Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Пусть, например, й)Ь; тогда линейные уравнения 11, = О, ..., »(» = О, 4„= О, ..., »(, = О определяют пространство размерности, большей п — г. Для произвольного вектора и этого пространства должно иметь место Б неравенство Г(и, и) = ~ у1»(»==.0, а с другой стороны — неравен»+1 л ство 1(и, и)=~,'у,'с(1 (О; следовательно, )(и, и) 0 и все коор- 1 динаты»11 и»(; нулевые, Поэтому вектор и лежит в )т„,. Полу. квлдглтичиыв н зР»»итозы Фогмы 321 чается, что некоторое пространство размерности, большей п — г, содержится в (и — г)-мерном пространстве, чего быть не может. Если все коэффициенты у, в (14) положительны, то в случае г =- п форма ) называется положительно определенной, а в случае г(п — полуопределенной. Положительно определенные формы характеризуются тем, что на любом векторе и г'=О они принимают положительное значение; полуопределенные формы характеризуются тем, что их значения не всегда положительны, но всегда .=== О.
Положительно определенная форма, как это немедленно следует нз (14), после присоединения к полю К величин )Гу! при. водится к «единичной формем Е (и, и) = ~ й). Аналогом квадратичных форм являются эрмитоеы формы. Чтобы получить их, присоединим к упорядоченному полю К квадратный корень 0 из какого-либо отрицательного элемента а поля К, например 9=~/ — 1. 0 величинах поля К будем говорить, что они «ве«цественны», чтобы отличать их от величин поля К (5); в приложениях поле К большей частью является полем вещественных чисел и З=)à — 1. С каждым числом с=а+Ьа сопряжено число С =а — ЬЗ. Произведение се=а' — Ь«6» всегда вещественно и =О, причем знак равенства возможен лишь прп с=.О. Под эрмитоеой формой мы понимаем выражение Н(и, и) = — ~„~~ Ьмс,с» (Йм=й»!).
Значение формы Н на произвольном векторе и всегда вещественно. Построив Н (и + ) о, и + Хо) = '~~ ~ ймс!с»+ Х,У',,У', lгмс й» + +Х ХХ Ь й с + Ц ХХ 1»!»д!й, получим в качестве коэффициента при Х билинейную форму Н (и, о) = ~Х~ ~х ', 1»!»с!а». Имеет место равенство Н (о, и) =Н(и, о). При линейном преобразовании переменных со где е, преобразуются, конечно, сопряженным преобразованием с матрицей Р =~'й!~'2, матрица Н эрмитовой формы меняется так: Н' =-Р'АР, где Р' =- Р' — матрипа, транспонированная и сопряженная к Р. липеинля Алггягл 1гл. хп Наши предыдущие рассмотрения о представлении квадратичных форм в виде суммы квадратов остаются справедливыми и для эрмитовых форм.
Нормальная форма выглядит в данном случае так: Г Н (и, и) = ~'„у,с,с; (у, вещественны). (15) ! Форма Н вновь называется положительно определенной, если все значения Н (и, и) положительны, за исключением случая, когда и =О пли когда г=п и коэффициенты у„..., у„положительны. После присоединения к основному полю квадратных корней из у, положительно определенная форма приводится к «единичной форме» Е(и, и) =- ~' с,сн Последующие рассуждения справедливы в равной степени для эрмитовых и для квадратичных форм. Мы будем говорить о формах эрмитовых, а дяя того чтобы перевести доказываемые предложения на случай квадратичных форм, надо выбирать коэффициенты в поле г( и отбросить надстрочные черты в записях.
Мы будем выбирать конкретную, большей частью положительно определенную эрмитову форму 6(и, и) ранга и в качестве основной формы и будем обозначать через 6 матрицу ее коэффициентов ))д~!й Если, в частности, 6(и, и) — единичная форма, то 6 — единичная матрица Е. Два вектора и, о будут называться ортогональными, если 6(и, в) =О. В этом случае и 6(в, и) =О.
Векторы, ортогональные к фиксированному вектору и чн О, составляют линейное подпространство; оно называется подпроетранспгвом, ортогональним к вектору и. Если форма 6 положительно определена, то всегда 6(и, и) Ф-О, так что сам вектор и в этом случае не принадлежит ортогональному ему подпространству й„,. Базис, состоящип нз п попарно ортогональвых векторов о,, ..., и», который используется для представления формы в нормальном виде (15), называется полной ортогональной системой векторов.
Ортогональная система называется нормированной, если 6(ин и,) =!. Линейные преобразования А, удовлетворяющие равенству 6(Аи, о)=6(и, Ав) (для всех и и в), (16) называются эрмитово симметрическил»и или просто еимметриче.нпл~и. Вот как выглядит в расписанном виде последнее равенство: '~; У','5; диане,е, = ~~~ ят»е,а»,си или х» ъ» Кайо:= » д»аи 323 квлдглтичныс и эгмитовы во»мы »»О! илп А'6 =- 6А.
(17) Если, в частности, б — единичная форма, то условие симметрии выглядит просто: А+=А или ам=ам, чем и объясняется термин <симметрическое». Линейные преобразования А, относительно которых основная форма 6(и, и) инвариантна, т. е. 6(Аи, Аи) =6(и, и) или А'6А =6, (18) назьтаются унитарнылт, а в вещественном случае — ортогональными. Очевидно, что тогда и 6(Аи, Ао) =6(и, о). В частности, если 6 =Е, чего всегда можно добиться в положительно определенном случае, то высказанное условие выглядит так: А'А =Е или А+=А-' или АА« =Е. Расписывая подробно, получаем «условия ортогональности» ( О для йФЕ ,5, а;»аи = б„= ~ ~ 1 для я=1, пли, что то же, ~ а»й7» — — бу.
Вещественное ортогональное преобразование с определителем 1 называется вращением. Если симметрическое или унитарное преобразование А переводит отличный от нуля векпюр и в кратный ему: Аи=йи, (19) т. е. если А оставляет инвариантной прямую, порожденную вектором и, то и ортогональное к и подпространство 1«„„остается инвариантным относительно А. До к аз атель ство. Если о прииадчсжит пространству 7«„о т.
е. 6(и, о) =О, то для симметрического преобразования А имеет место система равенств С(и, Ао) =6(Аи, о) =6()и, о) =кб(и, о) =О, а для унитарного — система равенств 6 (и, Ао) = б (АА-'и, Ао) = 6 (А-'и, о) = =6().-'и, о) =Х-'6(и, о) =О. Вектор и ~ О со свойством (19) называется собственным векторол~ преобразования А; число Х называется соответствующим собственным значением. 324 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ИГЛ. ХИ Как мы уже видели в 9 89, собственные значения находятся из векового уравнения ап ам А'(А) = — аьГ А — ам ...
= О, (20) а соответствующие собственные векторы — из линейных уравнений, эквивалентных матричному равенству (19): ~', амс„= )сь (21) Предположим, что поле К вещественно замкнуто (например, является полем вещественных чисел) и поэтому поле К (ь) алгебраически замкнуто (ср.
9 81); тогда вековое уравнение (20) обязательно обладает корнем Л, в К(ь), которому соответствует некоторый собственный вектор е,. Ортогональное к е1 подпространство Р„, переводится преобразованием А в себя, и на )т„, преобразование А снова симметрическое или унитарное, если таковым оно было на И„. Следовательно, по тем же причинам в Р„, существует некоторый собственный вектор е„ортогональное пространство к которому внутри Р„т — обозначим его через Р„,— вновь инвариантно и т. д.
Таким образом, нси)дется полная система из и линейно независимых попарно ортогональных собственных векторов е„..., е„: Ае, =).,е,. Если перейти к новому базису е„..., е„, то матрица А примет диагональный вид: А~ о А,=Р-'АР= (22) Такую нормальную форму, согласно сказанному ваше, имеет как симметрическое, так и унитарное преобразование. Если мы нормируем векторы е, условием 6(е„„е,.) =1, а это всегда возможно, потому что поле К вещественно замкнуто и содержит квадратные корни из положительных величин 6(е„е„), то форма 6 на базисе е, окажется равной единичной форме Е.
Если матрица А симметрическая, то должна быть симметрической и А„совпадающая, следовательно, с А+,, и поэтому ) =)., или А,еиК. Характеристический многочлен матрицы А или матрицы А, таков: п у (х) = П (х — Х ). (23) 1 КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ Отсюда: вековое уравнение )1(й) =6 силгмегпрической матрицы А имеет только вещесгпвенные корни. Если, кроме того, матрицы А и 6 вещественны, то вещественны и собственные векторы е,— как решения вещественных уравнений (21).
Отсюда: вещественная симметрическая матрица приводится к диагональной форме (22) веи(ественным линейным ггреобразованием. С симметрическим преобразованием А инвариантным образом связана зрмитова форма Н(и, и) = 6(и, Аи) = 6(Аи, и) с матрицеи Н=6А, по которой восстанавливается матрица А: А=6 'Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
