Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Если ядро — нулевой идеал н гомоморфнзм является нзоморфизмом, то представление называечся точным. Представление а А называется (как и в Э 87) приводимым, если модуль представления И обладает подмодулем 81, отличным от (О) и И. Если такого подмодуля нет, то людуль И прост, и представление а А называется неприводимым. Если модуль И является вполне приводимым в смысле й 53, т. е. равен прямой сумме простых модулей, то и представление называется вполне приводимым. Вид матриц приводимого и вполне приводимого матричных представлений был описан в э 87 с помощью формул (4) и (7). Два представления кольца ь называются эквиваленпшыл!и, если они связаны с изоморфными двойными модулями. В случае конечномерных векторных пространств это означает, что прн соответствующем выборе базисов матрицы обоих представлений совпада!от.
Несмотря на простоту этих связей, их значение очень велико для описания сгроения алгебр и теории представлений алгебр. Уже в Ч 93, пример 2, мы получилн представление кватернпонов двустрочными матрицами, при котором сама алгебра кватерннонов 2!1 рассматривалась как двойной модуль (с областью левых операторов 21 н областью правых операторов Е). $ 96. Малый н большой радикалы Идеал а (левый или правый) называегся нильпотентнь!м, если некоторая его степень а" является нулевым идеалом.
Имеет место Л е м и а 1. Сумма (д, () двух нильпотентных левых идеалов нильпотенп!на. Доказательство. Пусть а =-ьч=(0). Если вычислить идеал (а, ь) '"-', то получится сумма произведений из т+п — 1 лшожителей, которыми являются а или 8. В любом таком произведении либо множитель д встречается по крайней мере т раз, либо множитель (! встречается п раз.
В первом случае произведение имеет вид д ... а ... а ..., где д встречается не менее, чем т раз. Так как ьа ь= а, из сказанного следует, что ... д ... д ... д ... — д"' ... = (О)!. АЛГЕБРЫ ггл хгн Второй случай рассматривается аналогично. Тем самыьг произведения равны нулю и (и Ь)м'Б. 1 — (0) Лемма 2. Каждый нильпотентный левый (или правый) идеал содержится в двустороннем нильпотентном идеале. Доказательство. Пусть ( — нильпотентпый левый идеал: (" =-)О). Тогда нильпотентен и идеал (ы ((ь)Б ((ь()Б 1» ~ Ьы 1 ь (Бь г0) Порожденный идеалом ( правый идеал (Ь гь) в соответствии с этим является суммой двух нильпотентных левых идеалов, а потому и сам он будет нильпотентным левым идеалом; следовательно, этот идеал является двусторонним и нильпотентным.
Под малым радикалом Я кольца ь мы подразумеваем объединение всех нильпотентных двусторонних идеалов. Согласно лемме 2 в этом объединенном множестве лежат все левые и все правые нильпотентные идеалы. Поэтому малый радикал Я можно определить и как объединение всех нильпотенгных левых (или правых) идеалов.
Можно также сказать: элемент а лежит в Я, если а порождает нильпотентный левый (или правый) идеал. Если кольцо с является алгеброй, или, более общо, кольцом с условием минимальности для левых идеалов, то малый радикал Я совпадает с определяемым ниже большим радикалом 51. В этом случае мы можем отказаться от прилагательного «малый» и просто называть Я ==г)) радикалом алгебры 2(. Алгебра без радикала, т. е. алгебра, радикал которой есть нулевой идеал, называется полупростой, Строение полупростых алгебр было выяснено Дж. Г. Маклеген-Веддерберном.
Его основные теоремы гласят; Каждая полупростая алгебра являегпся прямой суммой простых алгебр с единицей, а каждая такая проспгая алгебра изоморфна по.гному матричному кольцу над некоторьгм телом. Артин (АЬЬ. Ма(Ь. Веш. 13пгч. НапгЬпгп, 5, 5. 245) перенес теоремы Веддерберна на случай произвольных колец с условием минимальности для левых идеалов.
Без этого условия не удается получить простые структурные теоремы. Препятствие, как еще в ту пору подозревали, состоит в том, что радикал Я сказывается слишком маленьким. Ряд авторов, в том числе Бэр и Ле. вицкий, ввели ббльшие радикалы, Но только Джекобсону с помощью подходящего определения радикала Й удалось получить структурные теоремы для колец без радикала. Для детального ознакомления со всей теорией Джекобсона можно порекомендо.
вать его книгу «Строение колец». Здесь же мы ограничимся несколькими главными теоремами, МАЛЫЙ И БОЛЬШОЙ РАДИКАЛЫ В своей книге Джекобсон определяет радикал 3) кольца е как множество тех элементов а, которые в любом непрнводимом представлении представляются нулем.
Он доказал, что радикал 31 можно получить и как пересечение специальных максимальных правых идеалов, которые были им названы модулярными. Вместо правых идеалов можно взять и левые идеалы — это не имеет значения. Мы воспользуемся здесь модулярными максимальными левыми идеалами для определения идеала 31. Левый идеал " .называется модулярным, ес.чи существует элемент с кольца ь со свойством ас= а(й) для всех а еп ь. Элемент с играет, в некозором смысле, роль правой единицы по модулю (К Слово «модулярный» происходит от слова «модуль»вЂ” старого названия единичного элемента. Мы определим теперь болыиой радикал или просто радикал Я кольца ь как пересечение всех модулярных максимальных левых идеалов й.
Если, кроме самого кольца ь, в ь нет модулярных максимальных левых идеалов, то радикалом является все кольцо, которое в этом случае называется радикальным. Пусть й — модуляриый максимальный (левый) идеал. Модуль классов вычетов Р1с в этом случае является простым и допускает некоторое неприводимое представление. Ядро этого представления является двусторонним идеалом (2) или совокупностью всех тех а, для которых аь с: — 9. (3) Свойство (3) равносильно свойству аЬ е= ~1 для всех Ь е= ь.
(4) В частности, из (3) следует, что ас~ 8 и, таким образом, в силу (1) аен 2. Это имеет место для всех а из 41; поэтому ~)) с: й (5) Каждому идеалу е принадлежит идеал '~) =й: ь. В силу (5) пересечение всех идеалов ~11 принадлежит пересечению всех е, а потому содержится в радикале.
Докажем теперь, что и, наоборот, радикал 3) лежит во всех идеалах '11, а потому и в их пересечении. Пусть а — произвольный элемент кольца Н(. Мы должны доказать, что включение (4) справедливо при любых 6 и с, т. е. что элемент а принадлежит всем левым идеалам вида е'=~: у. ллгепгы 1гл. х»п Но элемент а лежит во всех максимальных модулярных левых идеалах кольца с. Поэтому достаточно показать, что и' либо равно с, либо является модулярным н максимальным идеалом в с. При фиксированных Ь и ". каждому элементу х кольца о соответствует некоторое произведение хЬ и, следовательно, вполне определенный класс вычетов хЬ + 2 по модулю (ч Это отображение является гомоморфизмом модулей. Его ядро равно в точности й" =йь: Ь, так что фактормодуль с»й" изоморфно погружается в фактормодуль с)(ь. Модуль с12ь минимальный, а потому возможны только два случая: либо с1(и изолюрфно отображается на нуль и, следовательно, само равно нулю, либо суйь' изоморфно отображается на сь'йь.
В первом случае (ь' =с, а во втором идеал 2', как и идеал о модулярен и максимален в о. Сформулируем все доказанное в одном предложении: Теорема 1. Радикал Я равен пересечению двусторонних идеалов й)=2:о, а потому и сам является двусторонним идеалом. Построим теперь факторкольцо о = сьЯ. Каждому модулярному максимальному левому идеалу й кольца с соответствует некоторый модулярный максимальный левый идеал йь=ьь»Я кольца с, и наоборот. Поэтому имеет место Теорема 2. Кольцо классов вычетов с1Я является кольцом абез Радикала», т.
е. Радикал кольца с»Я равен нулевому идеалу, Кольца без радикала называются полупростыми. Поэтому теорему 2 можно сформулировать так: Кольцо классов вычетов кольца о по его радикалу Я полупросто. 3 а дач а К Каждый левый идеал о' при условии, что льодули »Роз' и о/В операторно иаоморфны, приводит к совпадающим частным: Е ': о =!'; о = ьр.
3 а д а ч а 2. Пусть ". — модулярный левый идеал. Тогда в=о: о — содержащийся в Г двусторонний идеал, в котором лежат все двусторонние идеалы, принадлежащие идеалу р. Позднее нам понадобится следующая теорема: Теорема 3. Каждый льодулярный левый идеал 1Фс принадлежит некоторому максимально»ту левал»у идеалу 2 ~о (который, конечно, тоже модулярен). Доказател ьство. Пусть с — элемент кольца о со свойством ас— = а(1) для всех ае— : о. (6) Левый идеал 1 ие содержит элемента с.
Рассмотрим множество всех левых идеалов 1', содержащих 1, но не содержащих с. Среди них найдем максимальный идеа~ с. Такой идеал существует в силу леммы Цорна 8 69). Идеал 9 модулярен, так как содержит 1. Но он и максимален и не равен о. Действительно, если 2' — идеал, собственным обрззом содержащий 2, то 2' содержит и элемент с, а потому в силу (6) — каждый элемент кольца о, 355 ЗВЕЗДНОЕ ПРОНЗВЕДЕНИЕ > >7! Чтобы выяснить связь между малым и большим радикалами, введем в качестве вспомогательного средства новую конструкцию произведения. 9 97. Звездное произведение Звездное пооизведение а в Ь двух элементов а и Ь кольца о определяется равенством а«Ь =а+Ь вЂ” аЬ.
Джекобсон в этом случае пишет а Ь и называет конструкцию «круговой композицией>. Звездное произведение ассоциативно, а нуль является единичным элементом при таком ул«ножении! Оэа=а=-а О. Если кольцо о имеет единицу 1, то произведение а*Ь=с можно определить и равенством (1 — а) (! — Ь) =1 — с. Левый звездно обратный элел!ент г' для данного элемента г определяется условием г'вг=О, или г'+г — г'г=О, или, если есть единица 1, — условием (1 — г') (1 — г) = 1. Элемент г, обладающий левым звездно обратным элементом г', называется звездно регулярным слева (или квитрегулярным слева).
Точно так же определяются правый звездно обратный и звездно регулярный справа элементы — условием г 'г' =О. Элемент г называется просто звездно регулярным, если существует такой г', который является левым и правым звездно обрат- НЫМ ДЛЯ 2: Т е о р е и а 4. Каждый нильпотентный элемент г звездно регулярен. Доказательство. Если г'"=О и положить г = — г — г —...— г ., «>!-! то получится, что г'>2=-0=2*2'.
Таким образом, элемент г звездно регулярен. Если в некотором левом идеале ! все элементы звездно регулярны слева, то они и звездно регулярны. Действительно, пусть г — элемент из 1 и г' — его левый звездно обратный элемент; тогда г =-22 — 2, за ~гл. хш хлгевеы Следовательно, г' лежит и ! и обладает левым звездно обратным г'. Имеем теперь г=бвг=г" вг' г=г"*О=г", так что г*г' = г* в г' = О, т. е. г' — не только левый, но и правый звездно обратный для г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
