Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Лля случая обычной циклической группы (з) мы получаем отсюда заново следующий результат: группа 9 изоморфна аддитнвной группе целых чисел или группе классов вычетов по некоторому целому числу. Если п)Π— порождающий элемент идеала ') Преобразование называется уяимодулярньси, если оно имеет целые коэффициенты и определитель ь 1.
1гл хи ЛИНЕИИАЯ АЛГЕБРА а, то и является порядком циклической группы (р), а также порядком элемента а. Локазанная выше теорема справедлива независимо от специальных предположений о кольце Я. Если же кольцо М коммутативно и евклидова, как это будет предполагаться в дальнейшем, то к сказанному можно кое-что добавить. Идеал 1 является в этом случае главным; а=(а).
Считая, что аФО, разложим, если это возможно, гх на два взаимно простых множителя: а=ро, 1 = Др+ро, и построим циклические группы 51 =(рд) и Яя =(од). Тогда 9, аннулируется элементом о, а Яа — элементом р. Поскольку группа Я является суммой %1 и 9«. Пересечение Яг()9«аннулируется элементами р и о, а потому и элементом 1=лр+ро; поэтому Ж» ()Ю«=(0) и указанная сумма является прямой: Если о и р в свою очередь разлагаются в произведение взаимно простых сомножителей, то 91 или г)а разлагаются в прямую сумму дальше.
8 конце концов циклическая группа Вб станет прямой суммой таких циклических групп, которые аннулируются степенями простых чисел'). Произведение этих степеней простых чисел равно а. Для групп с таким свойством будем употреблять термин «примарные группыа'). Мы переходим теперь к обшему случаю, когда (3 является В(-модулем с конечным числом порождающих до ..., д„и, следовательно, элементы из % имеют вид Л,д, +...+Л„д„.
Если построить на переменных и„..., и„модуль линейных форм Я=(и„..., и„), то каждой линейной форме ~)чиг из Р01 сопоставится элемент '5,')«аг из Я. Это сопоставление вновь является гомоморфизмом модулей, и из теоремы о гомоморфизме следует, что Е м д»1/% «) «Простое число» вЂ” краткий синоним выражения «простой элемент кольца Э)». В случае обычных абелевых групп это понятие совпадает с обычным понятием простого числа. «) В оригинале «Рг)гпгаьгро1епядгцрреп».
— Прим. перев. 305 ОСНОВПАЯ ТЕОРЕЛЫ ОБ АБЕЛЕВЫХ ГРУППАХ где % — подмодУль, состоЯщий из тех линейных фоРм ~ Ага„длн которых ~', Цуг = — О. Мы опять предположим кольцо Я евклидовым. Согласно ~ 85 в лгодулях % и % лгожно ввести новые базисы (о„..., о ) и (и(, ..., и„') (п=-т), для которых о; =его,' при г =1, ..., т, ег,,=О(е,). Элементам и' соответствуют (в силу указанного выше гомоморфнзма) элементы й„., й„модуля Ф.
Все элементы нз (3 имеют вид рА+..,+р„й„и любой такой элемент равен нулю тогда н только тогда, когда р,иг+...+р„и„'=0(о„..., о„), т. е, тогда, когда ггг — = 0 (гг), гг~лг = О, р =0(е ), р„=-О. Это означает, что сумма рА+...+р„й, только тогда равна нулю, когда нулевым является каждое ее слагаемое, а слагаемое равно нулю, если его коэффициент р, делится на е, при г =1, ..., т и равен нулю при г=т+1, ..., и. Вот другое выражение этого факта: Группа О) является прямой суммой ииклическггх групп (й,)+...
...+(й„) и аннулирующим идеалом подгруппы (йг) служит (е;) для г =1, ..., т, (0) для г =т+1, ..., п. Такова основная теорема об абелевых группах с конечным числом порождающих элементов. В случае обычных абелевых групп числа ~е;: являются порядками циклических групп (й,), ..., (й ), а группы (й „), ..., (й„) имеют бесконечный порядок. Три дополнения следует сделать к доказанной теореме: а) о выделении среди е, обратимых элементов; б) о дальнейгпем разложении циклических групп на прнмарные; в) о единственности.
а) Пусть, скажем, е,— обратимый элемент, так что (е,) — единичный идеал Я, т. е. Яй,=(0). Тогда циклическая группа Яггг может быть исключена из числа слагаемых в сумме Яй, +... + Яй". После выделения обратимых элементов остаются аннулирующне идеалы (е,), (0), которые мы расположим в виде убывающего линяю!ля Алгебги !гл, хп ряда а„..., ад, тогда а, =0(а,,).
б) Группы (!д!), которые аннулируются идеалом (0), изоморфны аддитивной группе кольца о(. Группы, которые аннулируются идеалами (е,) чи(0), в соответствии с доказанным в начале распадаются на примарные группы. Идеаль!, анпулирующие примарные группы, находятся с помощью разложения числа е; на простые множители.
Сумма всех встречающихся в разложении группы 9 подгрупп, относящихся к фиксированному простому числу р, является группой Юю состоящей из тех элементов группы Я, которые аннулируются достаточно высокой степенью рд. По этой причине группы Яр опргделены однозначно. Если В обозначает сук!му групп, для которых а =(0), то Ж = ~ч' 6, + 11.
Р В результате дальнейшего разложения групп !Вр вновь получаются примарные группы, которые определены не совсем однозначно, но, как мы увидим, однозначно с точностью до изоморфизма. В каждой группе 6 имеется однозначно определенный ряд подгрупп !В р Юр р — ! ° Зр д где З„, состоит из тех элементов группы $е, которые аннулируются числом р'. Первой группой в этом ряду является сама группа 6а; последняя группа состоит из одного лишь нуля. Группа В определена неоднозначно, но однозначно с точностью до изоморфизма: 11=-Е/ХЕ,. Р в) Единственность.
Аннулирующие идеалы а„..., ад при условии а, = 0 (а,,), встречающиеся в разложении в прямую сумму 05=6!+...+Ьд, определены однозначно модулем Я. (Иными словами: группы 6, определены однозначно с точностью до изоморфизма.) Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждаемая единственность будет доказана, как только мы покажем, что о каждой степени простого числа р' из кольца Я однозначно можно установить, во сколько идеалов а, она входит. Действительно, если р' входит в й из указанных идеалов, то в силу свойства делимости последних этими й идеалами являются первые и идеалов а„..., ад; таким образом, о каждой степени р" оказывается известным не только то, во сколько идеалов она входит, но и в какие именно идеалы. Тем самым о каждом а, выясняется, какие степени простых чисел в него входят.
Идеалы ао в которые входят неограниченно большие степени, равны нулю, а прочие идеалы однозначно опреде. ляются разложением на простые множители. предстАвления и гиодули предстАвлении Звт $ ат! Если число р' входит в идеал, аннулирующий циклическую группу 67, то гхо — 76 /ра6 является циклической группой с аннулирующпм идеалом (р), т.
е. простой группой. Если же р' в указанный идеал не входит, то р'6; = ро-х67 и р' '6йр"6, =- (0). По этой причине ро-767)ро6) явгяется прямой суммой стольких простых групп, каково число й идеалов пь делящихся па р'. Таким образом, число й равно длине композиционного ряда группы р' »З/роя и, следовательно, определено однозначно. 3 ад а ч а 1. Провести подробно последнюю, конспективно изложенную часть доказательства. 3 а д а ч а 2. Построенная в разделе б) группа и является модулем линейных «юрм над кольцом Х целых чнсел, и количество ее циклических слагаемых равно рангу группы 9 (ранг в зто максимальное число линейно независимых элементов над кольцом Я).
3 а д а ч а 3. Провести второе доказательство единственности с помощью понятия алины композиционного ряда применительно к построенным в разделе б) и определенным однозначно группам и подгруппам. Можно использовать также ранг модуля И (задача 2). $ 87. Представления и модули представлений Пусть К вЂ” некоторое тело. Под представлением кольца о линейными преобразованиями или матрицами над телом К подразумевается произвольный гомоморфизм где Ю вЂ” кольцо квадратных матриц г-го порядка над К. Если гомоморфизм является изоморфизмом, то говорят, что имеет место точное представление. Под модулем представления кольца о над К подразумевается «двойной модуль» 3)1, для которого о служит областью левых мультипликаторов, К вЂ” областью правых мульпшлнкагорои, обладающий следучощими свойствами: !.
Модуль Я является модулем линейных форм над К: % =и,К+...+и„К. 2. Для любых а ен о, и ее од), ) ~ К справедливо равенство а и)с=аи ) (1) Последнее условие означает, что умножение на а является некоторым операторным гомоморфизмом К-модуля 3)1, т. е. некоторым линейным преобразованием. Это линейное преобразование ~ГЛ.
ХП ЛННЕИНАЯ АЛГЕБРА задается квадратной матрицей А = ~~ам~, '— а и» = ~х~ ~и а~», а У, 'и»х»= "', У, 'и;а~,х». (2) Таким образом, каждому элементу а кольца ь соответствует некоторая матрица А над телом К. В согласии с аксиомами мо. дуля произведению и сумме двух элементов а, Ь кольца ь соответствуют произведение и сумма соответствующих им линейных преобразований, а потому и их матриц. Итак, отображение а А является представлением кольца ь.
Если, наоборот, задано представление кольца ь линейными преобразованиями модуля линейных форм 1)1 над телом К, то из зз) можно сделать двойной модуль, в котором произведения а и (а я ь, и Бай) определены с помощью условий (2). Проверяется, что в этом случае все свойства двойного модуля и равенство (1) выполнены, так что И вЂ” модуль представления. Итак, каждому модулю представления соответствует некоторое представление кольца о линейными преобразова иями или после выбора базиса (и,... и„) над К вЂ” матрицами над телом К; обратно: каждому представлению соответствует некоторый модуль представления. Если от базиса (и„, ..., и„) перейти с помощью равенства (и; ... и„') =(и, ... и„) Р к какому-нибудь другому базису (и,', ..., и,',), то линейное преобразование, представлявшееся матрицей А, будет представляться матрицей А' = Р-'А Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
