Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 49
Текст из файла (страница 49)
фг (х) (р). 231 ВЫЧИСЛВНИЕ ГРУППЫ ГАЛУА й зв1 Следовательно, Группа 4 многочлена 1(х) циклична, так как группа автоморфизмов поля Галуа обязательно циклична (4 43). Пусть з — подстановка, порождающая группу й и представляющаяся в виде циилов следующим образом: (1 2 ... /) (!'+! ...) ... Так как области транзитивности группы й соответствуют неразложимым множителям многочлена 1, то символы, входигцие в циклы (1 2 ... (), (...), ..., должны находиться в точном соответствии с корнями многочленов ф, ф,..., Как только оказываются известными степенями 1, й, ...
многочленов з, оказы. вается известным и тип подстановки: подстановка состоит тогда из одного 1- ~ленного цикла, одного й-членного цикла и т. д. Так кзк в соответствии с приведенной выше теоремой при подходящей нумерации корней группа й оказывается подгруппой группы 1, группа й должна содержать подстановку такого же тило. Так, например, если целочисленные уравнения пятой степени по модулю какого-либо простого числа распадается в произведение неразложимого множителя второй степени и неразложимого множителя третьей степени, то группа Галуа обвзана содержать подстановку типа (1 2) (3 4 5). П р име р. Пусть дано целочисленное ураввение х' †х †. По модулю 2 левая часть разлагается в произведение (хг-(- х + 1)(хг-1- х'-1- 1) а по модулю 3 она неразложима, потому что иначе у нее был бы множитель первой или второй степени, а потому и общий множитель с х' — х (5 43, задача 6); последнее означает наличие общего множителя, вибо с х' — х, либо с хг+х, что, очевидно, невозможно.
Тем самым группа заданного уравнения содержит адин пятичленный цикл и произведение (( й) (! т л). Третья степевь последней подстановки равна (( й), а зта последняя, трансформированная с помощью подстановки (1 2 3 4 5) и ее степеней, дает цепь транспозиций (1 У), (й Р), (р у), (у г), (г г), которые все вместе порождают симметрическую группу. Следовательно, й — симметрическая группа.
С помощью установленных фактов можно построить уравнение произволь. ной степени с симметрической группой; основанием служит следующая теорема: транзитивная группа подстановок л-й степени, содержащая один двойной цикл и один (н — 1) члснный цикл, лвллетсл симметригеской, До к а з а тел ь ство. Пусть (1 2...
л — 1) — данный (и — 1)-членный цикл. Двойной цикл (! /) в силу транзитивности можно перевести в цикл (й л), где й — один из символов от 1 до л — 1. Трансформирование цикла (й л) с помощью пинна (1 2... н — 1) и степеней последнего дает циклы (1 л), (2 н), ..., (л — 1 л), а они порождают всю симметрическую группу. Чтобы на основании втой теоремы построить уравнение и-й степени (а ) 3) с симметрической группой, выберем сначала неразложимый по модулю 2 многочлен л-й степени !т, а затем многочлен )в, который по модулю 3 разлагается в произведение неразложимого многочлена (п — 1)-й степени и линейкого мвогочлена, и, наконец, выберем многочлен )г степени а, который по модулю 5 Разлагается в произведение квадратного множителя и одного или двух множителей нечетньж степеней (все они должны быть неразложимыми по модулю 5).
все это возможно, потому что по модулю любого простого числа существует неразложимый многочлен любой наперед заданной степени 8 43, задача 6). 232 (гл. Уп( ТЕОРИЯ ГАЛУА В заключение выберем многочлен / так, чтобы выполнялись условия: / ив/, (пюб 2), (шоб 3), /ем/з (щоб 5); сделать это всегда возможно. достаточно, например, положить / = — 15/, + 1О/з+ б/з. Группа Галуа будет тогда транзитивной (так как многочлен неразложим по модулю 2) и будет содержать цикл типа (1 2 ... и — 1) и двойной цикл, умно. женный на циклы нечетного порядка.
Если это последнее произведение возвести в нечетную степень, подходянтим образом подобранную, то по.чучится чистый двойной цикл. Согласно приведенной выше теореме группа Галуа будет симметрической. С помощью этого метода можно доказать не только существование уравнений с симметричесиой группой Галуа, по и нечто большее: именно, асимптотически все целочисленные уравнения, коэффициенты которых не превосходят границу А(, стремящуюся к со, имеют симметрическую группу. См в а н де р В а рде н (чап бег %аег<$еп В.
1..).— Май, Апп„1931, 109, 3 13. Существуют ли уравнения с рациональными коэффициентами, группа Галуа которых является произвольно заданной группой подстановок,— нерешенная проблема; см. по этому поводу Неге р (Ыоейег Е.), С!е!с1шпйеп гпц чогйезсЬПеЬепег Сгнрре.— Ма1Ь. Апп., 19!7, 78, Б. 221 — 229, 3 а да ч а 1. Какова группа Галуа уравнения хз+2хз+х+3=0 над полем рациональных чисел? 3 а д з ч а 2.
Построить уравнение шестой степени, группа которого является симметрической. 5 67. Нормальные базисы Под нормальным базисом гп„..., гп„расгпирения Х поля Л подразумевается такой базис, у которого элементы газ переставляются группой Галуа тп: огоз=пг, для каждого о ~ Е. Можно доказать, что нормальный базис всегда существует. Доказательство, которое мы здесь приведем, следуя Артину '), относится к случаю бесконечного основного поля Л. Случай конечного поля мы рассмотрим позднее. Пусть а = а, — примитивный элемент и /(х) — минимальный многочлен для а: х. = А (а), / (а) = О, В кольце Х(х) многочлен /(х) полностью разлагается на линейные множители: /(х) =(х — а,) ...
(х — сс„). (1) з) А р т и н (Агни Е,), Оа!о1э йеогу,— Хо(ге Вате, 1944, ззз НОРМАЛЬИЪ|Н БАЗИСЫ Элементы о„ ..., о„ группы 15 переводят а в сопряженные элементы ои ..., а„, являющиеся попарно различными. При подходящей перенумерации автоморфизов и, получаются равенства о,а=а» (й=1, ..., и). (2) Построим кольцо классов вычетов кольца многочленов Х [х] по модулю многочлена 1(х): «« = Х [х]((( (х)). Элементы кольца Р представляются многочленами с коэффициентами из Х степени не выше, чем и — 1: д(х) =и»+д,х+...+д„,х"-'. (3) д (~) = ~ д»[)» = х~ с«»а«р», » «, » (4) где все «и й пробегают значения от О до п — 1.
В кольце классов вычетов )7 лежат два изоморфных подпола Х вЂ”.=Л(а) и У.'=Л(р). Каждь«й элемент из»«согласно (4) однозначно представляется в аиде суммы произведений а«р», составленных нз базисных элементов а' поля Х и базисных элементов р» поля Х', с коэффициентами из Л. Кольцо )7 называется прл»«»А»« произведением алгебр Х и Х' над Л и обозначается через )« =Х хХ'.
Покажем, что ««представляется как прямая сумма л изоморфнык полей К«..... К, Согласно интерполяционной формуле Лагранжа каждьш миогочлеи ««(х) из Х [х] степени, не большей и — 1, представляется с помощью и значений д(а«), ..., г«(а,) в виде д(х) = ~~ Р»(х) п(а„). (5) При этом Р» (х) является многочленом из Х [х], который в точке а„принимает значение 1, а в остальных точках а, равен нулю: Р»(х) =]Ц (໠— а«)1 11 (х — а). 1«ф» 1 (б) Если опять перейти к классам вычетов по модулю Г'(х), то из (5) получится ~ ([)) == ~, е»д (а»), (7) Константы д«, являющиеся классами вычетов, как обычно, будут отождествляться с элементами поля х'.
Класс вычетов, который представляет переменная х, обозначим через б. Тогда класс вычетов, который представляет многочлен д(х), имеет вид 234 игл. нш ТЕОРИЯ ГАЛУА где (8) е„= Р, (р). В равенстве (7) слева стоит совершенно произвольный элемент (4) из кольца Р. Коэффициенты д(я„) справа являются элементами поля Х. Из (7) следует, что элементы е„..., в, составляют некоторый базис кольца )т над полем Х: Й = е„Х + е, Х +... + елХ. (9) Выберем в (7) в качестве а константу 1; тогда получится л 1 = ~Ч~ ем ! (10) Произведение двух многочленов Р,(х) и Р,(х) при )'~й делится на г (х). Если перейти опять к классам вычетов по модулю г" (х), то получится ее,=О (/~а). (11) / Умножим (!0) слева и справа на е~, тогда получится ЕГЕà — — Е,.
(12) Когда у пробегает поле Х, произведения в,у пробегают поле е;Х, изоморфное полю Х, потому что сопоставление у е,у является, очевидно, изоморфизмом. Единичным элементом в е;Х является ер Выберем в (7) в качестве а(х) многочлен с коэффнпиентами из Л; тогда слева получится произвольный элемент дф) поля Х'. Умножим обе части в (7) еще на е,; тогда получится е,д (~)) = е,д (ос~). (13) Если а(р) пробегает все элементы из Х', то а(ат) пробегает все элементы из Х; таким образом, из (13) получается е;Х'=е,Х. (14) Итак, разложение (9) можно записать также в виде Р = е,Х'+... + елХ', (15) т.
е, элементы е„..., е„составляют некоГпорый базис кольца Р над полем Х'. Автоморфизмы о поля Х могутбыть распространены на кольцо Х [х), если условиться, что они сохраняют переменную х: х" ==х. Таким образом, автоморфизм о будет действовать лишь на коэффициенты ал многочленов (3). Если теперь опять перейти к классам вычетов по модулю 7(х), то получатся автоморфизмы о,, ..., о„ кольца Р, которые переставляют между собой элементы а„..., а„, но каждый элемен1 поля Х' оставляют на месте. 2зб ИОР»тлльиые БАзисы В частности, применим автоморфизм и, к определенному с помощью (6) многочпену Р,(х); тогда получится о»Р, (х) =Р„(х), (16) и, следовательно, Отсюда следует, что о„е, = е„.
ое, =о(о»е,) =(оо») е, =о,е, =еи (17) Р» (х) = ~, ивом (х), (18) где р;»(х) — многочлены с коэффициентами из Л. Опять-таки пе- рейдем к классам вычетов; получим е„= ~ч, и,лм, где лм — классы вычетов многочленов р;»(х) по модулю Г'(х). Так как е„составляют линейно независимый базис кольца тс' над полем Х', то определитель элементов лы отличен от нуля. Следовательно, определитель Р (х) многочленов ргя (х) отличен от нуля. Так как основное поле предполагается бесконечным, в качестве х можно подобрать такое значение а из Л, что Р(а) = Ре((р;„(а)) ~0.
(19) Подставим это значение а в (18); тогда получатся новые базисные элементы о, = Р„ (а) = ~ч ', и;р,„ (а), (20) которые в силу (19) состав.тают линейно независимый базис поля Х над Л. Применим к и, = Р,(а) автоморфизм о»; тогда в силу (16) получится, что о»о =огь т. е. о„..., и„составляют некоторый нормальный базис поля Х над полем Л. Тем самым случай бесконечного поля Л рассмотрен полностью. Если Л является коиеяиым полем из о=рм злемеитов, то и л является коиечиым. Группа Галуа поля 2 иад Л состоит тогда из степеней Е о, и', ..., о" ' (о" =!) Таким образом, элементы е„..., е„составляют некоторый нормальный базис кольца Р над полем Х'. Пусть теперь и„..., и„— произвольный базис поля Х над подем Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
