Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 70
Текст из файла (страница 70)
В этой книге мы ограничимся ассоциативными алгебрами конечной размерности над полем Р. Слово алгебра будет отныне употребляться в этом узком смысле. 9 92. Прямые суммы и пересечения В своих лекциях Эмми Нетер всегда подчеркивала важность связи между прямыми суммами и пересечениями модулей. Эта идея проходит красной нитью через все ее творчество. Сейчас мы разъясним эту связь, начав с мультипликатнвных групп и перейдя затем к адднтнвной форме записи. Пусть группа 6~ является прямым произведением подгрупп '.>!н ..., чй„, Это означает, что: 1) каждая подгруппа 21; нормальна в 1!); 2) произведение подгрупп 91„..., 2(„равно Г)); 3) если 6,— произведение всех 41,, за исключением 91ь то '%()6;=К где 6 состоит из одного лишь единичного элемента, В силу З 53 из 1), 2), 3) следует, что каждый элемент д группы О) однозначно представляется в виде произведения а, ...
... и„(а, ~ 9!7) и для 1~! каждый элемент подгруппы 21, перестановочен с каждым элементом подгруппы )1~. Из 2) следует далее, что Л;6, =.б). Группа 6, состоит из произведений а, ... а„, в которых множитель гч равен е. Отсюда следует, что пересечение всех подгрупп 6; равно Ф.
и пересечение всех 6 с /ч'=! равно 91ь Тем самым подгруппы 6, обладают следующими тремя свойствами, до некоторой степени двойственными свойствам !), 2), 3): 1') каждая подгруппа 6; является нормальной в 9; 2') пересечение 6,() ... () 6„ равно Ф; 3') если 91, — пересечение всех подгрупп 6,, кроме 6ь то 'Л;6; = Э. (1) Если выполняются свойства !'), 2'), 3'), то единичная подгруппа (В называется прямььн пересечением подгрупп 6„..., 6„. Если в 2') вместо 6 стоит другая группа Т, а !') и 3') остаются неизменны:,ш, то Т, называется прлмыл пересечением подгрупп 332 ллгевгы ~гл, хгп 6„..., 6„, Этот общий случай без труда сводится к случаю л>=6 введением факторгрупп ®Ь и 6ут'.
Докажем теперь 1), 2), 3), исходя из 1'), 2'), 3'), Если опрецелить подгруппы й(> с помощью 3'), то из 2') будет следовать 21> П 6> = ~. (2) Подгруппы»(ь являясь пересечениями нормальных подгрупп, сами являются нормальными в Я. Покажем, что их произведение равно (1> и произведение всех й>(п за исключением Мь равно 6ь Пусть у — произвольный элемент нз 0>. В силу (1) н (2) группа 9 является прямым произведением подгрупп Й> и 6„ так что д однозначно представляется в виде д=аА (а;енй(ь (>;ен6,).
Далее, каждый элемент подгруппы 2); перестановочен с каждым элементом подгруппы 6; и, в частности, с каждым элементом подгруппы 212 (1 ~= 1). Составим произведение Р д =а, ...а,. Тогда -1 Г ь — ! — ! д- д =Б> а; а,,а„ В силу перестановочности элементов а, последнее выра>кение ьюжно записать так: д 'д' = (>р'а, ...
а,,а, и... а„. Все сомножители справа лежат в подгруппе 6ь в силу чего д-'д' лежит в 6, при любом Е В силу 2') отсюда следует, что д-'д' = е, так что д' =д. Следовательно, каждый элемент д группы 9 представляется произведением а, ... а„. Если элемент д лежит в подгруппе 6ь то сомножитель а, равен е, и поэтому каждый элемент подгруппы 6, представляется в виде а, ...а,,ам ...а,. Отсюда следует, что произведение всех подгрупп 'Му равно 9, а произведение всех подгрупп 2(р за исключением Й;, равно 6ь Следовательно, подгруппы 21, обладают свойствами 1), 2), 3). Из (1) н (2), в соответствии с первой теоремой об изоморфизме, следует, что ®6 л2(> В адцитивной записи все доказанное можно сформулировать так: Если модуль Ю яв яется прямой суммой подмодулей 21„ ..., 21„ и 6; — сумма всех 2(н за искл>очением Я„о>о подмодуль (0) ззз ПРЯМЫЕ СУММЫ И ПЕРЕСЕЧЕНИЯ з згг является прямым пересечением подмоду.?ей 6„..., 6„, а ??г являе?пся пересечением всех 6, за искл>очением 6ь Верно и обратное.
Наконец, имеет место изоморфизм (з)?6?:=- 'Лг. Все сказанное имеет место и для групп с операторами. В приложениях к теории колец 9 является кольцом, для которого 9 служит областью левых или правых операторов. Модули ".(г и 6? становятся в этом случае левыми или правыми идеаламн в 9. Таким образом, нам предстоит иметь дело с некоторым представлением кольца 9 прямой суммой левых или правых идеалов Р(г и с соответствующим представлением нулевого идеала прямым пересечением левых или правых идеалов 6Р Мы сохраним теоретико-групповые обозначения, потому что каждое кольцо будет рассматриваться как аддитивная группа, для которой само это кольцо служит областью операторов.
Если ?гг (и также 6?) являются двусторонними идеалами, то пРоизведение !?(?г?г? содеРжитсЯ как в?г? так и в е(п Однако длЯ г =~? пересечение й(,ВР?? является нулевым идеалом, в силу чего ?(г'?(? = (О). Следовательно, Если кольцо 9 является прямой суммой двусторонних идеалов Р(ь 9=г(,+...+Р(„, (3) то й(г яв,гяются кольцами, аннулируюи(ггми друг друга; р(??( = (О), г ~=?. Обратно: если кольцо 9, рассматриваемое как аддптивная группа, является прямой суммой колец р(„ аннулирующих друг друга, то кольца г?(г являются двусторонними идеалами в 9.
Доказательство очевидно. В этом случае говорят, что кольцо 9 (или, в частности, алгебра 9) является прял?ой суммой ко.ыц (или алгебр) !?г?. Если имеют место (3) и (4), то строение кольца 9 легко выясняется через строение колец г?(г. Именно, если о и?г — элементы кольца, представленные с помощью (3) и (4) в виде у = йг -Г' ° ° ° + Кл ??=йг+...+?г„ то И, ?г = (йг+?гг) + "+ (й. +?г.) й?г =дгйг+...+д.?4, т. е. сложение и умножение происходит покомпонентно. Задача. Если кольцо О? с единиией задается прямой сума?ой левых идеалов о? = й+...+ г„, (5? а разложение единицы задается равенством е=ег+...+за, (в? (гл.
хги АЛГЕБРЫ зо (з=й)е; н е'; = с а е~е = О, ( м'= '!. Наоборот, если выполнены (6), (7), (8) н определены й =юеь то Се задается прямой суммой левых идеалов (Р Если, равным образом, определять гз = ез9, то кольцо (Э окажется прямой суммой правых идеалов (7) (8) (9) ((о) 9 93. Примеры алгебр в которой суммирование ведется по всем ( и й, принимающим значения от 1 до и.
Правила умножения для базисных элементов См таковы: СмС)А=О ((чь)), С„,сгя = Са,. 2. Алгебра квитернионов. Пусть 6 — четырехмерное векторное пространство с базисными элементами е, )', й, 1. Будем считать, что е является единицей, т. е. е'=е, е)'=) и т. д. Зададим далее равенства )' = — еа, й' = — е(), где а и р — произвольные элементы поля Р, и ф= — — в) =1. 1'огда 1'=Ай= — 1')'й = — Р, 11=1)н = — ессй = — йа, 1) = — й)')'=+ йеа = йа, )й=-йЧ=+еИ=У, (й=)йй= — И= — Ф Получившаяся алгебра е( называется алгеброй обобщенных кваглернионов. Ее элементы выглядят так: х=ех„+)х,+йх,+(ха (х„хм хе, хаен Р).
1. Важным примером алгебры является полное матричное кольцо Р„состоящее из всех п-строчных квадратных матриц с элементами из поля Р. Эта алгебра имеет ранг л'. В качестве базисных элементов можно выбрать матрицы С,а, в которых на пересечении 1-й строки и й-го столбца стоит 1, а на остальных местах нули. Каждая матрица А с элементами аза представляется в виде суммы 'У, 'С;„аин ззз ИРимеРы хлгевР $ 9н Само собой разумеется, что элементы ех, и х, отождес1вляются; таким образом, ноле Р оказывается вложенным в алгебру Л.
Норма произвольного элемента х определяется равенством )т' (х) =- хх = (ех, + 1х, + Йх, +!х,) (ех, — 1х, — 1гх, — 1хз) = = х', + ах| + ()х1 + а~х,',. Если эта квадратичная форма представляет нуль (т. е. обраща- ется в нуль на таких хь которые не равны нулю одновременно), то произведение хх может быть нулем при хФО, а 11 может обладать делителями нуля.
Если же упомянутая форма не пред- ставляет нуля, то каждый х~О обладает обратным: х '=х(х„'+ссх11+~х1+а~х.,-') ', и, следовательно, алгебра 11 является телом. Матричное предсваеление алгебры обобщенных кватернионов Э( получается тогда, когда й1 рассматривается как двойной модуль, для которого У1 служит областью левых, а Х =Р(1) — областью правых мультипликаторов. Будем считать, что — сс не являегся квадратом в поле Р; тогда Х = Р (1) = Р (~~ — Я) — поле. Алгебра й1 является двумерным векторным пространством пад этим полем; в качестве базисных элементов можно взять, например, е и — й.
Векторы х представляются тогда зак: х=е(х,+ 1х,)+( — й)( — х,+)х,,). (1) Если эти векторы х умножать справа на произвольный элемент д, то получится линейное преобразование )г векторного пространства т1, которое представляется некоторой матрицей. Эту матрицу мы также обозначим через У. Ее столбцы получатся, если умножить базисные элементы е и — й слева на д и результаты снова записать в виде (1). Если, в частности, в качестве д взять 1, й или 1, то получатся матрицы ~1 о ~ 1( !) о В1 1 ~~0 ф~( Если теперь выбрать а=р=1, то получатся гамильтоноеы кепгвернионы х = ех, + 1х, + йхе + 1хз с правилами оперирования: 1В йй 12 1й=1, й1.= — 1, й1=1', 1й= — 1, 11=А, 11= — й. 336 АЛГЕБРЫ !ГЛ. Х!Н Если Р— вещественное числовое поле, то в матричном представлении элемент / можно заменить на мнимую единицу !.
Тогда '=~~' -'! '=1-' '! '=Г'1 5. Если в качестве базисных элементов алгебры взять все элементы конечной группы и„..., и„, то получится групповое кольцо этой конечной группы. Очевидно, здесь будет выполнен закон ассоциативности. 4. Граесманоео внешнее умножение. Будем исходить из векторного пространства У) = и,Р+... + и»Р и зададимся следующей целью: определить ассоциативное умно- жение векторов, для которого выполнялись бы правила: ии=О н ни+пи=О. (3) Для этого чисто формально образуем сначала произведения ба- зисных векторов и, в естественной последовательности !О» =и!и!и» (! () (и), причем произведение пустого множества будет обозначаться че- рез е. Эти 2" произведений мы возьмем в качестве базисных элементов некоторого векторного пространства й. Тем самым, элементами пространства у( являются суммы еа+ ~, и,а, + ~ ипа„+... + и„„а„ ! 1(/ Теперь определим произвольные произведения (5) и,!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
