Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Вместе с символом ао обозначающим корень многочлена (,(х), мы опре- деляем на основе 9 39 поле Р, = Р,,(а;) как совокупность всех сумм в — ~ ~~ ока,, в где и — степень многочлена ),(х). Если (;(х) линеен, то, конечно, мы полагаем Р; = Ры,, символ а~ в этом случае не нужен. По- строенное поле вполне упорядочивается с помощью следующего и — ~ Х условия: каждому элементу поля ~ ', охи сопоставим многочлен 4 л — ~ ~~ сххх и элементы поля упорядочим точно так же, как упоряч дочены соответствующие им многоч тены.
247 АлгеггРАически злмкггутые пОля 4 ге! Очевидно, тогда Рг, является отрезком в Рь а потому н Р— отрезок в Ро Тем самым поля Р„..., Р„построены и вполне упорядочены. Поле Р„является искомым однозначно определенным полем Р (а„..., а„), Л е м м а 4. Если в упорядоченном множеспгве гголей каждое предгггеспгвуюи4ее поле является подполем последуюи(его, то объединение этих полей является полем.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любых двух элементов а, р объединения существуют два поля т„Ха, которые содержат а и р и из которых одно предшествует доугому. В объемлющем поле определены элементы а+() и а (! и именно гак опред"ляются эти элементы в каждом из полей, сод ржащих а и (), нагому что из любых двух таких полей одно предшествует другому и является его подполем. Например, чгобы доказать закон ассоциативности ар у=а ру, найдем среди полей Х„ХЕ, Х то, которое содержит два других поли (наибольшее); в этом поле содержатся а, р и у и в нем закон ассоциативности выполнен, Тем же способом проверяются все остальные правила вычислений с элементами объединения. Доказательство основной теоремы распадается на две части: построение поля (! и доказательство единственности.
Построение поля и доказательство единственности проводятся с помощью трансфинитной индукции в смысле 4 7!. Построен не пол я 42. Лемма 1 свидетельствует о том, что для построения алгебраически замкнутого расширения о поля Р достагочно построить такое алгебраическое расширение поля Р, чтобы каждый многочлен из Р(х) разлагался над этим расширением на линейные множители.
Будем считать, что поле Р, а потому и кольцо многочленов Р(х), вполне упорядочены. Каждому многочлену Г(х) сопоставим сголько новых символов а„...,а„какова его степень. Далее, каждому многочлену ) (х) сопоставим два вполне упорядоченных поля Рп Хм которые определяются следующим рекуррентиым способом. !. Поле Рг является объединением поля Р и всех полей Хе для д~). 2. Поле РГ вполне упорядочивается так, чтобы Р и все поля Хе при д() были отрезками в Рр 3. Поле Хг получается из Р7 присоединением всех корней мпогочлена 7 с помощью символов а,, ..., а„в соответствии с леммой 3.
Нужно доказать, что таким способом действительно однозначно определяются вполне упорядоченные поля Р7, Хг, если 24В весконечныа Рлсшиявния полни !Гл. х только уже определены все предыдущие Р, Х,, удовлетворяющие перечисленным выше требованиям. Если выполнено требование 3, то прежде всего Рт — отрезок в Хь Из этого и из требования 2 следует, что поле Р и каждое поле Х (д - !) являются отрезками в Х!. Предположим, что рассматриваемые требования выполнены для всех предыдущих индексов 1, так что Р— отрезок в Хъ при й()', Х вЂ” отрезок в Х„при д(6((.
Отсюда следует, что поле Р и поля Хь(Ь(() составляют множество зого типа, о котором говорит лемма 4. Следовательно, объединение этих полей снова является полем, которое в соответствии с требованием ! мы должны обозначить через Рь Структура вполне упорядоченного поля на Р! однозначно определяется требованием 2, потому что любые два элемента а, Ь из Р! принадзежат одному из полей Р или Х и поэтому связаны отношением а(Ь или а) Ь, которое должно сохраняться в Рь Это отношение порядка является одним и тем же во всех полях Р или Х,„которые содержат как а, так я Ь, потому что все эти поля явтяются отрезками друг друга. Итак, отношение порядка определено.
То, что оно определяет вполне упорядоченное миожешво, очевидно, так как каждое непустое множество 13! в Р! содержит по меиыпей мере один элемент из Р или из некоторого поля Х„а потому и первый элемент из 2!)()Р ила из 33(()Х . Эзот элемент одновременно является и первым элементом в ЭЯ. Таким образом, поле Р~ вполне упорядочивается с помощью требоваяий ! и 2. Так как поле Х~ однозначно определяется требованием 3, поля Р! и Х! построены.
В силу условия 3 миогочлен ) (х) полностью разлагается на линейные множители в поле Х!. Далее, с помощью трансфинитной индукции показывается, что Х~ является алгебраическим над Р. Действительно, предположим, что все поля Х~(д(Д уже алгебраические. Тогда и их объединение с полем Р, т. е.
поле РЬ алгебраическое, Далее, поле Х! в силу условия 3 алгебраично над Рь а потому алгебраично и над Р. Составим теперь объединение (2 всех полей Х!', согласно лемме 4 оно является полем. Эзо поле алгебраично над Р и над ним разлагаются все многочлены ( (так как каждый многочлеи (' разлагается уже пад Х;). Следовательно, поле (! алгебраически замкнуто (лемма !). Единственность поля й. Пусть (! и й' — два поля, являющиеся алгебраическими и алгебраически замкнуть1ми расширениями поля Р.
Докажем эквивалентность этих полей. Для этого будем считать, что оба поля вполне упорядочены. Построим Алгввгличвски зхыкнутыв поля 949 для каждого отрезка 91 из 11 (само поле Ы закже считается одним из таких отрезков) подмножество»1' в Й' и некоторый изоморфизм Р (Л) '==. Р (91'). Последний должен удовлетворять следующим рекуррснтным соотношениям. 1. Изоморфизм Р(Л) =:Р(А') должен оставлять каждый элемент поля Р на месте. 2. Изоморфизм Р(21)ыР(91') при 6~'Л должен быть продолжением изоморфизма Р (6) = Р (6'). 3. Если 91 обладает последним элементом а, так что 91 =6() (а), и если а — корень неразложимого в Р(6) многочлена )(х), то элемент а' должен быть первым корнем соответсзвующего в силу Р(6) =-Р(6) многочлена 1'(х) во вполне упорядоченном поле 1»'.
Нужно показать, что этими тремя требованиями действительно определяется изоморфизм Р (Л) =- Р(91'), если только он уже определен для всех предыдущих отрезков 6с: 'Л. Здесь необходимо различать два случая. Первый случай. Множество 91 не имеет последнего элемента. Тогда каждый элемент а принадлежит некоторому предыдущему отрезку 6; поэтому Л является объединением отрезков 6, а потому Р(Л) — объединением полей Р(6) для 6~91. Так как каждый из изоморфизмов Р(6)=Р(6') является продолжением всех предыдущих, то каждому элементу а при всех этих изоморфизмах сопоставляется лишь один элемент а'.
Поэтому существует одно и только одно отображение Р (Л) — Р (91'), продолжающее все предыдущие изоморфизмы Р (6)-~- Р (6'), а именно — отображение а - а'. Очевидно, оно является изоморфизмом и удовлетворяет требованиям 1 и 2. Ваюрщ) случай. Множество Л имеет последний элемент а; следовательно, Л=6() (а). Вследствие требования 3 элемент а', сопоставляемый элементу а, однозначно определен. Так как а' над полем Р(6') (в смысле рассматриваемого изоморфизма) удовлетворяет атому же» неразложимому уравнению, что и а над Р (6), то изоморфизм Р(6)-»Р(6') (и в том случае, когда 6 пусто, т. е. тождественный изоморфизм Р- Р) продолжается до изоморфизма Р(6, а) — »-Р(6', а'), при котором а переходит в а' (9 41).
Каждым из приведенных выше требований этот изоморфизм определен однозначно, потому что каждая рациональная функция ~р (а) с коэффициентами из 91 обязательно переходит в функцию ~р'(а') с соответствующими коэффициентами из 6'. То, что так определенный изоморфизм Р (Л) — Р (Л') удовлетворяет требованиям 1 и 2, очевидно. Тем самым построение изоморфизма Р (Л)- Р (Л') завершено. Обозначим через 12" объединение всех полей Р()!'); тогда существует йоо БЕСКОНЕЧНЫЕ РЛСШИРЕННЯ ПОЛЕЙ 1ГЛ Х изоморфизм Р (2) -«-ь)" или ь) — е Р", оставтяющий на месте каждый элемент поля Р. Так как поле П алгебраически замкнуто, таким же должно быть и Р", а потому П" совпадает со всем полем П'.
Отсюда следует эквивалентность полей П и П'. Значение алгебраически замкнутого расширения данного поля состоит в том, что с точностью до эквивалентности оно содержит все возможные алгсбраические расширения этого поля. Точнее: Если П вЂ” алгебраически зихгкнутое алгебраическое росишрение поля Р и Х вЂ” произвольное алгебраическое расширение поля Р, то внутри Р сущестггвует рисширение Хз, эквивалентное расширеншо л'. Доказательство. Продолжим д до некоторого алгебраически замкнутого алгебраического расширения П'. Оно будет алгебраическим и над Р, а потому эквивалентным расширению П.
При каком-то изоморфизме, переводящем П' в П и сохраняющем неподвижным каждый элемент из Р, поле д переходит в некоторое эквивалентное ему подполе де в П. Зада ч а. )доказать существование и единственность расширения поля Р, которое получается присоединением всех корней задавного множества много- членов из Р (х). 3 а и е ч а н и е. Вместо траисфинитной индукции в таком доказательстве, как приведенное в атом параграфе, можно использовать лемму Цорна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
