Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Отсюда в силу (1!) 6= бз. Тем самым, элемент 6 инвариантен относительно группы 9, а потому лежит в поле Р. Но если это так, то выполнены все условия ассоциативности (!3). Поэтому элемент 6 не подчинен никаким условиям, кроме двух естественных: 6 ~0 н 6 ен Р, Если выразить из через оз= иву, то получится: (о )" = (изу) (изу) " (изу) = (из)" . уу'у' " у" . Произведение всех элементов, сопряженных с у, является нормой элемента у над полем Р. Поэтому (оз)" = ее, где е = 6Л> (у). (22) 6!ы доказали утверждение: Циклическая алгебра й полностью определяется как скрещенное произведение циклического поля г. с его группой Галуа Е заданием одного-единственного элемента 6 ~ О из основного поля Р.
Не изменяя алгебру 21, этот элемент 6 можно умножать на норму любого элемента ТФ О поля 2. Следуя Хассе, циклическую алгебру 1! обозначают символом (6, т, 3). Если в качестве Р взять поле характеристики, отличной от 2, а в качестве г. — квадрагашное расширение Р( — а) н затем положить 6= — (4, то в качестве соответствующей циклической 347 Л.ЧГЕГРЪ| КЛК ГРУППЪ| С ОПРРЛТОРЛМИ 5 «5| алгебры получится алгебра обобщенных кватернионов из примера 2. Несмотря на столь простую структуру, циклические алгебры являются очень общими конструкциями.
Брауэр, Хассе и Нетер (3. ге|не и. апдеел Ма1)ч., 167, $. 399) доказали «основную теорему», гласящую: любая центральная алгебра с делением над полем алгебраических чисел конечной степени является циклической. 3 ад а ч в |. Центр кольца является кольцом. 3 а д з ч з 2. Полное мзтричное кольцо Р„является центральной простой влгсброй пвд полем Р. 3 а д а ч з 3. Если все факторы йт Г равны |, то скре|цепное произведение поля л с группой ГВ является произведением поля ь с групповым кольцом группы Ь.
9 95, Алгебры как группы с операторами. Модули и представления Произвольная алгебра 91 как абелева группа отностительпо сложения обладает двумя областями операторов: В о-п е р в ы х, это — поле Р. Инвариантные относительно этой области операторов подгруппы являются линейными подпространствами. Во-вторых, это — сама алгебра 91, элементы которой рассматриваются как левые или правые операторы. Инварпантные относительно этой области операторов подгруппы являются левыми идеалами, правыми идеалал|и и двусторонними идеалами.
Раз и навсегда мы договоримся сейчас о том, что при рассмотрении (лев|их, правых нли двусторонних) идеалов в алгебрах поле Р считается областью операторов. Это означает, что в качестве допустимых левых идеалое рассматриваются лишь такие подгруппы, которые вместе с каждым элементом а содержат не только все произведения Га (Г принадлежит «1), но и все проязведения ар 11) принадлежит Р); аналогичный смысл имеет сделанное утверждение и для правых идеалов. Таким образом, допустимы лишь такие идеалы, которые одновременно являются и векторными подпространствами.
Точно так же два левых идеала операторно изаморфны лишь тогда, когда существует изоморфизм а а, при котором Га переходит в Га, а ар — в ар. Левый идеал называется простым или минимальным, если он не содержит допустимых идеалов, отличных от нулевого и себя самого. Для идеалов алгебры, подчиненных такому ограничению, выполняются условия максимальности и минимальности: Каждое непустое множество идеалов (правых, левых или двусторонних) содержат (по крайней мере) один максимальный идеал, т.
е. такой идеал, который не содержится ни в каком другом зла ллгевгы <гл хи< идеале данного множества, и один минимальный идеал, и. е. идеал, не содержащий ни одного другого иде ла данного мнвжевтва. Это утверждение справедливо, так как в силу приведенного выше соглашения каждый идеал является одновременно и векторным подпространством, а в любом непустом множестве линейных пространств размерности ( и существуют пространства наибольшей размерности и наименьшей размерности.
Чтобы получить основные теоремы теории алгебр при достаточно общих предположениях, мы будем на протяжении этой главы рассматривать не алгебры, а произвольные кольца в которых, в зависимости от потребностей, будет считаться выполненным условие максимальности или минимальности для левых или правых идеалов. Кольцо а может быть наделено областью операторов (с (играющей тут роль поля Р), элементы которой р, у, ...
обладают следующими свойствами: (а+Ь) () =-ар+ Ьр, (1) (аЬ) р =(ар) Ь =а(Ьб). (2) Если задана такая область операторов, то понятие идеала ограничивается следующим требованием: вместе с каждым элементом а идеал содержит и все элементы ар (р принадлежит й). Когда иам будет нужно подчеркнуть наличие этого условия, мы будем говорить о допустимых правых нли левых идеалах. Только для них будет требоваться выполнение условия максимальности или минимальности. Следует выяснить, какие из конструкций теории идеалов— суммы, произведения и т. д.— имеют смысл для некоммутативных колец с областью или без области операторов.
Прежде всего, ясно, что пересечение и сумма двух допустимых правых или левых идеалов вновь являются допустимыми правыми или соответственно левыми идеалами. Произведение а 6 (множество всех сумм ~„'аЬ, а ен а, Ь ~ Ь), как это можно заметить непосредственно, является допустимым правым идеалом, если таковым является правый сомножитель, и допустимым левым идеалом, если таковым является левый сомножитель. Второй множитель в этом случае может быть совершенно произвольным множеством илн просто некоторым элементом из с; например, рв — это множество всех произведений ра (а спи), являющееся правым идеалом, если 5 — правый идеал.
Если а — левый идеал и с — произвольное множество кольца е, то можно определить левое частное а: с как множество тех х нз в, для которых х«=-. а. Левое частное является левым идеалом, потому что из ж ~ а и ус Б а следует, что (х — у) с с:- а и из хс ~ а следует, что гх< юг<с ы а для любого г из а. Если а и с оба являются левымн 349 ЛЛГЕБРЫ КЛК ГРИППЫ С ОПЕРАТОРЛМИ 4 з51 идеалами, то ц: с явл яется даже двусторонним идеалом, потому что нз хг — о следует, что хгс ~ хс ~ а . Аналогично можно оп ределить правое частное двух правых идеалов, но нам это не потребуется . Чтобы показать, насколько важно условие минимальности, мы докажем следующие теоремы: Если о — кольцо с условием минимальности для левых идеалов, а — элелгент из о, не являогцийся правым делителем нуля, то в кольце о уравнение ха =Ь разрешимо для любого Ь.
Доказательство. В множестве левых идеалов еа" (и= = 1, 2, ... ) должен существовать минимальный, скажем, га'". Так как оа " с: — оа'" и условие оа " с: оа"' невозможно, то са '=оа . Следовательно, каждое произведение Ьам представимо в виде са ". Ьа'а = савы з. Отсюда после сокращения на т множителей а слева и справа получается равенство Ь=са, т. е, уравнение ха = Ь разрешимо. Точно так же доказывается: если о — кольцо с условием минимальности для правьгх идеалов и элемент а не является левым делителем нуля, то уравнение ах= Ь разрешимо. Из этих двух теорем следует утверждение: Если о — кольцо без делигпелей нуля с условием минимальности для левых и правых идеалов, то оно является телом. В частности, каждая алгебра без делителей нуля является телом.
Такие алгебры называются алгебрами с делением. Задача 1. Для кольца с единицей рассмотренное выше ограничение понятия идеала, связанное с учетом Р или П как области операторов, несущественно: в этом случае каждый идеал допускает умножение на Р или на йи 3 а д а ч а 2. Необходимым и достаточным условием для выполнения условий минимальности и максимальности для левых идеалов кольца е является существование композиционного ряда нз таких идеалов. Кроме идеалов кольца о, мы рассматриваем также и о-модули и, в основном, такие модули 91г, в которых мультипликаторы из о стоят слева.
Эти модули называются левыми о-модулями. Если а, Ь,,— элементы из о и и, о, ...— элементы из Я, то будет считаться, что выполнены условия: а (и+ и) = пи+ ап, (3) (а+Ь) и=аи+Ьи, (4) (аЬ) и = а (Ьи). (б) Если кольцо о наделено областью операторов ьг, то мы требуем, чтобы ьз была областью операторов и для Я (которые зво хлгеогы ггл хгп в этом случае пишугся справа) и чтобы выполнялись правила: (и+о) Д=гф+ий, (б) (аи) 8 = а (ар) = (ай) и. (7) Таким образом, рассматриваемые модули являются двойиыми (на них о действует слева, а Р— справа). Будет подразумеваться, что подмодули данного модуля И всегда допустимы, т.
е. таковы, что допускают в качестве операгоров элементы из о и ьг. Модуль И, не имеющий подмодулей, за исключением себя самого и модуля (О), называется прослгым, или минггмальным. Кольцо о называется гцгослгым, если оно является простым как двойной модуль, для которого само о служит областью левых и правых операторов (и, возможно, дополнительной областью операторов является г)), т. е.
если о не содержит никаких допустимых двусторонних идеалов, кроме себя самого и (О). Умножение элементов модуля И на фиксированный элемента кольца о дает неко~орый эидоморфизм А Я-модуля И: аи = Асг. (8) Таким образом, каждому элементу а кольца о соответствует некоторый эндоморфизм А. Произведению элементов аЬ соответствует произведение эндоморфнзмов АВ, а сумме а+Ь вЂ” сумма А + В, которая определяется равенством (А+ В) и = Аи+ Ви. (9) Следовательно, отображение а А является гомоморфизмом колец. Определим теперь эндоморфизм Ай для й ен гг формулой (Ай) и = (Аи) 8; (10) тогда произведению а() будет соответствовать произведение Ар. Поэтому гомоморфизм колец а А является одновременно и операторным гомоморфизмом относительно гл.
Гомоморфизм колец с этим свойством называется представлением кольца о (эндоморфизмами гг-модуля И). Мы видели, что каждый двойной модуль И (для козорого о — область левых, а ьг — область правых операторов) приводит к некоторому представлению кольца о. Если же, наоборот, задано представление а А кольца о эндоморфизмами некоторого гг-модуля И и с помощью (8) определены произведения аи, то модуль И будет двойным с областью левых операторов о и с областью правых операторов Й.
Если о — алгебра над основным полем Р, т. е. является векторным пространством над Й, то, как правило, ограничиваются лишь модулями И, являющимися векторными пространствами над Й; в таких модулях единичный элемент из Й является еди- мллып и Большов Рлп!!калы ннчным опера!ором. В этом случае эпдоморфизмы являются лннейнымп преобразованиями векторного пространства И, и мы имеем дело с представления.ии кольца ь линеиными преобразованиями. Ядро гомоморфизма а А состоит из тех элементов а, для которых аИ=-10), т. е. ядро является двусторош!им идеалом !О): хд1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
