Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Последовательность многочленов Х, Х„..., Х, называется рядом Штурма многочлена 1(х). Таким образом, теорема утверждает, что число корней между Ь и с задается числом перемен знака в ряду Штурма, потерянных при переходе от Ь к с. Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, последний многочлен Х, указанного ряда является наибольшим общим делителем многочленов Х=1(х) и Х,=-)'(х). Если считать, что все многочлены ряда разделены на Х„то 1(х) будет освобожден от кратных линейных множителей, а число перемен знака в точке а, не являющейся корнем, останется прежним.
Действительно, зяаки членов ряда прн таком делении либо все изменятся, либо все сохранятся. Поэтому мы можем считать с самого начала доказательства, что описанное деление уже осуществлено и последний член в ряду является ненулевой константой. Второй член в ряду в общем случае уже не будет производной первого, так как, если, скажем, г( — некоторый 1-кратный корень многочлена 1(х) и Х =1 (х) = (х — й)' а (х), д (й) Ф О, Х„=1' (х) =1(х — д)'-ту(х)+(х — й)'д' (х), т) Под знаком числа с мы подразумеваем один из символов +, — или О в зависимости от того, положительно, отрицательно или равно нулю число с. Переменой в последовательности знаков + и — считается любой случай, когда за + следует — или за — следует + . Если в последовательности знаков участвуют и пули, то при подсчете числа перемен знаков они просто не принимаются во внимание.
281 кОРни вещественных Функций $7и то удаление множителя (х — д)7-' даст два многочлена: Х=(х — 71)д(х), Х,=1 д(х)+(х — д)е'(х), а наличие других кратных корней 71', 7(", ... вызовет дальнейшее сокращение. Обозначим так измененные многочлены ряда Штурма вновь через Х = Х„Х,, ..., Х„. При этом предположении в любой точке а два последовательных члена ряда не равны одновременно нулю, потому что, если бы, скажем Х»(а) и Х»н(а) одновременно были равны нулю, то из равенств (1) можно было бы заключить, что и Х„(а), ... Х,(а) равны нулю, в то время как Х,=сонэ(чьО. Корни многочленов в ряду Штурма разбивают интервал Ь= (х=--с на подынтервалы. Внутри любого такого подынтервала ни Х, ни Х„не обращаются в нуль, а по теореме Вейерштрасса о корнях отсюда следует, что внутри каждого такого интервала все многочлены ряда Штурма сохраняют свои знаки, так что число 7Ф(а) сохраняется неизменным.
нам, следовательно, нужно еще только выяснить, как меняется число п7 (а) в точке д, в которой равен нулю один из многочленов ряда. Пусть сначала 7( — корень многочлена Х» (0(А(г). В силу равенства ,=7',7»Х — Х . числа Х»,(й) и Х„,,ф) обязаны иметь разные знаки. Тогда и в двух подынтервалах, примыкающих к точке »(, многочлены Х„, и Х... имеют разные знаки. Каков знак многочлена Х» (+, — или 0), для числа перемен знака между Х», и Х„„ не имеет значения: всегда есть ровно одна перемена.
Следовательно, число и7(а) не меняется при переходе через точку 7(. Пусть теперь 7( — корень многочлена 1(х) и в соответствии со сделанным выше замечанием Х = (х — 71) д (х), д (7() Ф О, Х, = 1. и (х) + (х — 71) д' (х), где 1 — некоторое натуральное число. Знак многочлена Х, в точке д, а потому и в двух примыкающих интервалах, совпадает со знаком числа е (Н), в то время как знак многочлена Х в каждой точке х равен знаку многочлена (х — г() »7 (й). Следовательно, при а < 7( имеется перемена знака между Х(а) и Х,(а), а при а)»( — нет.
Все же остальные перемены знака в ряду Штурма, как уже было показано, сохраняются при переходе через точку 7(. Следовательно, число 7а(а) при переходе через 71 уменьшается на единицу. Теорема доказана. Если теорема Штурма применяется для определения числа корней (различных вещественных) многочлена )'(х), то в качестве 282 Вещнстненнык поля [Гл. х! границы Ь нужно взять настолько малое число, а в качестве границы с — настолько большое число, чтобы при х<Ь и при х>с многочлен вообще не имел корней. Достаточно, например, положить Ь = — М и с = М, Удобнее, однако, выбирать Ь и с так, чтобы все многочлены в ряду Штурма при х( Ь и при х>с не имели корней.
Тогда их знаки будут определяться знаками их старших коэффициентов: миогочлен аахм+а!к -'+... при очень больших значениях х имеет знак числа а„а при очень малых (отрицательных) значениях х — знак числа ( — 1) а,. При таком подходе не приходится думать о том, как велики должны быть числа Ь и с; нужно лишь определить старшие коэффициенты а, и степени и[ многочленов Штурма. 3 а д а ч а !. Определить число вещественных корней ьшогочлена ха — бхз+ 8х — 8.
Между какими последовательными целыми числами лежат эти корни? Задач а 2. Если последние два многочлена Х, г, Х, в ряду Штурма имеют степени 1 и О, то можно вычислить и константу Х (или ее знак, это только и нужно), подставляя корень многочлена Х„, в многочлен Х„з.
Зад а ч а 3. Если при вычислении ряда Штурма встретится многочлен Хь, который нигде не меняет своего знака (напрнмер, сумма квадратов), то ряд можно оборвать на этом члене. Точно так гке можно каждый многочлен Х», обладающий всюду положительным множителем, сократить на этот множитель и продолжать вычисления с этим измененным Х». 3 ад а ч а 4. Используемый при доказательстве теоремы Штурма много- член Х, (делитель производной 1' (х)) обязательно меняет знак между двумя последовательными корнями многочлена. доказать, Поэтому р (х) имеет по крзйней мере один корень меигду двумя любыми последовательными корнями многочлена 1(х) (т е о р е м а Р о л л я). Задача 6.
Вывести из теоремы Ролля теорему о среднем значении дифференциального исчисления, утверждающую, что для а ( Ь имеет место равенство 1 (Ь) — 1 (а) Ь вЂ” а при подходящем выборе точка с между а а Ь. (Наложить 1 (х) — 1(а)— — (х — а) = чг',(х) . ) 1(Ь) — 1(а) 3 ада ч а 6. В любом интервале а ( х( Ь, где 1' (х) ~ О, многочлен 1(х) является возрастающей функцией от х; равным образом, если 1'(х)(О, то многочлен является убывающей функцией. Зада ч а 7. Многочлен 1(х) имеет в каждом интервале а (х(Ь наи.
большее и наименьшее значение, причем каждое из них достигается либо в корне производной 1' (х), либо в конечных точках отрезка а нли Ь. $80. Поле комплексных чисел Если присоединить к полю вещественных чисел [ч корень 1 неразложимого в Й многочлена х'+1, то получится поле комплексных чисел [й = [ч ([).
Если речь идет о «числах», то в последующем это будет означать, что мы говорим о комплексных (и, в частности, о веще- полн комплексных чисел 283 ственных) числах. Алгебраическое числа — это такие числа, которые алгебраичны над полем рациональных чисел Я. Понятно, чтб нужно понимать под полями алгебраических чисел, полями вещественных чисел и т. д. Согласно теоремам из 2 41 алгебраические числа составляют некоторое поле А; в нем содержатся все поля алгебраических чисел.
Докажем следующее предложение: В поле комплексных чисел уравнение х'.=а+Ь( (а, Ь вещественны) разреишмо; это означает, что каждое число поля комплексных чисел обладает квадратным корнем. Доказательство. Число х=с+д( (с, д вещественны) тогда и только тогда обладает нужным свойством, когда (с+с(1)а = а+ Ь(, т. е. выполнены условия с' — да =а, 2сс(= Ь. Из этих равенств следует далее (с'+да)'=аа+Ьа, так что с'+ -+ да= р'а'+Ь', Отсюда и из первого условия определяются с' и с(а: с'= а-~-)' а'+ Ьа — а+)' а'+Ьэ 2 ' 2 Й'= Действительно, указанные справа величины неотрицательны, поэтому через них можно определить числа с и й с точностью до знака.
Умножение дает 4сад' = — а'+ (а'+ Ь') = Ь', поэтому знак у с и г( можно определить так, чтобы выполнялось и последнее условие 2сд = Ь. Из доказанного следует, что в поле комплексных чисел можно решить любое квадратное уравнение х'+ рх+ д = О, представляя его в виде ( +2) 4 Решение таково: х= — — -+ ш Р ра где ю — какое-нибудь решение уравнения юа= — — о, 4 Основная теорема алгебры, а лучше сказать — основная теорема учения о комплексных числах, — утверждает, что в поле С не только каждый квадратный, но и вообще любой отличный от константы многочлен ) (г) имеет корень. ВещестВенные поля (гл кз Простейшее доказательство основной теоремы — зто, вероятно, теоретико-функциональное, которое проводится так; предположим, что многочлен ) (г) не имеет ни одного комплексного корня; тогда 1 — = <р (г) ) (з) является регулярной во всей г-плоскости функцией, которая при г-~-М остается ограниченной (даже стремящейся к нулю); в силу теоремы Лиувилля эта функция является константой, но тогда и ((г) — константа.
Гаусс предложил много доказательств основной теоремы. Вто- рое доказательство Гаусса, которое использует лишь простейшие свойства вещественных и комплексных чисел, но зато довольно сложные алгебраические средства, мы рассмотрим в 2 81'). Под модулезз !а~ комплексного числа а=а+Ь( подразуме- вается вещественное число ! сс ! = )' а'+ Ь' = )l ссй, где и — комплексно сопряженное, т. е. сопряженное над полем вещественных чисел, число а — Ь(. Очевидно, ! а ! ) 0 и (а ! = О только для а = О.
Далее, )уарар =)'аа)уф, в силу чего ! ар ! = ! а ! ° ! (1 !. (1) Чтобы доказать второе соотношение (а+р!«!а!+!р), (2) предположим на минуту уже известным более специальное соот- ношение: )1+у! 1+)у!. (3) Если а=О, то (2) тривиально; если же а ~0, то ! а+ р ! = ! а (1+ а-з р) ! = ! сс ! ! 1+ а-т!) ! « «)а!(1+!а-т!)!) =(а (+(р ), Для доказательства (3) положим у=а+Ь(; тогда (у(=)~ аз+Ь'.= )' а'=!а!, !1+у!'=(1+у)(1+у) =1+у+у+уу= = 1+ 2а +)у !' «1 + 2 )у)+ ! у !' = (1 -)- ! у! )з; следовательно, )1+у)==1+(у!, чем и доказывается (3), а значит, и (2). з) другое простое докзззтельство можно нзйтн, например, в книге: 7К о рдв н (зотззп С.). Сонтз о'Апз!узе 1.
З.е изд., с. 202. Интуинионистское дскз. звтельство предложил Г. В е а л ь (!Уеу! Н,).— Мз((т. Е., 1914, 20, 3, !42. $ зг! АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕИИЫХ ПОЛЕЙ 285 й 8!. Алгебраическая теория вещественных полей Упорядоченные поля, в частности, поля вещественных чисел обладают тем свойством, что суммы квадратов в таких полях обращаются в нуль только тогда, когда равны нулю все слагаемые. Или, что равносильно: элемент — 1 не представляется в виде суммы квадратов'). Поле комплексных чисел этим свойством не обладает, потому что в нем — 1 является квадратом. Мы покажем сейчас, что указанное свойство характерно для полей вещественных алгебраических чисел и полей, сопряженных с таковымн 1в поле всех алгебраических чисел); это свойство может быть также использовано для алгебраического построения полей вещественных алгебраических чисел и сопряженных с ними полей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
