Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Эта теорема имеет обращение: Теорема 13. Любое вполне приводимое слева кольцо с правой единицей является полупростым и удовлетворяет условию минимальности для левых идеалов. Показательство. Пусть (23) — разложение кольца в на простые левые идеалы и пусть и,— сумма всех 1,, за исключением 1ь Тогда г1~; — 1; и, следовательно, 2,— максимальный идеал. Если е — правая единица кольца в, то ае= а для всех а и, следовательно, 11; — модулярный идеал. В силу Э 92 идеал ',О) является пересечением идеалов !ь а потому ь полупросто.
Согласно й 53 кольцо ь обладает композиционным рядом длины и. В силу 3 51 любой левый идеал 1 можно включить в некоторый композиционный ряд. Участок этого композиционного ряда от! до (0) имеет длину т= п; число т называется длиной идеала 1. Любой собственный подидеал Г идеала 1 имеет меныпую длину, потому что и ! и Г можно включить в некоторый композиционный ряд.
В каждом (непустом) множестве левых идеалов существует левый идеал !" наименьшей длины. Он является минимальным в данном множестве, так как любой идеал Г", сабе|асиным образом в нем содержащийся, имел бы меньшую длину. Следовательно, для левых идеалов кольца ь выполнено условие минимальности. !гл хгн лягавоы 9 99. Двусторонние разложения и разложение центра В 9 98 мы исследовали разложения в прямые суммы левых идеалов произвольного кольца о, подчиненного естественным требованиям; теперь мы намерены выяснить, что можно сказать о разложениях в сумму двусторонних идеалов. Теорема 14. Если кольцо о с единицей представимо в виде прямой сумчы прямо неразложимых двусторонних идеалов, оп|личных от нулевого идеала: о=а,+...+а„, (1) то зти идеалы а~ определены однозначно.
До к а з а тел ь ство. Если имеется какое-то второе разложение о=г,+...+с, то г, = ог, = (а,г„а,г„..., а„г,). Сумма справа является прямой, так как а1с,с=ам ..., а„г, =а„. Но так как идеал г, прямо неразложим, то произведения а;г, должны быть равны нулю, кроме какого-то одного, скажем, а,г,. Таким образом, с,=а,г, =а,. Точно так же показывается, что и наоборот, а, содержится в одном из гь так что г; с:-' а,: — гй отсюда следует, что!=! и г, = а,. Таким образом, каждый идеал с, совпадает с некоторым пз идеалов аь Для односторонних разложений в прямые суммы такая однозначность места не имеет.
Докажем теперь следующее: Если кольцо является прямой суммой двусторонних идеалов аь то центр 3 кольца о являепгся прямой суммой центров Д~ колец а,: 3 =3~+ +3' Доказательство. Пусть г=г,+...+г„— произвольный элемент центра и х=х, +...+х„— произвольный элемент нз о. Тогда гх=-хг; поэтому (2) г1х1 +...+ 2пхд =х1г1 +...+Хпап. Отсюда следует, что г,х, =-хе, для всех х, из а, т. е, г, лежит в центре кольца аь Обратно: если каждый элемент г, лежит двтстосонния слзложвпия в центре кольца а„то равенство (2) выполняется для всех х и гх= — хг, так что г лежит в центре кольца с.
Утверждения, которые мы рассматривали до сих пор, справедливы в произвольных кольцах с. Теперь же мы предположим, что кольцо с полупросто и удовлетворяет условию минимальности для левых идеалов. В этом случае с вполне приводимо слева: с=1,+...+1„ (3) и обладает единицей: е=е,+...+е„(е, ~ 1,). Если а — произвольный двусторонний идеал, то каждое произведение ае, является лежащим в 1; левым идеалом; поэтому оно равно либо 1о либо (0). Идеалы 1, можно расположить в таком порядке, чтобы выполнялись равенства ае,=1,..., ае =1, ае „=(О), ..., ае„=(0).
(4) Тогда 1„..., ! содержатся в а н поэтому в а содержится также идеал 1,+...+! . Каждый элемент а идеала а представляется в виде а = ае = ае, +... + ае„. В этой сумме слагаемые ае „, ..., ае„равны нулю, а потому она сводится к а=ае,+...+ае„. Следовательно, а с: — 1, +...+1„и а=11+" +1, (5) или словами: Каждый двусторонний идеал а является суммой некоторых идеалов 1о Для идеалов 1о входящих в формулу (5), имеют место равенства ай =- асе; =- ае; = 1о а для 1„, не входящих в формулу (5), справедливы равенства а(, = асел = аел = (0).
Таким образом, идеалы 1о входящие в формулу (5), характеризуются тем, что идеал а их не аннулирует: 'а!; ~ (0). Если идеал 1~ обладает этим свойством, то и все идеалы 1, операторно изоморфные идеалу 1ь тоже им обладают; а1~(0). Г1оэтому в (5) входят все идеалы 1, изоморфные идеалу 1о 364 АЛГЕБРЫ 1гл, хгн Пусть, скажем, идеалы 1,, ..., 1е изоморфны идеалу а остальные идеалы нет. Тогда утверждается: Идеал а,= — 1,+...+1, двусторонний. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для произвольного элемента Ь ~ о имеем: а,Ь= а,Ье= а,(Ье,+...+Ье„) ы »=(а,Ье,, ..., а»Ьее, ..., а,Ье„) Г= (1,, „1е, О,, 0) =а,, Следовательно, а, является правым, а потому и двусторонним идеалом. Этим способом из каждого класса попарно изоморфных идеалов 14 можно построить двусторонний идеал а,.
Пусть а„ а„ ... ..., а,— так построенные идеалы. Каждый двусторонний идеал а является суммой вида (5), и если эта сумма содержит какой-либо идеал 1ь то в нее должны входить и все идеалы 1о изоморфные идеалу 1ь Отсюда следует утверждение: Каждый двусторонний идеал является суммой некоторых иэ двуспюронних идеалов а„, а,, Последние являошся минимальными двусторонними идеалачи. Кольцо ь является прямой суммой идеалов а»: ь=а,+...+а,. (6) Последнее утверждение следует непосредственно из (3).
В силу й 91 идеалы а; являются кольцами, аннулирующими друг друга: а~а» =- ',0) для 1Ф я. (7) Из (6) и (7) вытекает, что каждый левый или правый идеал кольца а; является также левым или правым идеалом кольца ь. Для левых идеалов 1 доказательство проводится так: ь1 = (а, +... + а,) 1 ы = — (а,1, ..., а,1) ы с== (О, ..., ай ..., 0): — 1, а для правых идеалов — аналогично. Следовательно, каждый двусторонний идеал в а, яв1яется двусторонним идеалом в е. Однако, так как а, — минимальный двусторонний идеал, в а; не существует двустороннего идеала, отличного от а; н от (0).
Таким образом, каждый идеал а, является простым кольцом с единицей еь Мы получили в итоге следующую теорему: Теорема 15. Любое полупросгпое кольцо ь с условием минимальности для левых идеалов является прямой суммой простых колец с единицей. Для алгебр о теоремы первой половины 5 96 принадлежат Веддерберну. Исследуем теперь строение простых колец с единицей.
псостыв и псимитивные кольцл 5 !00. Простые и примитивные кольца Пусть с — простое кольцо с правой единицей е: ае=а для всех а. (1) Равенство (1) утверждает, что нулевой идеал является модулярным левым идеалом. Согласно 9 96 (теорема 3) существует модулярный максимальный левый идеал 9 чм с.
Модуль классов вычетов с79 является простым и дает неприводимое представление. Ядро этого представления — двусторонний идеал |11, который в соответствии с 9 96, равенство (5), содержится в 9 и не равен с. Так как с — простое кольцо, должно иметь место равенство '~ =(О), т. е. представление, соответствующее модулю с71', является точным. Кольцо, обладающее точным неприводимым представлением, называется примитивным. Таким образом, имеет место Теорема 16. Простое кольца с единицей примитивно. Выясним, верно ли обратное утверждение. Пусть с — примитивное кольцо и !Й вЂ” простой с-модуль, соответствующий некоторому точному представлению колы|а с. Пусть и — произвольный элемент модуля 91, не аннулируемый кольцом с.
Тогда си — подмодуль в 'л91, отличный от нулевого, а потому равный самому модулю '.й. Отображение х хи определяет некоторый гомоморфизм из с на 9)1, ядро которого является левым идеалом 9 кольца с. Модуль классов вычетов с/2 изоморфен модулю '.П, а потому является простым, т.
е. 0— максимальный идеал. Так как си=~Я, то элемент и должен иметь вид си: и=си. Отсюда следует, что аи=аси для всех а из с. Таким образом, отображение х хи переводит элементы а и ас в один и тот же элемент модуля 911. Отсюда: а = — ае (2), т. е. идеал 2 модулярен. Благодаря изоморфизму 991 =с79 представление, соответствующее модулю Э)1, эквивалентно представлению, соответствующему модулю сМ. Ядром этого представления является двусторонний идеал Поскольку рассматриваемое представление точное, должно иметь место равенство $ =- (О). Согласно 9 96 (теорема 1) радикал б) кольца с содержится в ')3, а потому 9! = 10), т. е, кольцо с полу- просто. Итак, доказана Теорема 17.
Примитивное кольцо полупросто. клгевры игл. хгп В первой части доказа ~ельства точность представления не использовалась. Использовалось лишь то, что модуль 91) прост и не все элементы модуля % аннулируются кольцом о. Поэтому для любых колец верна Теорема !8. Любой простой о-модуль 991, не аннулируемый кольцом о, изолюрфен модулю классов вычетов »19 по некоторому модулярному максимальному левому идеалу 9. Если $ — ядро представления, соответствующего модулю:Ш, то радикал Я содержится в идеале ~3, т.
е. все элементы из Я представляются нулем. Вернемся к примитивным кольцам. Из полупростоты кольца о следует, что прп условии минимальности для левых идеалов кольцо о является прямой суммой минимальных левых идеалов: о = 1» +... + 1„. По крайней мере один из идеалов 1; не содержится в идеале о, потому что иначе сумма о=1,+...+1„принадлежала бы ~, а это невозможно. Сумма (1ь 2) равна тогда кольцу о, потому что ~.'— максимальный идеал, в пересечение 1;1)9 равно нулю, так как 1; — минимальный идеал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
