Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 71
Текст из файла (страница 71)
— — и,и»и, следующим образом. Если в (5) два индекса равны, то положим и„„=О. Если же все индексы различны, то некоторой перестановкой онн приводятся в естественный порядок цй ... и мы полагаем иаьс... = Би!А»... э где а=+1 для четной и е= — 1 — для нечетной упомянутой выше перестановки. Наконец, произведение двух базисных элементов определяется равенством (5) и1ц, ира, — — ис» р, Две суммы вида (4) перемножаются путем перемножения их слагаемых н последующего сложения результатов. Согласно этому определению произведение и,и,...
равно на самом деле и„»,, 887 »г»мены длгсип % эн как утверждается в (5). Очевидно, правила (3) выполняются. Ассоциативность умножения легко доказать. Суммы (4) с так определенным умножением составляют граееманову алгебру 9( (или алгебру Грассмана) над векторным пространством и(; само же умножение называется внешним. Векторное пространство % вкладывается в алгебру 9(. В качестве знака для внешнего умножения элементов а и Ь часто используют символ а)ч,Ь. Эквивалентное определение получается, когда из векторного пространства ва сначала строя~ гпгнзориое кольцо, состоящее иэ всевозможных конечных сумм ег +~ 'грч+~иггЬц+ Я цФгуь+." (7) в которых на индексы г', А ... ие накладывается циканих ограничений. Две такие суммы объявляются равнымн лишь тогда, когда равны (соответственно) все их коэффициенты. Как складывать такие суммы, понятно, Умножение же определяется равенством (6). Легко увидеть, чзо сложение и умножение в тензорном кольце не зависят от выбора базисных векторов.
Возьмем теперь н тснзорном кольце ь двусторонний идеал 8, ноторый порождается произведениями ии, где и пробегает множество всех векторов пространства %. Идеалу В принадлежат также и элементы вида (и+ г ) (гг+ о) — ии — оо =- по-)- оп. Если каждой сумме (7) сопоставить ту же сумму в и, то получится гомо.
морфное отображение из Т на Еа Элементы идеала 3 при этом отображении переходят в нуль. Обратно: если некая-либо сумма (7) переходит при указанном отображении в нуль, то она принадлежит идеалу о. Дспствительно, сумму (7) можно сначала записать в виде е()+~ пг(),+~~р,пкц((ц+ ~~ и и иэбг г+..., (8) а затем с помощью прибавления элементов нз В привести к нормальной форме си+~о~ щиг+ ~ пгпг~хц+ ~~ анги;пьацэ+... гс/ с(сь которой соотнетствует элемент (4) из и с теми же коэффициентами а, ап игу, ... Если этот элемент равен нулю, то равны нулю и все его коэффициенты, а по.
тому сумма (8) лежит в с Тем самым идеал 8 является ядром гомоморфизма колен т -ь я и имеет место изочорфизм З( - — т)о. (9) В правой части соотношения (9) кольцо ъ и идеал 3 не завксят от выбора базиса ит..., и„. Следовательно, алгебра и с точностью до изоморфизма не зависит от выбора базиса.
Инвариантное определенно грассмановой алгебры Н получается как раз тогда когда опа определяется как ь)3. 5. Алгебры Клиффорда. Оии могут быть определены аналогично алгебрам Грассмаиа. Пусть (е(х) — квадратичная форма от переменных х„..., х„с коэффициентами из поля Р: (Г' (Хт ° ° г Хп) = )~' С),Х1 + ~~' ЦЬХГХГ сг ззв ллгевгы !гл юп Тогда для каждого вектора и == ~ и/у/ пространства И определено значение формы Я(и) =Я(ум ..., у„). Кроме того, для /побых двух векторов и и о определена билинейная симметрическая форма В (и, о) = Я (и+ о) — Я (и) — Я (о).
В частности ии=Я(и), ио+ои=В(и, о). В атом случае (11) является следствием (1О): ио+ ьтс = (и+ о) (и + о) — и/с — оо = = Я (и + о) — Я (и) — Я (о) = В (и, о). (10) (11) Таким образом, в частности, и,и; =- д„ (12) и/и/+ и/и, = //// (1 <" /). (13) Построим вновь 2"-мерное векторное пространство, состоящее из сумм си+ ~ и/а/+,~~ ииа;/+...+им „ам (14) / /(/ Затем определим произвольные произведения и„и,и,, = иа/,с.... (15) Если индексы а, Ь, с ...
различны и расположены в естественном порядке, то вектор и„, определяется как базисный вектор и//л . Во всех остальных случаях произведение и,или,... преобразуется с помощью соотношений (12) и (13). Если, например, Ьс — первая пара расположенных друг за другол/ индексов, для которых не выполнено условие Ь(с, то запишем произведение (15) в виде и, (иаи,) и заменим иаи, в соответствии с (!2) и (13) одной из формул; //„//л =- //, (с =- Ь), ил/1с = иси/, + //сь (с Ь) Я(и/) =///, В( ь ц)=В(и/, и;)=Ь/ (!~/), Определим теперь умножение векторов так, чтобы выполнялись равенства: 339 ПРИМЕРЫ АЛГЕВР 4 93] Множители г/ь и г)„ставятся перед произведением. Получаем и„(иьиь) ...=/)ьи " и,(и„и,)...= — и,и,иь...+ г/„и ... После такого преобразования в произведении будет меньше или на два множителя, или на одну инверсию.
Прадо !жая таким образом, мы в конце концов получим некоторое выражение вида (14). После того, как объяснены символы и,ь,, можно определить произведение двух базисных зпементов снова с помощью (6) и доказать ассоциативность умножения. Тем самым полностью определена клиффордова алгебра (или алгебра Клиффорда) (ь. формы Я (х). Если форма Я нулевая, то алгебра Клиффорда становится грассмановой алгеброй.
Если в (14) ограничиться членами с четным числом индексов: еа+ 'У', и//а//+,,'г, иц„ии„+ .. /</ г</<ь</ то получится подалгебра, называемая второй алгеброй Клиффорда б,. Инвар/гантиое определение алгеоры ц получается так: возьмем н тснзориом кольце Х двусторонний идеал Х порождеш(ый выражениями нн — ]2 (и), и построим кольцо классов вычетов ь/3. Отправляясь от этого определения, Шев аллет) развил теорию алгебр Клиффорда над произвольным основным полем. Простое доказательство того, что инвариантное определение совпадает с данным выше, можно найти в работе: на н де р В а р де н (чап бег Тчаегбеп В. Е.).— Ргос. Коп. ]4еб. А]гав.
Агпз1егбаш, 69, Б. 73. Вторая а чгебра Клиффорда была использована Б р а у з р о м и В е й л с и (Вгонжег 1.. Е. Д, Тче!! Н. — Ашег. Л. Мащ,, 57, р. 245) для доказательства того, что ортогоиальные преобразования (т, е, линейные преобразования Т с определителем 1, оставчяющие инвариантной данную квадратичную форму гг) представляются в виде Ти=ьнз '.
Здесь и пробегает векторное пространство 3)!, а ь — элемент алгебры б, переводящий пространство 99 в себя: айяь з=%. В данном случае необходимо предполагать, что характеристина поля Р отлична от 2, а форма /;] неособая. Для случая характеристики 2 рассмотрения несколько сложнее (см. книгу Шевалле, теорема П 3.3). Зада ч а !. Вторая алгебра Клиффорда бинарной квадратичной формы Я (хг, хь) = о,х', + огзхгхз + взх), не разлагающейся в поле Р на линейные множители, является расширением гжновного поля, в котором данная форма разлагается. ') С!зета]]еу С, Тье а]яеьга]с !]/еогу о1 зр/пош,— Со!нпняа Ошч, Ргсм, Ь54. 340 АЛГЕБРЫ [Гл.
хгп 3 а д а ч а 2, Вторая клиффордова алгебра тер нар ной квадратичной формы [г(хг, х, ха)=В»к!+Ваха+в»к! является алгеброй обобщенных кватернионов. $ 94. Произведения и скрещенные произведения 1. Лроизведение векгпорных ггроспгранств. Пусть 2[ и 4) — конечномерные векторные пространства над полем Р: 2[=-и,Р+...+и Р, З=о[Р+...+о,Р. Определим произведение рг(хб. Для этой цели построим пространен[во-произведение, натянутое на тп базисных векторов и;», где г' пробегает значения от 1 до и, а й пробегает значения от ! до п: 5 = г»д гвг»Р, и определим для каждого и нз р! и для каждого о из кг произведение: ио = ' )) ггг хг) ~ ~~ о»!1»у — — ~ игг»аг()», г, » В частности, тогда иго» = игг» Таким образом, все элементы пространства 6 нмегот вид иг = 5" с[го»уг» = ~ югг,тг» (1) г,» г,» Этп выражения называгот также двухвалеитными тензорами, а пространство-произведение (1 — Гпензорным произведением просглрансгпв 21 и 6.
Вместо (1) можно также записать ы = ~~ иг(гг, (2) где Ьг — произвольные элементы из й). Таким образом, пространство (Р является прямой суммой подпространств гггй)г (», = и [В +... + игггя), (3) Формула (3) показывает, что модуль 6 не зависит от выбора базиса в 6. Элементы пг иэ 6 можно записывать в виде (2) и их сложение и умножение на элементы из Р можно определить без введения базиса в пространстве 6. Равным образом, вместо (1) можно писать и[=- ~„'а„о», % э41 ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СКРЕЩЕННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 341 Следовательно, 6 = 2(о, +...
+2(о„, (5) 2. Произведения алгебр. Если 21 и 6 — алгебры то можно построить модуль 6 =--2(х6 и превратить в которой произведения базисных элементов и!!ь так: над полем Р, его в алгебру, определяются ас!лгоу! = (и,о„) (и!о!) = (и,и,) (о,о!) (7) Нетрудно обойтись и без базисных элементов в 6, если записать элементы из 6 в виде (2) и положить (~' и;Ь! ) ' ~' и!Ь;~~)-— - ~„и!и;Ь|Ь,'. Это можно выразить следующими словами: произведения базисных элементов и;и, алгебры 21 строятся точно !пак, как они определяются в 21, но вместо Р в качестве кольца коэгр!рициенпгов следует бра!Пь алгебру 6. Полученная алгебра будет обозначаться также через й(а!. То же самое обозначение будет применяться и тогда, когда 6 является произвольным кольцом, содержащим поле Р в своем центре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
