Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Теорема 5. Пусть 1'(х) — многочлен с коэффиииентами из вещественно замкнутого поля Р и а, Ь вЂ” элементы из Р, для которых !" (а) - О, !" (Ь) ) О. Тогда существует по крайней мере один элемент с в Р, заключенный между а и Ь, для которого 1(с)=О. Доказательство. Как мы видели выше, многочлен Г'(х) разлагается над Р па линейные и квадратные неразложимые множители, Любой неразложимый над Р квадратный многочлен х»+рх+д имеет только положительные значения, потому что его можно представить в виде (х+ — ) + !в — — „), где первое слагаемое неотрицательно, а второе в силу предположения о неразложимости строго положительно.
Поэтому перемена знака многочлена Г(х) может происходить лишь из-за перемены знака некоторого линейного множителя, который должен по этой причине иметь корень в промежутке от а до Ь. В силу этой теоремы для вещественно замкнутого поля оказываются справедливыми все следствия, которые выводились в з 79 из теоремы Вейерштрасса о корнях, в частности, теорема Штурма о вещественных корнях. В заключение будет доказана Теорема 6.
Пусть Н вЂ” упорядоченное поле и К вЂ” поле, которое получается из К присоединением квадратных корней из всех поло. жительных элементов поля К. Тогда поле Й формально вещественно. Очевидно, достаточно показать, что не может иметь места равенство вида 2ВО !гл х! вещественные пОля Если бы в (4) последнее слагаемое равнялось кулю, то это равенство имело бы такой же вид, как и равенство (3), но в него входило бы менее г квадратных корней. Если же это последнее слагаемое не обращается в нуль, то )г а, принадлежит полю К ()/гам ..., ) а,,) и (3) можно записать менее, чем с г квадратными корнями. Таким образом, наше предположение в любом случае приводит к противоречию.
Задача !. Поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто, а поле вещественных алгебраических чисел вещественно замкнуто. Задача 2. Построенное в 4 72 чисто алгебраическнмн средствами алгебраичесни замкнутое алгебраическое расширение поля !)1 рапиональных чисел изоморфно полю А алгебраических чисел. 3 а д а ч а 3.
Пусть Р— некоторое поле вещественных чисел, а Х вЂ” поле всех вещественных алгебраических над Р чисел. Тогда Х вещественно замкнуто. Задач а 4. Если поле Р формально вещественно и влемент 1 транснендентен над Р, то Р (1) формально вещественно. (В равенстве — 1= УУр-', (1) заменить 1 па подходяще выбранную константу из Р.) З 82.
Теоремы сузцествования для формально вещественных полей Теорема 7. Пусть К вЂ” формально вещественное поле и 0— алгебраически замкнутое расширение поля К. Тогда существует (по крайней мере одно) вещественно замкнутое поле Р, заключенное между К и ьз, для которого ь) = Р(1). До к а за тел ь ство. Применим лемму Цориа 8 69) к частично упорядоченному множеству М формально вещественных и содержащих К подполей поля ьз. В каждом линейно упорядоченном подмножестве М имеется максимальный элемент, а именно — объединение всех полей этого подмножества. Согласно лемме Цорна существует некоторое максимальное формально вещественное поле, содержащее К и принадлежащее ьз; обозначим его через Р.
Если а — произвольный элемент из ь), не принадлежащий полю Р, то Р(а) не является формально вещественньш, Это возможно лишь тогда, когда а алгебраичен над Р, потому что простое трансцендентное расширение формально вещественного поля формально ве1цественно (5 81, задача 4). Следовательно, каждый элемент из ь) алгебраичен над Р, т.
е. ь) — алгебраическое расширение поля Р. Так как, далее, в качестве а можно взять произвольный элемент из 11, не содержащийся в Р, то ни одно простое собственное алгебраическое расширение Р (а) поля Р не может быть формально вещественным, так что поле Р вещественно замкнутб. Согласно теореме 3 (3 81) поле Р(1) алгебраически замкнуто, а потому оно совпадает с полем Рь Теорема доказана. Сформулируем в явном виде некоторые частные случаи и следствия из теоремы 7. гз! теОРемы сущвствовлния т ел Теорема 7а. Для каждого формально вещественного поля К существует по крайней мере одно вещественно замкнутое алгебраическое рапиирение.
Для доказательства нужно лишь выбрать в качестве поля Й из теоремы 7 алгебраически замнутое алгебраическое расширение поля К. Т е о р е м а 7б. Каждое формально вещественное поле может быть упорядочено по крайней мере одним способом. Это следует без каких-либо новых соображений из теоремы 1 8 81) и теоремы 7а. Если, далее, поле (г — произвольное алгебраически замкнутое расширение характеристики нуль и в теореме 7 в качестве поля К берется пояе рациональных чисел, то получается Теорема 7в. Каждое алгебраически замкнутое поле Г! характеристики нуль содержит (по крайней мере одно) вещественно замкнутое подполе Р, для которого 11 =Р(1). Для упорядоченных полей теорема 7 может быть существенно усилена: Т е о р е м а 8. Если Н вЂ” упорядоченное поле, то существует одно и, с точностью до эквивалентности расширений, только одно вещественно замкнутое алгебраическое расширение Р поля К, упорядочение которого является продолжением упорядочения поля Н, Поле Р не имеет нетождественных автоморфизмов, оставляющих на месте каждый элемент из Н.
Доказательство. Как и в теореме 6 (~ 81), через К будет обозначаться поле, которое получается присоединением к К квадратных корней из всех положительных элементов из К, Г!усть Р— алгебраическое вещественно замкнутое расширение поля К. Таковое существует в силу теоремы 7а, поскольку уже известно, что Я формально вещественно. Поле Р алгебраично над К и упорядочение поля Р является продолжением упорядочения на К, так как каждый положительный элемент из К является квадратом в Н, а значит, и в Р. Тем самым доказано существование требуемого поля Р. Пусть Р* — второе алгебраическое вещественно замкнутое рас. ширение поля К, упорядочение которого продолжает упорядочение на К.
Пусть 7" (х) — (не обязательно неразложимый) многочлеп с коэффициентами из К. Теорема Штурма позволяет выяснить, не выводя за пределы поля Н, сколько корней имеет многочлен 7'(х) в Р или в Р": для этого достаточно рассмотреть ряд Штурма для 7(х) =х" +а,х" '+...+а„. Следовательно, 7(х) имеет столько же корней в Р, сколько и в Р* В частности, каждое уравнение над К, обладающее в Р по крайней мере одним корнем, обладает и в Р* по крайней мере одним корнем, и наоборот.
Пусть а„ а„ ..., сс, — корни многочлена 1(х) в Р, а (1;, 292 ~гл, х! вещзс~ввнныя поля ()», ..., р,* — его корни в Р*. Пусть, далее, элемент $ из Р выбран так„что К($)=К(а„..., а,), и пусть г'(х)-.=0 — неразложимое уравнение для 9 над К. Многочлен г" (х) обладает в Р корнем с, а потому и в Р» у него есть по крайней мере один корень ч". Расширения К(9) и К(т1») эквивалентны над Н. Так как К(9) порождается г корнями а„..., а, многочлена 1(х), расширение К(ч') должно порождаться г корнями этого же многочлена г'(х); таким образом, Н(»1*) является подполем в Р*, откуда К(г1*) = = К(р*ы ..., р;). Поэтому К(сс„..., а,) и К(()*ы ..., р,*) являются эквивалентными расширениями поля К. Чтобы показать, что Р и Р* — тоже эквивалентные расширения поля К, заметим, что любое изоморфное отобрамсение из Р на Р* обязательно сохраняет порядок, который (согласно доказательству теоремы 1 из 9 81) определяется свойством элемента быть или не быть квадратом.
Поэтому определим следующее отображение о из Р на Р*. Пусть а — элемент из Р, р(х) — неразложимый многочлен, корнем которого является а и корнями которого служат элементы а„а„..., а, из Р, пронумерованные так, что а,(а,( ... (а,; пусть при этом а=а,. Если а"„ а„", ..., а," — корни многочлена р(х) в Р* и а", (а.', - ... <а,", то пусть о(а) =а». Очевидно, о определено однозначно и оставляет элементы из К на месте.
Нужно доказать, что о является изоморфным отображением. Пусть 1(х) — произвольно выбранный для этой цели многочлен над К, у„у„..., у,— его корни в Р, а у*„у,", ..., у,' — его корни в Р*. Пусть, далее, д(х) — много- член над К, корни которого являются квадратными корнями из разностей корней многочлена 1'(х). Пусть 6„6„..., 6,— корни многочлена (((х) в Р, а 6"„6;, ..., бс — его корни в Р*. Согласно доказанному выше поля Л=К(у„..., у„б„..., 6,) и Л" =К(у*„..., у'„6*„..., 6,*) являются эквивалентными расширениями поля К.
Следовательно, существует изоморфное отображение т из Л на Л*, оставляющее на месте каждый элемент из К. С помощью т каждому у сопоставляется некоторое у', и каждому б — некоторое 6*. Обозначения выберем так, чтобы было т(у») =у», т(6») =6». Если у» -ус (в Р), то у,— у»= 6»' для некоторого индекса й, так что ус — у» =6», откуда у1(ус (в Р*). Следовательно, отображение т упорядочивает корни многочлена 1(х) в Р и Р* по их величине. Так как это же имеет место для корней неразложимых в К множителей многочлена 1'(х), то т(у,) =о(у,) (й=1, 2, ..., з). Выбрав теперь многочлен 1(х) так, чтобы среди его корней содержались два ТЕОРЕМЫ СУ!ПЕСТВОВАНИЯ 293 произвольных наперед заданных элемента а, (з из Р, равно как и их сумма а+() и произведение а р, убедимся в том, что о— изоморфное отображение поля Р на Рч и притом единственное, оставляющее на месте элементы из К.
Положим Р* = Р; тогда окажется, что наше утверждение об автоморфизмах поля Р также справедливо. Так как согласно 9 77 поле рациональных чисел (Ц допускает только одно упорядочение, из теоремы 8 немедленно следует Теорема 8а. Сущесп!вуетп — и притом только одно с точноспгью до изоморфизма полей — вещественно замкнутое алгебраическое расширение поля !((. В качестве этого поля можно, конечно, взять обычное поле )к вещественных алгебраических чисел 5 78), получающееся путем выделения алгебраических чисел из совокупности всех вещественных чисел. Как мы увидим, поле Р в А является не единственным вещественно замкнутым полем, а только одним нз бесконечного множества эквивалентных ему. Т ео р е м а 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
