Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Тем самым уравнение (б) приводится к виду 6' — 2р6'+ (р' — 4г) 6+ ()' = О, (7) Это уравнение называется кубической реэольвенлтай уравнения четвертой степени; корни 61, 6„6, этой резольвенты по формулам эзн уРлвнення з.з. 3 з н 4 з степгней )4 ((Э,, О„ОЯ) —.Л, Поле Л, получается из поля Л, присоединением элемента, который выдерживает не все четыре подстановки из З„а только подстановки единичную и (например) (12) (34). Одним из таких элементов является х, +ха Имеем хз + хз) (хз + хз) О! н (хз + х6) + (хз + кз) 0 откуда получается, например, что х,+кз=)' — 6,; хз+х,= — 1' — О,.
Точно так же: х,+кз=-.)~ — О,; хз+х,= — 1~ — О„. х1+ К,==1 — Оз, кз+хз —— — ф Оз. к Эти три иррациональности не являются независимыми, так как 1 — О, 1У вЂ” Оз 1' — О, =- (х, + Х,) (х, + хз) (х, + х,) = х( + К1 (хз + хз + хз) + хзхзхз + хзхзхз + хзкзхз + хзхзхз = ъз У\ =-Х1(хз + Хз+ Хз+ Хз) + 1 Кзх,хз — — ~ Хзхзхз =- — Д. Поскольку ч)4 имеет порядок 4 и обладает подгруппой порядка 2, двух квадратичных иррациональностей достаточно, чтобы спуститься от з)з к (а или, что то же, подняться от поля Л к полю У.
Действительно, корни 6 рационально определяются через три элемента х, (которые зависят уже от любых двух среди них); в самом деле, ведь Это — форз|улы решения общего уравнения четвертой степени. Они сохраняют силу и для любого конкретного уравнения четвертой степени. Замечание.
Так как Кардано могут ный корень О подстановок, а поэтому быть шяражены через радикалы. Каждый отдель- выдерживает группу из восьми названных выше все три корня выдерживают лишь группу е)4 и 2Х, ="г — О, +1' — Оз+) — Оз, 2хз - 1/ — О, — у' — 6зз — 1 — О. 2хз = — )У ~~з+ 1' — Оз — 1У вЂ” Оз, 2х. = — 1' — Оз — 1' — Оз+ 1'' — 66 О, — О,= — (х,— х,) (хз — хз), Оз — Оз = —. (х1 — хз) (хз — хз), ~)з — гзз = — (х, — хз) (хз — х,), ТЕОРИЯ ГАЛУА (гл, угп то дискриминант кубической резольвенты равен дискриминанту исходного уравнения. Это дает простое средство вычисления дискриминанта уравнения четвертой степени, поскольку вся информация о кубическом уравнении у нас уже есть.
Имеем 0 = 1бр'г — 4рзг)з — 128р'г' + 144рг)зг — 27д4 + 256гз. 3 а д а ч а !. Группа кубической резольвенты коннретного уравнения четвертой степени является факторгруппой группы исходного уравнения по ее пересечению с четверной группой 1'е 3 а д а ч а 2. Определить группу уравнения кг+кз+к-(- ! =-О.
(См. задачу 3 из 4 37 н предыдущую задачу !.) й 66. Построения с помощью циркуля и линейки Обратимся к рассмотрению следующего вопроса; когда геолгетрическая задача на построение решается с помощью циркуля и линейки ')7 Пусть даны образы элементарной геометрии (точки, прямые или окружности). Задача состоит в том, чтобы с их помощью построить другие образы, подчиненные каким-либо известным условиям.
Присоединим к заданным образам декартову систему координат. Тогда все данные образы можно будет представлять с помощью пар чисел (координат) и то же самое верно относительно конструируемых объектов. Если удастся построить (как отрезки) числа, представляющие последние объекты, то задача окажется решенной. Тем самым все сводится к построению одних отрезков по другим, уже заданным. Пусть а, Ь, ...— заданные отрезки, а х — искомый отрезок, Прежде всего мы можем дать некоторое д о с т а т о ч н о е условие построения искомого отрезка: Если решение х некоторой задачи веществечно и может быть вычислено с помои(ью рациональных операций и извлечений (не обязательно веи(ественных) квадратных корней из виданных отрезков а, Ь, ..., то отрезок х можно построить с помогцыо циркуля и линейки. Удобнее всего доказать эту теорему так, чтобы все комлексные числа р+г)(, участвующие в вычислении отрезка х, можно было изобразить с помощью точек с координатами р, г) на плоскости с прямоугольной системой координат, а все используемые операции можно было изобразить с помощью геометрических построений.
Как это сделать, достаточно хорошо известно: сло- ') По поводу истории вопроса см., например, Штелле (3(е!!е Л. О.). 0)е )(о!!е чоп 2(г)ге! нпб Г(пса! !п г(ег Кг(ес!йзсйеп Ма!)гегпа(!)г.— Оне!!еп ппй 3(пб(еп Сезс)з. Ма!)г., !936, 3, 3. 287. Ф ьз! постепенна с помощью цнгкзля и лингяки 225 жение — это сложение векторов, а вычитание — это обратная операция. При умножении складываются аргументы и перемножаются модули; поэтому, если цн го,— аргументы и г,, г,— модули перемножаемых чисел, то соответствующие значения ц~, г для произведения строятся с помощью уравнений ф=грг+ць и г= ггге или 1: г1=ге'. Г.
Обратной операцией является деление. Наконед, чтобы извлечь квадратный корень из числа с модулем г и аргументом ц~, соответствующие значения гм гр, вычисляются из уравнений ! %=2гун %= 2 В г=г', или 1:г,=г,:г. Тем самым все свелось к известным построениям с помощью циркуля и линейки. Имеет место и обратная теорема по отношению к только что доказанной: Если отрезок х гложно построить с помощью циркиля и линейки из данных отрезков а, Ь, ..., то число х можно полонить с помощью рациональных операций и извлечения квадратных корней из чисел а, Ь, ... Чтобы доказать это, рассмотрим подробнее операции, которые можно осуществлять в процессе построения. Вот они: задание произвольной точки (внутрн заданной области); проведение прямой через две точки; проведение окружности с заданными центром н радиусом; наконец, построение зачин пересечения двух прямых, точек пересечения прямой и окружности или двух окружностей.
Все эти операции можно проследить с помощью координатной системы чисто алгебраически. Если точка берется внутри области произвольно, то мы можем считать ее координаты рациональными числами. Все остальные построения приводят к рациональным операциям, за исключением двух последних (пересеченне прямой с окружностью или пересечение двух окружностей), которые приводят к квадратным уравнениям и, следовательно, к квадратным корням. Тем самым утверждение доказано.
Следует еще отметить, что в геометрической задаче речь не идет о построениях для каждого к о н к р е т н о г о выбора заданных точек; там требуется найти общее построение, ко1орое (при известных ограничениях) приводит к решению задачи. Алгебраически это означает, что одна и та же формула (она может содержать квадратные корни) при всевозможных значениях а, Ь, ..., удовлетворяющих заданным условиям, дает решение х, имеющее смысл и удовлетворя!ощее уравнениям геометрической задачи. Мы можем это высказать и так: уравнения, которыми ТЕОРИЯ ГАЛУА [ГЛ. УН1 спред ляется величина х, а также квадратные корни и рациональ1ые операции, с помощью которых мы рсшазч этн уравнения, до.
жны сохранять смысл, если заданные элементы а, Ь, ... будут заменены на перемен и ые. Так, например, если задается вопрос о выполнимости деления иа три равные части с помощью циркуля и линейки, — в силу формулы соз З~р= 4 созе ср — 3 соз ~р эта задача сводится к решению уравнения 4хь — Зх =- а (я = соз З~р), — то вопрос состоит вовсе не в том, чтобы решить уравнение (1) для каких-то конкретных значений а с помощью квадратных корней, а спрашивается, существует ли общая формула решения уравнения (1) — формула, которая сохраняет смысл при неопределенном значении а. Таким образом, мы свели геометрическую задачу построения с помощью циркуля и линейки к следующей алгебраической задаче: когда величина х может быть выражена с помощью рациональных операций и квадратных корней через заданные величины а, Ь, Осветить на этот вопрос нетрудно.
Пусть Ж вЂ” поле рациональных функций от заданных величин а, Ь, ... Если элемент х должен выражаться с помощью рациональных операций и квадратных корней через а, Ь, ..., то х должен принадлежать полю, которое получается из К последовательным присоединением конечного числа квадратных корней, т. е.
последователь. ным переходом к расширениям степени 2. Если вместе с каждым квадратным корнем присоединять к полю квадратные корни из всех сопряженных элементов, то будут получаться только квадратичные расширения, и в итоге получится нормальное расширение степени 2'", в котором лежит элемент х. Итак: Чтобы отрезок х можно было построить с помощью циркуля и линейки, необходимо выполнение следующего условия; число х принадлежит нормальному расширению поля К степени 2м. Однако впю условие и достаточно. Действительно, группа Галуа поля степени 2м является группой порядка 2м и, как группа, порядок которой есть степень простого числа, оиа р а зр е ш и м а (см З 52) Следовательно, существует композиционный ряд, композиционные факзоры которого имеют порядок 2; согласно основной теореме теории Галуа ему соответствует цепь полей, где каждое последующее поле имеет степень 2 над предыдущим.
Но любое расширение степени 2 можно осуществить присоединением некоторого квадратного корня; тем самым величина х выражается через квадратные корни, откуда и следует утверждение. 4 651 ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ И ЛИПЕПКИ 227 Применим теперь эти общие теоремы к нескольким классическим задачам. Индийская задача Об удвоении куба') приводит к кубическому уравнению х'=2, где а — переменная величина. Неразложимость такого уравнения над полем рациональных функций от а доказать легко: если бы левая часть имела рационально зависящий от а множитель, то у нее был бы множитель, целочисленно зависящий от оц но линейный многочлен от а, коэффициенты которого не имеют общего делителя, очевидно, неразложим. Отсюда, как н выше, получается, что трисекция угла неосуществима с помощью циркуля и линейки. Алгебраически более удобная форма уравнения трисекции угла получается, когда к полю рациональных функций от а = = сов Згр присоединяется величина !э)п Згр = )/ — (1 — созз 3<р) и уравнение записывается для у = соз гр+ ! з 1п ~р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
