Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 63

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 63)

Каждое формально вещественное алгебраическое расширение К* поля ((( изоморфно некоторольу подпалю в !к, т. е. некоторому полю вещественных алгебраических чисел. До к а за тельство. Согласно теореме 7а мы можем построить алгебраическое вещественно замкнутое расширение Ич поля Рч, которое согласно теореме 8а обязательно изоморфно полю !к, Отсюда следует требуемое. Каждое изоморфное отображение из И* на К с:-Й дает, конечно, некоторое упорядочение на К*, так как все подполя К в К являются с самого начала упорядоченными.

Наоборот, так можно получить любое упорядочение на И", потому что конструкция вещественно замкнутого расширения Р", проведенная в доказательстве теоремы 9, может согласно теореме 8 проводиться так, что упорядочение на К* сохранится. Это упорядочение при указанном изоморфизме перейдет в (единственно возможное) упорядочение на !к. Если, в частности, в качестве И* взять конечное поле алгебраических чисел, у которого есть лишь конечное число изоморфизмов в поле А, то получится следующее утверждение: Число изоморфизмов, переводящих поле К* в поле вещественных алгебраических чисел, равно числу различных упорядочении, возможных на К' (в частности, зп!о число равно нулю, если К* не является формально вещественным).

Тот факт, что каждое содержащееся в А формально вещественное поле может быть расширено до некоторого вещественно замкнутого поля Рч с: А, приводит к следующему результату: в поле А есть бесконечно много таких полей Рч (которые Вещественные поля [ГЛ Х1 согласно теореме 8а изоморфны друг другу).

Поля вида Кгл = л = Я (Ц)г 2,, где гг — некоторое нечетное натуральное число и ь— некоторый корень и-й степени из единицы, изоморфны полю гл $(у 2), з потому формально вещественны. Они, таким образом, приводят к вещественно замкнутым расширениям Рй, которые при фиксированном п все различны, поскольку всякое упорядоченное поле может содержать лишь один корень и-й степени нз 2. Число же и таких полей может быть как угодно велико.

Задач а 1, Пусть а — корень неразложимого надЯ уравнения х' — х — 1= = О. Сколькими способами может быть упорядочено поле Я (0)? 3 ада ч а 2. Поле Я (Е), где 1 — переменная, может быть упорядочено бесконечным числом способов, причем как архимедовых, так и неархимедовых. Переменная 1 может быть выбрана и как бесконечно большая и как бесконечно малая (ср. й 77, задача 1). Зада ч а 3. Снолько корней имеет миогочлен (гз — 1)з — М в вещественно замкнутом расширении поля Я(1), если 1 — бесконечно малая? Где лежат эти корни? й 83. Суммы квадратов Выясним теперь следующий вопрос: какие элементы поля К представляются в виде суммы квадратов элементов из К? При этом можно сразу ограничиться формально вещественными полями.

Действительно, если поле К не является формально вещественным, то — 1 представляется в виде суммы квадратов: л — 1 = ~ сс,'. 1 Если К имеет характеристику, отличную от 2, то отсюда следует, что для произвольного элемента у из К имеет место разложение на п + 1 квадратов; у=~ — '"7+(Х':) МУ Если же К имеет характеристику 2, то любая сумма квадратов сама является квадратом: ~ г ат = (~~ ~а„') .

Легко проверить, что сумма н произведение сумм квадратов вновь являются суммами квадратов. Однако и частное двух сумм квадратов является суммой квадратов: — =ш (1 (1) ')' р Докажем для счетных формально вещественных полей К следующую теорему; суммы квлдялтов 295 Если элемент у поля Н не является суммой квадратов, то существует упорядочение поля К, в котором у является отрицательнь>л> элементом. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть у не является суммой квадратов. Покажем прежде всего, что поле К()> — у) формально вещественно. Если )> — у принадлежит К, то утверждение очевидно. В противном случае будем рассуждать так.

Если л — 1 = ~„(и, ) с — у + дч), 1 то точно так же, как это было получено в теореме ! (9 8!), устанавливается, что +Хр; ~ и2 т. е. элемент у оказывается суммой квадратов, что противоречит условию. Поэтому поле Н ()> — у) формально вещественно. Если теперь К ()> — у) упорядочено в соответствии с теоремой 76 Я 82), то элемент — у, являясь квадратом, должен быть положительным.

Утверждение доказано. В применении к формально вещественным полям алгебраических чисел (если принять во внимание, что согласно 9 82 все возможные упорядочения такого поля могут быть получены с помощью изоморфных отображений на сопряженные поля вещественных чисел) это дает следующую теорему: Элемент у поля К алгебраических чисел является суммой квадратов тогда и только тогда, когда при всех изоморфизмах, переводящих Н в сопряженное с ним вещественное поле, число у не переходит в отрицательное число. Эта теорема сохраняет силу и тогда, когда поле К не является формально вещественным, потому что в этом случае все числа из К являются суммами квадратов, изоморфизмов же указанного типа вообще не существует. Элементы поля алгебраических чисел К, которые при любом изоморфизме на сопряженное с К поле вещественных чисел оказываются положительными, называются вполне положительными в К.

Если у поля К нет вещественных сопряженных полей, то каждое число из К может быть названо вполне положительным. Понятие вполне положительного числа может быть перенесено на произвольное поле Н, если вполне положительными элементами из К назвать такие, которые оказываются положительными при всех упорядочениях на К. (В частности, если К не обладает никаким упорядочением, т. е. не является формально вещественным, то любой его элемект вполне положителен.) Итак, результаты 295 Вещественные поля [гл х! этого параграфа можно резюмировать следующим образом: в произвольном поле, характеристика которого огплична от 2, каждый вполне положительный элемент представляется в виде суммы квадратов.

Литература к одиннадцатой главе Дальнейшие сведения о числе квадратов, достаточнои для представления вполне положительных чисел числового поля, можно найти в работе Л а н да у (1апбап Е.). ОЬег йе 2ег[ейппй [о1а! роа!![тес 2аЫеп [п Снабга[е.— Со!1[пйеп Ь[асЬг., 19!9, 5. 392. Случай функпиональных полей описан в работах: Г ил ьберт (Н!!Ьег1 Р,). ОЬег йе [)ага[с!!ппй бепп![ег Роппеп а1в 5ппкпеп топ Рогшепянабга[еп. — Ма[8. Апп., !888, 32, 5.

342 — 350; А р т и н (Агпп Е.). ОЬег йе Еег!ейппй беИппег Рнп[г[!опеп [и Снабга[е.— АЬЬ. Ма[Ь. 5епь Оппь Нашьнгй, 1926, 5, 5. 100 — 115. По поводу основной теоремы алгебры сы. в а н дев К о р п ут (сап г[ег Согрн1 С.).— СоПойпе [п1егпапопа! йа!ЕеЬге, Раг!а, 1949. Глава двеяадцагпая ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Линейная алгебра занимается модулями и их гомоморфизмами, в частнос1и, векторными пространс|вами и их преобразованиями. В качестве приложения теории модулей в Э 86 будет получена основная теорема об абелевых группах. В $ 90 речь идет о квадратичных формах, в 5 91 — об антисимметрических билинейных формах.

Двенадцатая глава целиком опирается на теорию групп с операторами (глава 7). ф 84. Модули иад произвольным кольцом Пусть Я вЂ” произвольное кольцо с единицей е и и И вЂ” любой правый Я-модуль, т. е, аддитивная группа с областью операторов Я. Элементы из И будут обозначаться латинскими буквами, а из Я вЂ” греческими. Правила оперирования состоят из соответствующих правил в аддитивной группе и еще следующих: (а+ Ь) Х = аХ+ ЬХ, а(Л+р) =аХ+ар, а Хр=аХ р. Из законов дистрибутивности, как обычно, следуют аналогичные законы для вычитания, мультипликативные свойства символа еминусэ, а также тот факт, что произведение равно нугпо, если в нем участвует нулевой сомножитель (будь то нуль из Я или из И).

Мы записываем операторы справа, однако это дело соглашения. Все доказываемые ниже теоремы остаются верными и тогда, когда операторы стоят слева. Единица кольца Я не обязана быть единичным оператором: элемент ае для некоторых а может быть отличным от а. (Примером тому служит правило оперирования аХ = 0 для всех а и для всех Х.) Однако всегда имеет место равенство а = (а — ае) + ае. (1) Первое слагаемое здесь аннулируется справа множителем е, а второе сохраняется при таком умножении на е.

Все первые слагаемые в равенстве (1) образуют некоторый подмодуль И, в И, аннулируемый элементом е и, следовательно, всеми элементами 298 !ГЛ ХИ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА еЛ из Я; вторые же слагаемые образуют подмодуль И„на котором единица е служит единичным оператором. Общим элементом этих двух модулей может быть только нуль, потому что любой другой элемент не может одновременно аннулироваться и сохраняться единицей данного кольца. Таким образом, представление (1) показывает, что модуль И является прямой суммой И,+И,. После того как из модуля И исключается не интересная для дальнейшего часть 211ы остается лишь модуль, на котором е является единичным оператором.

По этой причине мы в последующем постоянно предполагаем, что единица кольца Я является одновременно и единичным оператором модуля И. Если, в частности, кольцо Я является телом, то И представляет собой векторное пространство над Я в смысле з 19. Модуль И называется конечным над кольцом Я, если его элементы могут быть линейно выражены через конечное число элементов и„..., и„в виде и,Л,+...+и„Л„. (2) В этом случае И является суммой подмодулей и,Я„..., и„Я: И=(и,Я... и„Я). (3) Вместо (3) иногда кратко пишут: И=(и„..., и„). Если в представлении (2) коэффициенты Л,, ..., Л.

однозначно определяются элементом и, то И называется модулем линейных форм над Я. В этом случае сумма (3) является прямой: И = и,Я+...+и„Я. Каждое конечномерное векторное пространство является моду- лем линейных форм, потому что согласно 8 19 в агом случае всегда можно выбрать базис (и„..., и„). Согласно 2 20 размер- ность и не зависит от выбора базиса. Операторный гомоморфизм, отображающий модуль линейных форм И =(и„..., и„) в модуль линейных форм Я=(о„..., о„), называется линейным преобразованием И в 91 Для каждого такого преобразования А, по аналогии со сказанным в 2 23, имеют место равенства: А (х+ у) = Ах+ Ау, А (хЛ) = (Ах) Л.

Характеристики

Список файлов книги