Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Осуществляя диагональное преобразование с матрицами А и 6, мы одновременно действуем и на Н =6А; получающаяся в результате форма выглядит так: Н (и, и) = 'У', с,с,)ч Тем самым доказано следующее утверждение: Любые две эрмитовых формы 6, Н, из которых одна, ска- жем, 6, определена положительно, приводятся одновременно од- ним и тем же преобразованием к виду 6 (и, и) = Р', с,с,, Н (и, и) =,У", с,с„) т, Числа Ц являются характеристическими корнями матрицы А = =6 'Н, или, что то же, корнями векового уравнения ; ) дга — й,а ~ = 6. В частности, любьы две вещественных квадратичных форлгы, одна из которых положительно определена, вещественным преоб- разованием одновременно приводятся к суммам квадратов: 6(и, и) =~ с;"ч Н (и, и) = ~ с'„Х, Общее исследование вопроса о классификации пар квадратич- ных форм см. в книге: Л и к с о и (Искзоп )..Е.). гт(обегп А1деЬга(с Т)геог)ез.— Ог(садо, 1926.
Задача 1. Если г векторов ог, ..., о, порождают пространство дг„то векторы, ортогональные к ннм, составляют некоторое подпространство Р.„ а пространство гг4 является прямой суммой Я,+Я„,. 326 лииеинля ллгпнпл 1гл хп 9 91. Антисимметрические билинейные формы Билинейная форма от переменных х„..., х„и р„..., ря с коэффициентами из поля г( 1(х, У)= ~Ч, 'аих;Уь (() сь обладает следующими называется аятисимметрической, если она двумя свойствами: 1(х, У) = — 1(У, х), 1(х, х)=-0. (2) (3) Для коэффициентов это означает, что (4) (5) ам = — ам аи= О. Введем новые переменные х1 и дг вместо старых х; и р с помощью одного н того же линейного преобразования: хг = 'У, 'рих';, рь = ~ Реп д' тогда форма )'(х, у) перейдет в новую билинейную форму 1' (х', у') = ~', аы (~Ч ', рих';) ( )~~ рыу1 ) = ~ ', а'их; 'у;, которая вновь будет аптисимметрической; коэффнциснты послед- ней будут задаваться равенствами аси= "' р;аырм, или, в матричной форме, А' = ргЛР.
(6) Для определителя Р матрицы ~ам'( из (6) получается следующая формула преобразования: Р'=РАв, (7) где Ь вЂ” определитель матрицы преобразования. Зада ч а 2. Если симметрическое или унитарное преобразование А остав. лает инвариаитным подпространство 1с„то оно оставляет инвариантным и подпространство ггя г, перпендикулярное к мг. Задача 3. Любая система симметрических нли унитарных преобразований вполне приводима. Задач а 4. Определитель Р любого унитарного преобразования по абсолютной величине равен 1, т. е. РР=!.
Определитель вещественного ортогонального преобразования равен ч- 1. Задача б. Унитарные и, равным образом, вещественные ортогональные преобразования произвольного векторного пространства в себя составляют группу. Ааппсимметшяеские Билинеииые Фогмы 327 3 ада ч а (. Лоаазаты что иа (3) следует (2). С помощью подходящим образом выбранной матрицы преобразования Р приведем форму г к наиболее простому нормальному виду. Это преобразование будет введено за несколько шагов.
Если форма ~ тождественно равна нулю, то без всякого преобразования она представляется в нормальной форме: ~а=о. Если же хотя бы один коэффициент данной формы отличен от нуля, то можно считать, что ата~О. Найдем в (1) все слагаемые с переменной х,: хт (ат аут + + от аул). Тогда слагаемые с переменной д, таковы: — (а,ах, +... + а,„х„) д,. Введем вместо ха и да новые переменные х,'„и у.', по формулалп х,'=а„х,+...+а„,х„, у,' = — а„у, +... +а„,у„; после этого запишем (' как форму от х„х'„х„..., х„и от у„ у'„у.„..., у„. Слагаемые с х, и у, теперь выглядят просто: х,у', — х.„'уп Слагаемые с у,' таковы: (ха + Ьаха ( + Ьаха) у». Вместо х, и у, введем теперь новые переменные х', =х, +Ьаха+...+Ь„х„, у~ — у1 т Ьауа + ° ° + Ьпуа и запишем ) как форму от х,', х,'„х.„..., х„и от уо у'„д„.„ ..., уа.
Тогда останутся только два слагаемых, содержащих х;, х,', у,' или д.', а именно: х,'у, — х„'у,'. Все остальные слагаемые содержат лишь х„,, х„, у„... ..., у„. Если все они равны нулю, то мы получили нормальную форму ~т = х,'у,' — х,'у;. В противном случае можно повторить проведенную процедуру и вместо х„х„у„у, получить новые переменные х;, х,', у,', у,', ко~орые окажутся лишь в слагаемых х;у; — х;у;. З28 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ~ГЛ.
ХН В конце концов получится нормальная форма, которая без введенных выше штрихов выглядит так: ~А (Х1уз х2уГ) + + (Хы — 1уы Хелучл 1)) (8) где 0( 2й=-и. В и-мерном векторном пространстве, состоящем нз векторов вида (с„ ..., с„), есть надпространство %, которое задается уравнениями г(с, у)=0 тождественно по у„ или ~Х ', амс, = О. Размерность этого надпространства равна и — г, где г — ранг матрицы А. Очевидно, указанная размерность является инвариантом формы ~ относительно обратимых линейных преобразований переменных х, и у,.
Таким образом, инвариантом является и число г. Если вычислить ранг г нормальной формы гю то получится г=-2й. (9) Так как г — инвариант, то ранг г исходной формы г является четным числом. Имеем: Ране антисимметрической матрииы А является четным числол~ 2й, Зто число равно количеству слагаемых в нормальной форме (8). Если размерность п — нечетное число, то ранг обязательно меньше, чем п, и поэтому определитель 0 равен нулю.
Если же п=2т четное, то существуют формы с определителем 0 Ныл, например, нормальная форма г„. Следовательно, определитель антисимметрической матрицы из четного числа строк не всегда равен нулю. Мы получим общую антисимметрическую форму, считая коэффициенты ам при ~(й независимыми переменными и выразив остальные через них с помощью (4) и (5). Если и четное (п= =2т), то определитель так построенной общей формы в силу сказанного выше отличен от нуля. Если привести эту общую форму к нормальному виду, то получится нормальная форма (8) с й =т. Коэффициенты соответствующей матрицы преобразования являются рациональными функциями от переменных ам, а определитель 0' нормальной формы равен единице.
Следовательно, () о) 0 =б-', где Ь вЂ” рациональная функция от а;„, представляемая, таким 329 лнтнщ!21метРическне енлннен1Н и ФОРмы $2Ц образом, отношением многочленов: А =ЦН. Из (10) и (11) следует, что Р022 Н2 (11) (12) Следовательно, Н' делится на 02, а потому Н вЂ” на 0: Н = б!',!. Форл!ула для Я в общем случае была найдена Пфаффом. Доказательство имеется в одном очень поучительном письме Л ипш и и а (1Лрзс)!11г Гс.). — Апп. Ма(11., 1959, 69, р. 247), опубликованном много лет спустя после его смерти. Группа линейных преобразований переменных х, и д1, переводящих в случае п =2т нормальную форму (,„в себя, называется комплексной или симплектической. По поводу строения этой группы, а также ортогональных групп и вообще л!шейных групп см Льедон не (Р)ендоппе ).). Янг 1ез дгонрез с1аззн(нез.
— Раг)з, 1948, Подставим это в (! 1) и (12); тогда получится Я-1 (18) Р Ц2 (14) Определитель Р является формой степени и=2т, поэтому Я вЂ” форма степени л2 от переменных ам. Если для случаев п — 2 и п =- 4 провести соответствующие вычисления, то получится и=-2: 9=а!2, п=4: (2 11121131 Н12О21+ 2211Ф22 Глава тринадцатая АЛГЕБРЫ Кольцо 'Л, являющееся конечномерным векторным пространством над некоторым полем Р и удовлетворяющее условию (аи) о=и(ао) =си(ио) для аен Р, называется ассоциативной алгеброй над полем Р.
Если исключить условие ассоциативности, то получится общее понятие (линейной) алгебры. Среди неассоциативцых алгебр особенно важны два типа: 1. Альтернат!!ивине кольца, в которых выполняются следующие ослабленные законы ассоциативности: а (аЬ) =(аа) Ь, Ь (аа) .= (Ьа) а. Наиболее ранний пример альтернативной алгебры представляет собой алгебра октав Кэли; см. по этому поводу Цорн (Хогп М.). АИегпаНчйогрег цпг) ццадгаНзсЬе Яуз1егпе. — АЬЬ. Ма1Ь.
Яещ. 11п)ч. НагпЬцги, 1933, 9, 5. 395. Альтернативные кольца важны для аксиоматикн геометрии на плоскости'). Новые исследовавия по этому поводу см. в работе: Шафер (5сЬа1ег )с. 1).). 51гцс1цге апд гергезеп1а1юп о( поп-аззосгаВче а1иеЬгаз. — Вц!!. Агпег. Ма(Ь Кос., 1955, 61, р. 459. 2. Лиевы кольца — кольца, в которых выполняются следующие правила: аЬ+Ьа=-О, а Ьс+ Ь со + с аЬ =.
О. Инфииитезимальные порождающие групп Ли подчиняются этим правилам. Кольца Ли (лиевы кольца) исследовались в фундаментальных работах Карта на ') и Г. В ей ля а) в связи с теорией ') М у фа н г (Моп)апй й). А11сгпа11ч)иЗгрег ппг1 5ага чогп чоИзгапв)йеп Ч)стае!1.— АЬЬ. Мань Вень 1)п)ч. Напгьпгй, 1933, 9, 8. 207; см. также Маис Апп., 110, 5. 416 и Ф р ей де н т а и ь (Ргепйспгьа1 с!.). спг еЬепеп 0)г)ачепйеогпе1ие. — Ргос.
Анап'. Апзэгегвапг, !953, А56, р. 195; А57, р. 218, 363; А58, р. 151. -") Оаг1ап В, Тьеэе.— 1894. В этой же связи см. Ф ре й де и таль (Ргепдептйа! Н.). — Ргос. А(гаВ. Агпиегдвгп, 1953, А56. а) )1'еу1 Н. Вагпе!!ппй Ьа1Ье)п1ас!зег Огпрреп впгсЬ 1гпсаге Тгапиоппанопсп, 1 — 1!!. — Ма1Ь. Х., 1925, 23, 8, 271; 1926, 24, 8, 328, 789. В этой же связи си, в а н де р В а р д е н (чап бег й)аегВеп В. 1,) — Ма)Ь. Д., 37, 8. 446.
ЗЗ! пяямые сяммы и пвгвснчвния з эп группы Ли. По поводу новых исследований в этой области см. следующую литературу: Витт (Ю!1! Е.) — 3. ге!пе апяез. Ма!и., 1937, 177, 5. 152; АЬп. Ма((з. Беш. Бп!ч. НатЬцгя, 1941, 14, Я. 289. Ф ре йдент аль (Ргенс(еп(йа! Н.). — Ргос. Лкао. Лшз1егдаш, 1954, А57, р. 369, 487; 1955, А59, р. 5!1; 1958, А61, р. 379.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
