Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 57

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 57)

в алгебраически замкнутом алгебраическом расширении поля ч)) можно выделить не одно подполе, а целое семейство подполей, каждое из которых алгебраически эквивалентно полю вещественных алгебраических чисел, и это семейство можно охарактеризовать алгебраическими свойствами. При определенном выборе такого поля, элементы которого можно определить как «вещественные», модули и положительность вводятся чисто алгебраически. Но прежде чем перейти к этой алгебраической теории, напомним обычное в анализе введение вещественных и комплексных чисел; мы сделаем это ие по причинам логической необходимости, а для того, чтобы была яснее соответствующая задача чисто алгебраической теории, предполагающей уже известным факт существования вещественных и комплексных чисел, а также ввиду принципиального значения понятий упорядочения и фундаментальной последовательности, ггл хг Вещественные поля 5 77.

Упорядоченные поля В этом параграфе аксиоматически исследуется первое неалгебраическое свойство — положительность, а также основанное на нем понятие упорядочения, Поле К называется упорядоченным, если для его элементов определено свойство быть положи тельнь м (обозначается: ) 0), удовлетворяющее следующим условиям: 1. Для каждого элемента а из Н имеет место ровно одно из соотношений: а=О, а) О, — а)0. 2. Если а) 0 и Ь) О, пго а+Ь=» 0 и аЬ) О, Если — а)0, то ыы говорим, что элемент а отрицателен. Если в некотором упорядоченном поле мы определим соот- ношение а)Ь (словами: а больше Ь) (или Ь(а; словами: Ь меньше а), как имеющее место тогда и только тогда, когда а — Ь)0, то без труда показывается, что получится упорядочение, удовлетворяющее аксиомам. В самом деле для любых двух элементов а, Ь либо а(Ь, либо а=Ь, либо а)Ь.

Из а)Ь и Ь)с следует, что а — Ь ) 0 и Ь вЂ” с ) О, так что а — с =- (а — Ь) + (Ь вЂ” с) ) 0 и, следовательно, а)с. Далее, как и в й 3, имеет место следующее правило: из а) Ь следует, что а+с) Ь+с, а в случае с ) 0 — и соотношение ас) Ьс. Наконец, если а и Ь положительны, то из а ) Ь следует, что а-' ( Ь-' (и наоборот), так как аЬ(Ь-' — а-') =а — Ь. (аЬ! =а( ) Ь~, )а+Ь(((а)+(Ь|. Первое без труда проверяется случаев: а)0, а)0, а<0, а<0, для всех четырех возможных Ь'=-0; Ь<0; Ь)0; ь<о. Второе правило, очевидно, имеет место при одинаковых знаках, так как в этом случае обе части соотношения (левая и правая) Будем подразумевать под абсолютной величиной или модулем )а~ ~произвольного элемента а некоторого упорядоченного поля неотрицательный из элементов а и — а; тогда будут выполнены следующие правила: 267 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ ф 771 являются неотрицательными элементами, равными а+Ь при а»0, Ь»0 и — (а+Ь) при а(0, Ь(0.

Из четырех возможных случаев остается рассмотреть лишь оставшиеся два; достаточно рассмотреть один из них: а»0, Ь(0. В этом случае а+Ь(а(а — Ь =-' ,а 11+|Ь |, — а — Ь =. — Ь =' а — Ь = ' .а ~ + ~ Ь | и, следовательно, Кроме того, ~ а + Ь ! «=- ', ,а , ,'+ ! Ь!. аь = ( — а)' = ~ а ~'» 0 с помощью умножения на с' следует, что Ьс) О, соответственно Ьс=О, соответственно Ьс(0. Тем самым любой порядок на К однозначно определяется угюрядочением на Я. Обратно, легко показывается, что с помощью условия: — )О, если Ьс)0, Ь с упорядочение на Н фактически определяется и при этом сохраняется упорядочение на Я. В частности, поле рациональных чисел (1( может быть упорядочено только одним способом, потому что кольцо л, целых чисел допускает, очевидно, только один — естественный — порядок.

Таким образом, т/и О, если т и — натуральное число. Каждое упорядоченное поле содержит поле ((( и сохраняет на последнем его естественный порядок, со знаком равенства лишь при а =О. Отсюда следует, что сумма квадратов обязательно больше или равна нулю, причем равна нулю лишь при нулевых слагаемых. В частности, элемент 1 =1' всегда положителен, как и суммы и 1 —.— 1+1+ ... +1. Поэтому никогда не может быть выполненным равенство и 1 =-О. Следовательно: характеристика упорядоченного полл равна нулю.

Лемма. Если Н вЂ” поле частных ко.7ьиа Я и колы1о Я упорядочено, то поле К можно упорядочить и притом только одним способом так, чтобы полученное упорядочение на Я совпадало с исходным. Действительно, пусть К упорядочено нужным способом. Произвольный элемент из Н имеет вид а=Ыс (Ь и с лежат в Я и с~=О). Из Ь Ь Ь вЂ” ) О, соответственно — = О, соответственно — (О, с с с вещее! иенныв поля !ГЛ Х1 Лва упорядоченных поля называют порядково изоморфными, если существует изоморфизм между этими полями, переводящий положительные элементы в положительные. Упорядоченное поле называется архимедовьгл« '), если при заданном упорядочении для каждого элемента поля а существует «натуральное числов п)а.

Тогда для каждого а есть и число 1 — п(а, для каждого положительного а существует дробь — < < а. Например, поле рациональных чисел архимедово. Если упорядоченное поле не является архимедовым, то существуют «бесконечно большие» элементы, превосходящие каждое рациональное число, и «бесконечно малые», которые превосходят нуль, но меньше любого рационального числа. Литература о неархимедовых полях А р т и н н Ш р а й е р (Агни Е, Бснге1- ег 0 ) А1йеЬга1«сне Коп 1гнй(юп гее1ег Когрег — АЬЬ М«ЬЬ Чегп Бпш.

НагпЬнгй, 1926, Б, 8. 83 — 1!5, В э р (Ваег н ) !)Ьег пгсЬ(агсьипеб~зсЬ йеогбпе1е Когрег.— 5Н«цпйзьег Нен!е!Ь. А!«аб, 1927 8 АЬЬ 3 а д а ч а 1. Назовем много«лен ((1) с рациональными коэффициентами положительным, если иозффициент прн старшей степени переменной положителен Показать что таким образом определяется нехоторос упорядочение ионна многочленов Гг[([, а потому и поля частных О (1), причем зто последаее упорядочение не является архимедовьгм (элемент 1 «бесконечно велике) Зада ча 2. Пусть [(х)=х" +а,х" «+ ., +а„, где аг принадлежит неиоторому упорядоченному полю К.

Пусть М вЂ” наибольший из элементов 1 и [а,,,'+ ... +~ а„[ Поназать, что 1(г) ) О для а ) М, ( — 1)л( (а) ) О для з ( — М. Следовательно, если у 7'(х) есть «орви в К, то все они принадлежат области — М(з(М 3 ад а ч а 3 Пусть по-прежнему ((х) =х" +а,х" «+ ..+а„и все коэффициенты а, больше или равны неиоторому элементу — с, где с)О. Показать, что ((а) ) О для з) 1+с (Воспользоваться неравенством з" ) с(зм «+зм з+ .. +1) ) С помощью замены х нз — х определить тем же способом границу — 1-с' таи, чтобы было ( — 1)" Г'(а) ) О для з ( — 1 — с'.

Всчи, кроме старшего козф. фициента 1, и все а,, а, положительны, то границу !+с можно заменить с 1+а,+ . +а,' г) Аксиома Архимеда в геометрии звучит тан если Р, Я вЂ” любые заданные точки, то, отложив любой заданный ненулевой отрезок («единичный стрезва») от точки Р («нулевой точки») в направлении Р«1 достаточно много раз. можно перешагнуть через точку Г«. 269 З «»1 определение ве1цественных чисел 5 78. Определение вещественных чисел Для каждого упорядоченного поля К мы построим упорядоченное расширение ьв, в котором окажется выполненной известная теорема Коши о сходимости.

В частности, если Н вЂ” поле рациональных чисел, то й будет полем «вещественных чисел». Из различных известных в анализе способов построения поля 1« мы предложим здесь каиторов способ «фундаментальных последовательностей». Бесконечная последовательность элементов а„ а„ ... Из некоторого упорядоченного поля К называется грундаментальной последовательностью (а,'„если для каждого положительного е из К существует натуральное число и = и (в) такое, что ~ар — а«~(е для р)п, у)л. (1) Из (1) для у=а+1 следует, что (ар)~~а«)+~ар — а„~((а„,',+Е=М при р)п. Таким образом, каждая фундаментальная последовательность ограничена.

Сумма и произведение фундаментальных последовательностей определяются равенствами с„= а„+ Ь„; в(„а„Ь„. То, что сумма и произведение тоже являются фундаментальными последовательностями, показывается так: для каждого е)0 существуют п, и л«такие, что 1 ~ а, — а, ~ ( 2- Е ПрИ р ) ль Д ) и;1 1Ь вЂ” Ь«) ( — е при р) пв, а) л,. 1 Пусть л — наибольшее из чисел п„п;1 тогда ~ (ар+ Ьр) — (а + Ь„) ( е для р ) п, в) ) и. Аналогично, пусть М, и М, таковы, что 1ар((М, при р)п„ 1Ьр~(М» пРи Р)л„ и, далее, для каждого е)0 пусть л')л» и л")и, таковы, что (ар — а ~( — при р)п', д)л', )Ь вЂ” Ь (( — при р)п, а)л, 270 ггл хг Ввшвственныв поля Отсюда с помощью умножения на ~~Ь»~, соответственно на ~а ~, получаем )а»Ь» — а«Ь»!<-~ при р>и, г7)гг, )а«Ь» — а«Ь«)( 2 при р)п", г7)гг". Следовательно, если и — наибольшее нз чисел и' и и", то ~а»Ь» — а«Ь, ~ (е пРи Р) и, 7) п.

Очевидно, что сложение и умножение фундаментальных последовательностей удовлетворяют аксиомам кольца; таким образом: фундаментальные последовательности образуют некоторое кольцо с. Нуль-последовательностью называется фундаментальная последовательность )а»), которая «сходится к Огь т. е. такая, что для любого в)0 существует и со свойством )а»~ -е при р)и. Покажем, что Нуль-последовательности образуют в о некоторый идеал и.

Доказательство, Если (а») и )Ь») — нуль-последовательности, то для каждого е- 0 существуют и, и и, такие, что )а ~ --- е для р)п„ ! ~Ь~( — е дя р)п;, 1 следовательно, если опять обозначить через п максимальное из чисел и„и„то ~໠— Ь»~ е для р и, откуда )໠— Ь ) — нуль-последователщгость. Далее, если ~а )— нуль-последовательность, а (с ) — произвольная фундаментальная последовательность, то существуют такие и' и М, что (с», '.М при р)и', при этом для каждого е- 0 существует такое и~и(в))и', что ~а»~(-- при р)гь Но тогда (а»с»!<в при р>и; следовательно, )а с») — нуль-последовательность.

Обозначим кольцо классов вычетов ь7и через Я. Покажем, что Я является полем, т. е. покажем, что сравнение ах=! Ог) (2) 27! опгвдвлвниа ввщвстввиных чисел з тт! в кольце о при аН!зО(и) обладает некоторым решением. При этом символ 1 обозначает единичный элемент в а, т. е. фундаментальную последовательность (1, 1, ...). Должны существовать и и ч) 0 такие, что ; ат ~ '=Ч при д > п. Действительно, если бы для всех п и всех Ч)0 выполнялось неравенство !а,!<Ч (д)п), то можно было бы выбрать п при заданном ч настолько большим, чтобы при р)п, д)и выполнялось неравенство ,'а,— а,! =ч; отсюда следовало бы, что !' а ! < 2т! для всех р) и, т.

Характеристики

Список файлов книги