Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Следовательно, имеет место нзоморфизм о12 ы1,. Модуль лй«изоморфен, таким образом, некоторому простому левому идеалу 1ь а представление, соответствующее модулю %, эквивалентно представлению, соответствующему модулю 1ь Согласно 9 99 кольцо с является прямой суммой двусторонних идеалов о,,; все они, за исключением одного, представляются нулем в представлении, соответствующем идеалу 1ь Если представление точное, то может сугцествовать лишь один идеал о„ т. е. о само по себе является простым кольцом с единицей. Мы доказали следующую теорему: Т е о р с м а 19.
Любое примитивное кольцо с условием минимальности для левых идеалов является простым и обладает единицей. Если объединить теоремы 16 и 19, то станет ясно, что для колец с условием минимальности, в частности, для алгебр, свойства «быть примитивным» и «быть простым кольцом с единицей» равносильны.
Строение примитивных колец в общем случае (без условия минимальности) было подробно изучено Лжекобсоном. Каждое примитивное кольцо о может быть погружено в кольцо С линейных преобгазований некоторого векторного пространства таким образом, чтз 0 окажется замкнутой оболочкой кольца о в некоторой вполне определенной топологии на С').
Здесь мы лишь ») ««ж « к обо он Н. Строение колец, гл. П. 367 4 свщ пгостые и пеимитивные кольцл построим упомянутое векторное пространство и укажем вложение кольца с в кольцо О. В этой конструкции важную роль играет кольцо эндоморфизмов произвольного с-хсодуля. Эндоморфиз,иы Е произвольного с-модуля Я определяются как отображения модуля Згс в себя, обладающие следующими свойствами: Е (и+о) =-Ьи+Ео, Ь (аи) = а (Есс). Свойство (3) утверждает, что отображение Ь должно быть перестановочно с преобразованиями А того представления а А, которое связано с модулем !И: ЕА =АЬ для всех А.
Если модуль Ю) обладает областью правых операторов ьс, то, кроме (2) и (3), требуется еще Е, (ар) = (Еи) р (4) для всех р из ьс. Например, если (с — поле и И вЂ” векторное пространство над этим полем, то свойства (2), (31 и (4) означают, что эндоморфизмы Е являются линейными преобразованиями векторного пространства 11), перестановочнымп со всеми линейными преобразованиями А представления а А. Если сумму и произведенне эндоморфизмов определить в соответствии с 3 45 равенствами (Ь+ М) и = Еи+ Ми, (ЬМ) и = Е (Ми), то эндоморфизмы образуют некоторое кольцо — кольцо левых вндолюрфизмов модуля !й.
В дальнейшем часто будет целесообразно записывать эндоморфизмы как правые операторы Л, и, ..., а их произведение определять равенством и(Лр) =(иЛ) и. Тогда вместо (2), (3), (4) выполняются равенства (и + о) Л = иЛ + оЛ, (аи) Л = а (иЛ), (ир) Л == (иЛ) р для () е= Й. (5) (б) (7) Правые эндоморфизмы точно так же составлиют некоторое кольцо — кольцо правых эндоморфизмов с-модуля '.'РЬ Когда в этом и следующем параграфах речь пойдет о кольце вндоморфизмдв некоторого модуля, будет постоянно подразумеваться кольцо правых эндоморфизмов. Оно инверено ссзоморфно кольцу левых эндоморфизмов, т.
е. каждому левому эндоморфизму Ь однозначно Алгевпы ~гл хгп сопоставляется правыи эндоморфизм Л так, что сумме Е+М соот. ветствует сумма Л+р, а произведению 1.М вЂ” произведение РЛ. Кольцо эндоморфизмов простого о-модуля является телом. Конечно, кольцо эндоморфизмов имеет единицу, а именно— тождественньш автоморфизм с. Остается доказать, что каждый эндоморфизм Л~ О обладает обратным Л '. Эндоморфизм Л отображает модуль И на некоторый подмодуль ИЛ. Если Л~-.О, то этот подмодуль не является нулевым, а потому должен совпадать с И.
Множество элементов, которые отображаются эидоморфизмом Л в О, является подмодулем в И, Если Л=д-О, то этот подмодуль не есть И, а потому он нулевой. Таким образом, эндоморфизм Л отображает модуль И изоморфно на себя. Но тогда он обладает обратным автоморфизмом Л-', что мы и хотели доказать. Описанное тело К называется телом эндоморфизмов простого с-модуля И. Так как единица г тела К является единичным оператором, то модуль И вЂ” векторное пространство над К. Элементы а кольца о в силу соотношений а(и+о) =-аи+ап, а (ггЛ) = — (аи) Л порождают линейные преобразования А векторного пространства И. Огображение а А является гомоморфизмом колец.
Если представление точное, то а А является изоморфизмом и кольцо с оказывается вложенным в кольцо О линейных преобразований векторного пространства И, 3 101. Кольцо эндоморфизмов прямой суммы Пусть И =-И,-(-... +Ȅ— прямая сумма и простых модулей. Мы собираемся исследовать кольцо эндоморфизмов модуля И. Если какой-либо элемент и ьюдуля У1 имеет разложение на Я,-компоненты вида и=и„+ ... +и„, то каждое отображение и иг является физмом яь Сумма всех этих эндоморфизмов ным эндоморфизмом ы с=я,+... +к„. некоторым эвдоморявл яется тождествен- (2) 3 а д а ч а К При любом вполне приводимом представлении иольца с радикал ЗГ представляется нулем.
3 а д а ч а 2. Простое кольцо, нс яаляюгцееся примитивным, — зто ие что иное, как простая аддитнвная группа; все произведения аб равны нулю. 3 а д а ч а 3. Любая простая алгебра без единицы является одномерным векторным пространством о,Р, где п) =О. 369 кольцо эндомояеизмов пгямоп свммы в 1ОЦ Таким образом, каждый эндоморфизм р может быть представлен в виде р = ци = (~ ', х«) р (~ ', х,) = ~ , 'х«рха «,с Положим х«рх, = р«д р=Хр тогда (4) Каждый из эндоморфизмов рм отображает модуль И«в модуль Иь а все остальные модули И«(я ФЬ) — в нуль. Следовательно, можно считать, что ры является гомоморфизмом модуля И„ в модуль Иь Гомоморфнзмы рм, входящие в (4), — всего их и'— можно выбирать произвольно; при этом их сумма всегда будет некоторым эндоморфизмом р и каждый эндоморфизм р можно получить таким способом.
Разложение р иа гомоморфизмы ры модуля И«в модуль И; однозначно, так как из (4) следует (3), если первое нз равенств умножить слева на х«, а справа — на х;. Если р =,У, р«~ и т =- ~ ', т«~ — два эндоморфизма, ~о легко построить их сумму и произведение. Для этого нужно иметь в виду, что р«р~«равно нулю для « ~(. Таким образом, р+т= ~(ри+ты) (5) «, ~ рт =- ~~ (~~~ р«м«) (е) «-.„' Зндоморфизмы р„можно записать в виде матрицы )| ры(р Тогда каждо«~у эндоморфизму р окажется сопосгавленной матрица из гомоморфизмов ры, которые могут быть любыми; при этом сумме р+т сопоставляется в соответствии с (5) сумма матриц„ а произведению рт в соответствии с (6) — произведение матриц.
Вообще говоря, многие из гомоморфизмов р«и равны нулю. Точнее, имеет место следующая теорема: Если модуль И„гомоморфно отображается в модуль И; и это отображение не яэляеа~ся нулевым, то оно является изоморфизмом из И«на Иь До к а з а т е л ь с т в о. Ядро такого гомоморфизма является подмодулем в И, и поэтому, если И„не переводится в нуль целиком, это ядро равно (О',. Образом является некоторый подмодуль в И, и, так как он не равен нулю, оп совпадает с И;. Из этой теоремы следует, что р„,=0, за исключением случая, когда имеет место изоморфизм И«=Иь Если мы распределим модули 11)~ на классы изоморфных друг другу и перенумеруем их так, чтобы И„..., И были попарно нзоморфны, затем И сц ..., И „, были попарно изоморфны и т.
д., то, зто Алгввгы [гл хп1 очевидно, матрицы (~р„;~~ распадутся на квадратные блоки из о, г, ... строк и столбцов, вне которых будут стоять нули: Ип "щч ил " ичч ич ~чл... ичч ~но" щч ~ Ичч " Ичч ~~ (7) первого блока. Элемент р„ принадлежит телу эндоморфизмов К, модуля ЧЛ,. Остальные элементы р„ не принадлежат этому телу, а являются гомоморфизмами из И„ в Иь Однако можно однозначно отобразить эти элементы на некоторые элементы тела К,; для этой цели мы фиксируем д изоморфизмов отображающих !И„..., Мч на Яо В качестве р, мы выберем тождественный автоморфизм.
Сопоставим каждому им элемент ) и = Ил'Рмр» (8) принадлежащий телу К, (так как рчч отображает Я, на Им ры отображает Яя в Юь а р; отображает И, на И,). Очевидно при этом сумме рю+ч„соответствует снова сумма, а произведению иытм, встречающемуся в (6), соответствует произведение. Таким способом матрице (7) однозначно сопоставляется матрица й Хм ~~ с элементами из тела К„причем сумма переходич в сумму, а произведение — в произведение.
Поэтому кольцо Е, изоморфно Если писать в первом блоке произвольные элементы, а во всех остальных — нули, то получится некоторое матричное кольцо Е„являющееся подкольцом кольца Е исходных матриц; точно так же, если всюду вне второго блока писать нули, то получится некоторое кольцо Е, и т. д. Очевидно, что каждый элемент кольца Е представляется в виде суммы элементов из Е„Е„... и что элементы из Е,, Е„... аннулируют друг друга.
Таким образом, кольцо Е является прямой суммой апнуяирующах друг друга колец Е„Е„... Чтобы выяснить строение кольца Е, нам нужно изучить лишь одно из колец Ео например, Е,. Элементам из Е, сопоставлены о-строчные матрицы зп СТРУКТУРНЫЕ ТЕОРЕМЫ з 1ои кольцу всех д-строчных матриц с элементами из тела К, — тела автоморфизмов простого модуля ЧР1,.
Подводя итог сказанному, мы получаем следующую теорему: Структурная теорема о кольцах эндоморфизмо в. Кольцо эндоморфизмов вполне приводимого модуля 991 является прялюй суммой полных л2атричных когец Е.; над телами Кь $ 102. Структурные теоремы о полупростых и простых кольцах Мы исходим из произвольного кольца о с правой единицей е: ае = а для всех а. Будем рассматривать о как модуль, для которого само же о служит областью левых операторов, и попытаемся определить эндоморфнзмы р этого модуля. Эндоморфизмы р являются отображениями модуля о в ссбя такими, что (а--, 'Ь) р.=-ар+Ьр, (аЬ) р =- а (Ьр).
Последнее свойство в случае Ь = е дает ар =а(ер). Эндоморфизм р совпадает, следовательно, с правым умножением на элемент а=-ер кольца о. Обратно, каждое такое правое умножение является эндоморфизмом; (а--'Ь) й.= ад+ Ьй, (аЬ) д = а (Ьа). Таким образом, эидоморфизмы р однозначно соответствуют элементам а' кольца о. При этом сумме соответствует сумма, а произведению — произведение. Мы получили утверждение: Если кольцо о с правой единицей риссматривать как левый модуль над самим собой, то кольцо правых эндоморфизл2ов этого модугя езол2орфно кольцу о.
В качестве приложения этой теоремы определим строение полупростых колец с условием минимальности для левых идеалов. Каждое такое кольцо согласно з 98 (теорема 11) является прямой суммой простых левых идеалов о =1,+ ... +1„. (1) Кольцо эндоморфизмов такой примой суммы согласно 2 101 является прямой суммой полных матричных колец над телами. С другой стороны, согласно 9 98 кольцо о обладает единицей. Поэтому кольцо эндоморфизмов изоморфно самому кольцу о. Тем самым получается 372 АЛГЕБРЫ 1гл хгп Структурная теорема для полупростых колец.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
