Б.Л. Ван дер Варден - Алебра (1127106), страница 83
Текст из файла (страница 83)
(17) Если умножить это на у (а) и просуммировать по всем классам К„ то получится й (г,)(Р (а) = е„—, иа ПР или е„= ~г Й,— „'-)(,(а-г), Л и те р а тур а. Не записан!ее от теории алгебр обоснование теории представлений конечных групп дано в работе: Ш у р (Бсйнг !.). Мене Ведгйпоипй оег ТИеопе оег Огнррепсйагай(еге.— 5!1гнпйзЬег. Вег1!п, 1905, Б, 405 — 432. Обобщение атой теории на бесконечные группы принадлежит ф о н Н е й и а н у (топ Менгпапп Л), А!гнои рег!ощс Ьнпсиопз 1п дгонрз.— Тгапз. Агпег. Ма!И. Бос., 1934, 36, р, 445 — 492. Дальне(пние сведения о яитературе можно найти у автора: тап пег чае гвен В.
И. Сгнрреп топ!гиеагеп Тгапз(огща1!опегг.— ЕгйеЬ. Ма1Л., !Ч!2, Вег(!п, 1935. Тот факт, что матрицы Х и )' взаимно обратны, можно использовать для вычисления идемпотентных элементов центра е,, е„порождающих в а двусторонние идеалы. Действительно, согласно 9 10В для базисных элементов й, центра 3 имеют место равенства 398 ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ГРУПП И АЛГЕЕР (ГЛ Х1Ч 9 1Н).
Представления симметрических групп ') Мы рассмагриваем группу ал подстановак л символов 1, 2, „, л; нзндем ее збсалютно непрнводиь!ые представления, например, над полем И всех алгебраических чисел Впрочем, булет показано, чта эти представления рациональны, т е осуществляются над пален 8) рациональных чисел. Буде!! походиь из группового кольца а=з,ц+ +з„() и р,!осмотрим его левые идеалы Каждый такой левый идеал является прямой суммой игинимальных левых идеалов, последние дают лишь неприводнмые представления Так как каждый левый идеал порождается некоторыч идемпотентным элементом, мы найдем сначала этн идемпотентныс элементы Запишем цифры 1, 2, , л в произвольном порядке в й расположенных друг за другом строк (й произвольно) таи, чтобы в ч-й строке а„ цифр удовлетворяло условиям иг>из~...
ил, Мы пишем первые элементы всех й строк друг под другом, точна так же и вторые элементы и т д, следующий ниже пример, в котором точки означают цифры, поясняет сказанное (ссн и,, из)=(3, 2, 2); л=7, оа=~ Р о Аа=~р ~йасг Легко проверяются правила. РЗа = Зар = За г(ацач = !)Ааач — — .4а (21 (3) ') Упрощенными доказательствами предложений теории Фробениуса (см. 5!1хапйзЬег. Ргенэз Айаб. Вег1!и, 1903, 3, 328 — 358), помещенными в этом параграфе, я обязан уствому сообщению фон Неймана. Любое такое расположение цифр 1, 2,, «мы будем называть схемой н обозначать через За 1!ндекс и обозначает последовательность цифр (и,, и„, ил) Индексы и, которые могут появиться при этом, упорядочиваются следующим образом. и > Р, если гервая ненулевая разность и,— ()„положительна Например, при л=-5 (5) > (4, 1) > (3, 2) > (3, 1, 1) > (2, 2, 1) > (2, 1, 1 1) > (1, 1, 1, 1, 1) Пусть дана такая схема Еи! обозначим через р все подстановки, которые меняют цифры лишь внутри строк схемы Ва, а сами строки оставляют инвариантными; через д агюзначим все те подстайовки, которые меняют цифры лишь внутри столбцов схемы Ха Лля каждой фиксированной подстановнн о скмвол ач обозначает 4 1 или — 1 в зависимости от того, четна д или нет Если з— произвольная подстановка, то через зХа мы обозначаем схему, в которую переходит Х при действии подстановки з.
Легко заметить, что если подстановка о оставляет инвариантными столбцы схемы Еа, то подстановка зхи ' оставляет ннвари*нтными столбцы схемы зХ«, н наоборот Наконец, положим (в групповом кольце с) для каждой фиксированной схемы Ва 399 ппедстлвлеиия симметшпггских гнупи й ИО] Из (2) и (3) легко следуе~, что Зи и Ап идеипотентны с точностью до некоторого мноэсителя )о. Дальнейшие алгебраические свойства элементов Ви и Аа вытекают из следующей комбинаторной леммы; Пусть Х„и Хр — две схемы укозаннсео выше глина; пуст~ а зи(). Если в Х ни в одной отроге нет двух цифр, входящих в один столбец схема Хр, то й= 3 и схема Хо переходит в схелгу Хр с помощью подстановки вида ру: РЯХ о = Х р (Обозначения р н д о~носятся к Хи, т.
е. р оставляет ннвариантными строки, а д — сголбцы схемы Х„.) Доказательство. Из и () следует, что а, - Ог. В первой строке схемы Х„стоит иг цифр. Так как те же самые цифры должны в Хр стоять в различных столбцах, схема Хр содержит не менее а, строк, откуда а, =- ()г и, следовательно, и, =()и С помощью некоторой подстановки д'„оставляющей ипварнантными столбцы в Хй, указанные цифры переходят в первую строку схемы Хр. Из а зв () следует далее, что аз —. Рз. Во второй строке схемы Х„стоит аз цифр.
Так как они должны входить в разные столбцы схемы у',Хр, в последней вне первой строки, которую мы уже построили, должно быть не менее ае столбцов. Отсюда следует, что и, ш Оз, и поэтому а,= — ()е. С помощью некоторой подс~ановки у.', оставляющей инвариантпыми столбцы схемы у',Хй, а также ее первую строку, названные цифры переводятся во нторую строку схемы Хв. Продолжая таким образом, мы в конце концов получим схему у'Хр = = Ць... д'д,'Хб, стРоки котоРой совпадают со стРоками схемы Х . Тем самым с помощью некоторой подстановки р схему Хи можно перевести в схему д'Хр. 4 Хр=РХо.
Подстановка у'=да... д'д,' оставляет инвариантиымн столбцы схемы Хр, а по. тому и схемы ц'Хй= РХ . При подходящей подстановке ц выполняется, следовательно, равенство и поэтому РЧ Р Хй=РХа ХР=РУХи что и требовалось доказать. Из этой комбинаторной яеммы всегда следует, что А35о=б для сс ~ (). (4) Действительно, согласно лемме, в случае а)() существует пара цифр, принадлежащая одной строке гхемы Х„н одному столбцу схемы ХВ Если ( — транспозиция, меняющая местами эти цифры, то из (2) и (3) следует, что Ар~а=дрД ~и= '4(зби откуда и получается (4). Точно так же доказывается, что ЗоАр=О для а" Кроме того, все выражения, получэюшиеся из Ар сопряжением, аннулируются суммой ои: 5ивАрв г =О для а ) (), потому что зАйв ' — это снова некоторое Ар, но для преобразованной схемы вХ,з.
Из этого результата с помощью умножения на зИ н суммирования по всем з теОРия пРедстлвлении ГРупп и ллГББР 1Гл хго яз 9 следует, что 5а (~ з()) Ар=-(0), или 5„сАБ=(6) (а > ()). (6) Таким образом, левые идеалы сАБ с р (а аннулируются элементом 5а. Иначе говоря, э.чеиент 5 представляется нулем в том представлении, которое определяется идеалом сАБ.
Вместе с тем 5аАа Ф О, потому что коэффициент при единичном элементе в произведении 5аАа йе равен нулю. Следовательно, элемент 5„в представлении, связанном с идеалом сА„, представляется отличным от нуля преобразованием. По этой причине упомянутое представление содер. жит по крайней мере одну неприводимую составляющую, не входящую ни в один из модулен сАБ при () (а. Рассмотрим ее подробнее. Элемент 5 Аа — — ~" ~~ ардис, согласно (2) и (3), удовлетворяет равенству рдаАадос = 5аАа. Докажем теперь, что 5 А„является единственным с точностью до множителя элементом с таким свойствои. Точнее, мы докажем следующее: если элемент а кольца с удослстзоияггп расгнстсу радо =а для сссх р и д, то он алеет сид (5аАа) у.
)Т о к а з а те л ь с т в о. Положим а=~~ ~зу, (у, ш ()). с Подставляя (7) в (6), получим ~ зУс = ~~ ~Рздос'Гс. 3 5 (6) (8) В левую часть последнего равенства входит лишь одно слагаемое с рд, именно рду; аналогично в правую часть входит также одно слагаемое при з=1. Срав- нение коэффициентов дает У =о,ум Выберел! теперь любую подстановку з, отличную от подстановок, имеющих вид рд. Тогда схема зХ„отлична от всех схем рдХа н, согласно комбинаторной лемме, сущсствуют две цифры В й, которые в Ха находятся в одной строке, а в зՄ— в одном столбце.
Если ! — транспозиция этих цифр: (=()й), то цод- становка Р=з Из меняет местами лишь цифры з з/ и з Ч, которые стоят н одном столбце таблицы з 'зХ„=Х . Следовательно, à — это подстановка вида р, а Г' — подстаноика вида д, и мы можем в (8) положить Р=С д=(', тогда для выбранной выше подстановки з имеем рад=(зз Из=а, о„= — 1, и сравнение слагаемых с з слева и справа в (8) дает нам у = — у уз=О. Следовательно, в (7) входят лишь слагаемые с з= рд, уз=осу! и имеет место равенство а = ~ рдосу! = (5ада) уь о,с что и требовалось доказать Из доказанного немедленно следует, что для каждого элемента Ь кольца с элемент 5„ЬАа имеет вид (5аА„) у, потому что для любых р и д справедливо й Нгг ПОЛУГРУППЫ ЛИНЕЯНЪ|Х ПРЕОБРАЗОВАНИЯ равенство Следовательно рБ ЬАазоч — — ЯаЬАа. ВавАа ': — (5аАа) () Положим 5аАа=1а; тогда 1ас)а ~ 5авАа ~ 1а().
(9) Мы утверждаем теперь, что с1а — минимальный левый идеал. Действительно, если ! — подидеал в с(а, то из (9) следует, что (а) ш )а() следовательно, так как 1 () — одночленный, а потому минимальный И-модуль, имеет место одно из равенств !а( — )а() игпг )а( = (0) В первом случае с!а=в!оп ы с1 ( ~ (, в силу чего ! ==с! .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
