уравнение третьей степени г + а1г + аяг+ аз = О с помощью подстановки 1 г=х — --а з может быть прежде всего преобразовано к виду х'+ рх+ д = О. Это делается только для упрощения формул, Из доказательства легко усмотреть, как выглядят формулы для решений исходного уравнения г'+а,г'+а,г+а, =О.
(В соответствии с общей теорией решения уравнений, изложенной в предыдущем параграфе, мы предполагаем, что характеристика основного поля отлична от 2 и 3.) Руководствуясь композиционным рядом ~~ л 21~ ~ А 2(9 ЕРАвнення 2.2. а а н 4 а степенен присоединим сначала произведение разностей корней ( — *) (* — * ) (** — *) -)'Р =) -4~' — 2)(' (ср. 9 33, конец, где а,=О, аа=р, аа= — ()).
В результате получится поле Л ()/Ь), относительно которого уравнение имеет группу 91„т. е. циклическую группу третьего порядка. В соответствии с общей теорией из 9 62 присоединим корни третьей степени из единицы ! ! — ! ! р= — -+--~' — 3, р = — — — -р' — 3 2 2 ' 2 2 и затем рассмотрим резольвенты Лагранжа (1„х,) =х,+х,+х,=О, (р, х,)=х,+рх,+раха, (Р', Х,) =Х,+Р'Х,+РХа. (2) Третья степень любого из этих элементов должна рационально выражаться через ) --3 и )/О.
Имеем (р, х,)' = х' ,— ' х'„'+ ха+ Зох!х, + Зрх;ха+ Зрх;ха+ + Зр "х,х., '+ 3,2ахаха(+ Зр "х,х', + бх,хах.„ н соответствующим образом получается (р', х,)' прн замене р на р'. Подставим сюда равенства (1) н заметим, что у о=(х,— 2)(Х,— ха)(х,-х,) = = х)х, +х(ха 1 хфха хаха х А!) - хах) тогда (р, Х)) =- 7 Х) — ' 7 Хека+ 6ХАХЕХа+ 2 27 — оа = 2 Х '--Х ' 3 ча 27 х( 2 ~7 х)ха + бхахаха = — 2 ()) поэтому (р, х!)а= — — (7+ - )У вЂ” 3)/0, Встречающиеся в рассмотренных выражениях симметрические функции согласно 9 33 легко выражаются через элементарные симметрические функции а„ои о„а потому н через коэффициенты нашего уравнения.
Имеем: о,"= ~ х,'+3 ~, х х, + бх х х,=О, так как о,=О; 9 9 Са, 27 — — а,а — — ~ х',х, — — х,х ха = О так как о, = О; 2 2 27 27 — х х,х = — — (). 2 2 а 2 220 !ГЛ, УНЗ теория ГАлуА и точно так же 27 3 (р, х,)з= — — д — — у — З)уЪ. 2 2 Кубические иррациональности (р, х,) и (р', х<) не являются независимыми, именно: (р, х,) (р', х,) =х,'+х.',+х,'+ + (Р + Р') х,х, + (Р+ (з') х,х, + (Р+ Р') х,хз = =- х', + хз + х,' — х,х, — х,х, — х,х, = о, '— Зо, = — Зр.
Таким образом, кубические корни з,г (Р, х,)=)/ — 2 ."<+ )' — ЗА) 2 (3) (р', х,) = следует определить так, чтобы было выполнено равенство (р, х,) (р', х,) = — Зр. (4) Чтобы вычислить корни хз, х„х„умножим уравнения (2) после- довательно на 1, 1, 1, соответственно на 1, р', р н 1, р, р', а затем сложим результаты. Тогда получатся равенства: Зх,= '~, (сю х,) =-(р, х,)+(р', хт), Зх,= 'У, 'ь-'(ь, х,) =р'(р, х,)+ р(р', х,), Зх»=,У,ь '(Е, хт)=р(р, хт)+ р'(р' хт). (5) Формулы (3), (4), (5) — это формулы Кардано. Они сохраняют силу не только в случае «обп<его», но и в случае любого частного кубического уравнения, О вещественности корней.
Если основное поле, содержащее ноэффициенты р, <7 является полем вещественных чисел К, то возможны два случая. а) Ураанеаие имеет олин вещественный и два комплексно сопряженных нория. Очевидно, тогда произведение (х, — хз) (х,— хз) (х,— хз) является чисто мнимым часлом, так что Р ~ О. Величины сс) — ЗР вещественны н а (3) можно а начестве (р, х<) взять третий вещественный корень. В силу (4) элемент (р', х,) будет тогда тоже всн<ественным, н первая из формул (3) представляет зх, кан сумму двух вещественных кубическим корней, в то время как х, и ха предстааляютси как комплексно сопряженные числа. б) Уравнение имеет три вещественных корня.
В этом случае 1 Р— веществснное число и Р з»0. В случае Р=О (два одинаковых корня) рассуждения дословно повторяют предыдущие; в случае Р ~ 0 элементы под знанами кубических корней в (3) будут мнимыми и, следовательно, получаются три (вепюственных) выражения (3) в виде сумм и н и м и х кубических корней, т. е, вы, ажения не в вещественном виде.
221 упав!!ения 2 я. з я и 4 я степенен Это так называемый «лепр«юодимыа случай» кубического уравнения. Покажем, что л такал ситуации делстзительно невозможно решить уравнение хз+ рх+ у = О с помощью вещестаенных ради«алоэ, если тоько оно иа разлалаетса уже в оснознэм лоле К. Итак, пусть уравнение х' +рх+д =-О неразложимо над К н имеет трн вещесэвенных корня х,, х», х». Присоединим сначала 'г' Ъ.
При этом уравнение ие разлагается (потому что поле К ()г Ь), являющееся, самое болыпее, квадратичным, не может содержать корней ьераэложимого кубического уравнения) и его группой будет группа Н». Если бы оказалось возможным добиться разложения с помощью рялз прис!единений вещественных радикалов, показатели которых можно, конечно, считать простыми числами, то среди этих прис«еди. а,— пений нашлось бы критическое присоединение У а (й — простое число), как раз ьх и вызываю!цее разлоагение, в то время как до присоединения корня т' а, скажем, в поле Л уравнение неразложимо. Согласно Е 6( либо многочлен х" — а нера»ложам в Л, либо а является й-й степенью некоторого элемента поля Л.
Последний случай отпадает, пототу что тогда вещественный корень й-й степени из о имелся бы )»ье в Л и его присоединение не могло бы дать разложения уравнения Следовательно, многочлен х' — а неразложим и степень поля Л (ЯГ а) Я га га равна в точности й. В ноле Л(э а), согласно предположению, содержится корень неразложимого над Л уравнения х»+рх+ у=о; следовательно, число Л делится на 3, а потому 6=3 и Л(у~а)=Л(х!) Степень поля разложения Л(хм х», х») над Л также равна 3 и, следовательно, Л(У а)=Л(х», х». х»). будучи нормальным, поле Л(г~ а) должно вместе с ф а содержать и сопри« «,— женные элементы р'ул а и р«тра, а потому и корни из единицы р и р».
Таким образом, мы пришли к противоречию: ведь поле Л (У' а) вещественно, а число р — пег. Общее уравнение четвертой степени г'+ а,г'+ а,г'+ а,г+ ૠ— — О с помощью подстановки 1 4 1 может быть также преобразовано к виду х'+ рхзг)+ х + г = О. Коьпюзнпнонному ряду Са ~ 2(«:з З«:з 32:з 6 соответствует ряд полей: Л с Л ()л'Р) с Л, с: Л, с Х. По-прежнему будет считаться, что характеристика поля Л отлична от 2 и 3. Как мы увидим, развернутое выражение для дискрпминанта нам не потребуется.
Поле Л, порождается над полем Л()ГР) таким элементом, который выдерживает подстановки из 222 [ГЛ УРП ТЕОРИЯ ГАЛУА 'В„но не из й~з. Вот один нз таких элементов; 6, =(х,+х,) (х,+х,). Заметим, кстати, что указанный элемент выдерживает не только подстановки из 2)„но и подстановки (1 2), (3 4), (1 3 2 4), (1 4 2 3) (которые вместе с Зз составляют группу порядка 8).
Над полем б элемент 6 имеет три различных сопряженных элемента, в которые он переводится подстановками из зо4. 61 = (Х1 + Хз) (Аз + А4) ~ 0,=(х,+х,) (х,+х,), 6, = (х, + х4) (хз + х,). Эти элементы являются корнями уравнения третьей степени: 6 610 +616 Ьз О ,о) где Ь,— элементарные симметрические функции от 6„64, 6,: 61=61+61+6з=2 ~„х(хз= 2р, Ь, = ~, 6,6, =- ~~ ~х;х', +3 ~ х";.Тзхз+ОХ(хзхзХ4, Ь,=6,040,= У',х',хзх,+2 ~ х,'х,хзх,+2 У, х,'х",хз+4 ~ х;"х.',х,х,. Элементы Ьз и Ь, можно выразить через элементарные сим- метрические функции а„а„аз, а4 элементов хь С помощью ме- тода из й ЗЗ получаелп а( =,5", х(х,', + 2,У,' х-,хзхз + бх,хзхзх, =,а', азаз = ,з, Х'-(х.,хе+ 4Х,Х,ХзХ4 = О, — 4а, = — 4хзхзх,хз = — 4г Ь, = ~ х(х.', + 3 ~ х',х,х, + бх,хзх,,х, = рз — 4г; 5,' х(х";хз+ 8 ~ х(хзхзх( = О, ~~„Х(Х(Хз — 2 ~~ Х',Х;"ХзХ, = — д а(с лаз у з х(х хз+ 3 х' х(х*хзхз + 3 — а",аз = ,~> ХРХЙХЗХ4 1 аз Ь,= 5", Х',Х."„ХА+2 ~~ Х,'Х,Х,Х, +2~ Х',Х(Хз+4~ Х',Х(Х,Х, = — аЗ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
