Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 81
Текст из файла (страница 81)
6т (у+ г) = От (у) + 6„(г), 6, (уг) = О, (у) 6, (г), 6,(гй) =0,(г) )). При этом гомоморфизме поля 3„..., Д„за исключением Д„представляются нулем, т, е. гомоморфизм О,— это не чго иное, как обозначавшееся раньше через а;,' представление первой степени центра. Представление О, задано всякий раз, когда задан Р-базнс модуля Д„, а в качестве последнего можно взять единичный элемент е„ поля Д,. Если каждый элемент г из Д записать в аиде 5 г= ~ еф„, (1) т =. ! то получится ге,=е )),=е,р,1 тем самым Е11ч будет представляющей матрицей, т. е.
От(г) = рт Вместо (1) мы можем теперь писать г= '~, е,6„(г). (2) ч=! Иначе говоря: коэффициентом От(г) разложения элемента г центра по идемпотентным элементам е, того же центра задают гомоморфизмы или представления первой степени этого центра. Зада ч а 1. Число представлений первой степени коимутативной алгебры е над алгебраически замкнутым расширением 11 поля Р равно рангу алгебры ааУй1 над Р, где Э! — Радикал кольца аа, ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕВР [ГЛ.
Х[Е Задача 2. Если К вЂ” поле, являющееся расширением поля Р, то число представлений первой степени поля К над [2 равно редуцированной степени поля К над полем Р. Равенство 9[ = (О) имеет место тогда и только тогда, когда поле К сепарабельно над полем Р.
2 107. Следы и характеры Следол» элемента а в представлении Ж вЂ” обозначение 5~(а) или просто 5(а) — называется след 5(А) матрицы А, которую представление дэ сопоставляет элементу а. След 5дз при фиксированном 'В, рассматриваемый как функция от а, называется также следом предспи»вления ЗЗ. В силу соотношения 5 (Р 'АР) = 5 (А) эквивалентные представления имеют равные следы. Следы являются линейными функциями, т. е. справедливы равенсгва: 5 (а+ Ь) = 5 (а) + 5 (6), 5 (ар) = 5 (а) р. Следы абсолютно неприводимых представлений (или, что то же самое, следы неприводимых представлений над алгебраически замкнутым полем) называются характерами '), Характер элемента а в ч-и неприводимом представлении д,ч будет обозначаться через Когда речь идет о фиксированном представлении, индекс У будет, как правило, опускаться.
При любом абсолютно неприводимом представлении Ж, степени и, элементы центра г представляются в соответствии с й !06 диагональными матрицами Е . 6,(г), где О, — некоторый гомоморфизм центра в поле »1. След матрицы Е . 6,(г) задается равенством х,(г) = п„.й,(г). (1) В частности, единичный элемент кольца о представляется единичной матрицей Е, след которой равен и;1 [[, (1) = и,. ') Многие авторы употребляют слово «хараитер» и для приводимых представлений и говорят в этом случае о «сложных характерах».
Мы избегаем такой терминологии, потому что в частном случае абелевых групп она не сов. падает по смыслу с принятым еще в давние времена термином «характер» (ср. 1 бл); хроме того, слово «след» не менее четко выражает суть дела, э 1Оп следы и хкихктагы В дальнейшем мы предполагаем, что степень п, абсолютно неприводимых представлений не делится на характеристику поля ьг. Тогда (1) можно разделить на и„ и получить (2) Так гомоморфиэмы центра описываются с помощью характеров. Теорем а. Любое вполне приводимое представление алгебры о над полем ьг характеристики 0 однозначно с точностью до эквивалентности определяется следами представляемых матриц. Доказательство. Если б( — радикал кольца ь, то любое вполне приводимое представление алгебры ь совпадает с некоторым вполне приводимым представлением факторалгебры ь/б(. По условию, следы матриц, представляюших элементы алгебры суй, известны.
Пусть э!Я=а,+...+а„ и е„..., е„— единицы в кольцах а„..., а„соответственно, Тогда в неприводимом представлении 'Ж, элемент а, представляется и„-строчной единичной матрицей; тем самым соответствуюгций след равен 5,(е,) =и„ и одновременно Я, (еи) = О дл я р, эь ч. Далее, вполне приводимое представление известно, как только известно, сколько раз в него входит каждое неприводимое представление Ь,. Если, скажем, представление Ж, входит о, раз, то все рассматриваемое представление состоит из о, блоков Х„ о, блоков Ж, и т. д, След элемента е, в этом представлении равен тогда Я (ех) = а,п,. (з) Из (3) можно вычислить параметры дч, как только известны следы Я(е,). Теорема доказана.
3 а м е ч а н и е. Следы всех элементов кольца ь становятся известными, как только известны следы базисных элементов алгебры ы Таким образом, если, например, ь — групповое кольцо некоторой конечной группы, то нужно лишь знать следы элементов группы — и тогда представление задано. Если а,„..., а„— базисные элементы и т,(а,) — их следы при неприводимых представлениях, то для любого представления имеют место равенства: 5 о (а~) =,У, Ччуч(а~).
(4) Согласно доказанной вьппе теореме этими равенствами числа а, определяются однозначно. Равенства (4) дают численный метод ТЕОРИЯ ПРЕДГТАВЛЕИИИ ГРУРП И АЛГЕБР [ГЛ Х[Ч разложения вполне приводимого представления на неприводимые составляю нне посредством вычисления следов. При этом должны быть заранее заданы характеры неприводимых представлений. $ 108. Представления конечных групп Мы докажем прежде всего следующую теорему: Теорема Машке. Любое представление конечной группы Сл) над полем Р, характеристика которого не делит порядок )л группы [л), вполне приводимо.
Дока за! ел ьств о. Пусть модуль представления % приводим и Я вЂ” его минимальный подмодуль. Покажем, что 8Я является прял[ой суммой Я+Я', где Я вЂ” вновь некоторый модуль представления. Как векторное пространство, модуль 8Я распадается в прямую сумму Я+%', но пространство йу прн этом может н не быть инвариантным относительно (з!. Если у — произвольный элемент из Я' и а — произвольный элемент из Ж, то ау однозначно представляется в виде суммы некоторого элемента из Я и некоторого элемента у' из Я', так что ау = у' ([под Я). Прн фиксированном а элемент у' однозначно определяется элементом у и зависит от у линейно: из ау =†у' н аг = г' следует, что а(у+а) =— у'+г' и аур =у'р для любого р ен Р.
Поэтому л[ожно записать у' = А'у, А'у = ау (пю[) Я), где А' — линейное преобрззование надпространства 9)', зависящее от а. Таким образом, преобразования А' составвяют некоторое представление группы Е, потому что из а А' и Ь В следует, что аЬ А'В'. Положим -„~л а-'А'у=9у=у"; а тогда у" также линейно зависит от у и элементы у" образуют некоторое линейное подпространство Я" = [сЯ'.
Но тогда по модулю Я имеем ! 'к! уа — = — „~~ а-'ау = у. а Следовательно, каждый элемент модуля % сравним по модулю Я не только с некоторым элементом у из Я', но и с некоторым однозначно определенным элементом у" из Я". Это означает, что э 1ов) пРедстлвления кОнечных ГРупп имеет место разложение в прямую сумму 8?1 =ж+ж". Наконец, для каждого элемента Ь из Я имеем Ьу" = — „~~ Ьа-'А'у =-„- ~ (аЬ ')-' (А'В' ') В'у =(гВ'у ~ ЦИ' = Я", а а т. е.
надпространство Яа переводится в себя операторами Ь из Ю, а это и означает, что 81« — модуль представления. Если модуль Й" приводим, то тем же способом можно выделить меньший модуль н т. д. В конце концов будет найдено полное разложение модуля 9?~ в прямую сумму и, следовательно, требуемое представление. Теорев|а Машке доказана. Согласно у 104 каждое представление группы б? можно продолжить до некоторого представления группового кольца о=а,Р+...+аАР; наоборот, каждое представление группового кольца о естественным образом задает представление группы 0?. Из теоремы Машке теперь следует, что каждое представление кольца о вполне приводимо.
В частности, это верно и для регулярного представления, допускающего в качестве своего модуля само с. Поэтому кольцо о является прямой суммой минимальных левых идеалов и в соответствии с ~ 98 (теорема 13) полупросто. Согласно ~ 105 минимальные левые идеалы кольца о задают все непрнводимые представления. Число абсолютно неприводимых представлений согласно ~ 10б равно рангу центра, а центр группового кольца, как легко проверить, состоит из всех тех сумм ~аЯ (ахЕН0), (1«яР), в которых сопряженные элементы имеют одинаковые коэффициенты. Элементы, сопряженные с данным элементом а, составляют некоторый «класся. Если Ь,— сумма элементов этого класса, то (1) — сумма таких й. с коэффициентами из Р. Следовательно, имеет место теорема: центр группового кольца порождается суммами классов й,. Ранг центра равен, таким образом, числу классов сопряженных элементов группы.
Мы получили теорему: Число неэквивалентных абсолютно неприводимых представлений группы равно числу классов сопряженных элементов в втой группе. Согласно э !05 для степеней и,, ., и, неприводнмых представлений выполняется соотношение: и', + и', +... + и", = й, 390 ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕВР !ГЛ. ХГР Среди рассматриваемых представлений первой степени всегда есть «тождественное представление», которое каждый групповой элемент переводит в элемент 1.
Если же существуют еще и другие представления первой степени, то в данной группе должны существовать собственные нормальные подгруппы с абелевой фактор- группой, потому что матрицы любого представления первой степени перестановочны между собой и образуют абелеву группу, в которую гомоморфно отображается данная группа.
Наоборот, если существует собственная нормальная подгруппа с абелевой факторгруппой, то характеры этой факторгруппы задают представления первой степени. Все остальные представления имеют ббльшую степень, П р и и е р ы. 1, Симметрическая группа Яа. Число классов равно 3, поэтому есть всего трн неэквивалентных неприводимых представления. По знакопеременной подгруппе имеем два смежных класса к„К1: четные и нечетные подстановки. Вот два характера факторгруппы Я»~М»: Х(йа) =1, Х(к ) =+.1; они определяют представления первой степени. Так как и', + и', + и,', = 6, (1 3)е,= — е,— е„ (1 3)еа=еа, (1 2 3) е, = ем (1 2 3)е,= — е, — е„ (2 3)е, =е„ (2 3) еа= — е,— е„ (1 2 3) е, = — е, — е„ (1 2 3) еа=е,.
(1 2)е,=еа (1 2)ее=е„ 2. Группа кватернионов Са — это группа восьми кватернионных единиц -+-1, -+.1, -+-й, +.Е Она имеет две порождающие 1 и й, удовлетворяющие соотношениям: ~ьа а А аь Число классов равно 5; поэаому имеется пять представлений. Нормальная подгруппа (1, 1») определяет в качестве фактор- группы четверную группу Клейна, обладающую четырьмя харакзерами, дающими четыре представления. В силу соотношения иа)-)-п,'-1 п«+п«1- п«=8 третье представление должно иметь степень 2. Возьмем в плоскости трн вектора, е,, еа е,, сумма которых равна нулю; тогда перестановки этих трех векторов дадут точное представление рассматриваемой группы подстановок.
Легко установ1пь, что это представление неприводимо. Пусть е, и е,— базисные векторы; тогда представление выглядит так: 391 5 100! ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП остальные представления должны иметь степень 2, Если групповым элементам 1, 1, !', )', й, !Й, !0!Г, )0й сопоставить кватернионы 1, 1, — 1, — 1, !и 1, — И, — 1, то получится гомоморфное отображение группового кольца 0 на тело кватернионов. Поэтому тело кватернионов должно быть среди двусторонних прямых слагаемых кольца 0 и тем самым получается разложение кольца 0 над полем рациональных чисел ((), 0 = 01 + 00 + 00 + 04 + ~1м где ан 0„0„04 изоморфны полю !!(, а а, изоморфно телу кватернионов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
